Die Methode der finiten Elemente (FEM)

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1 Friedrich U. Mathia Die Methode der finiten Elemente (FEM) Einführng nd Grndlagen

2 Die Methode der finiten Elemente (FEM) Einführng nd Grndlagen Friedrich U. Mathia Das Wer, einschließlich aller seiner Teile, ist rheberrechtlich geschützt. Jede Verwertng aßerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zstimmng des Ators nzlässig nd strafbar. Dies gilt insbesondere für Verielfältigng, Übersetzngen, Miroerfilmngen nd die Einseicherng nd Verarbeitng in eletronischen Sstemen. Nebrandenbrg Hochschle Nebrandenbrg Prof. Dr.-Ing. Friedrich U. Mathia Fachbereich: Baingenier- nd Vermessngswesen Postanschrift: Prof. Dr.-Ing. F.U. Mathia Brodaer Straße Tel.: (95) 569-()- D-7 Nebrandenbrg

3 INHALT EINLEITUNG -. Allgemeines -. Entstehngsgeschichte der FEM -. Zgang zr FEM -5 EIN EINFACHES BEISPIEL -. Das Elastizitätsgesetz für einen geraden Stab -. Transformation af globale oordinaten -5. Afba der Gesamtsteifigeitsmatri des freien nerbndenen Sstems -8. Berücsichtigng der geometrischen omatibilität -9.5 Einba der äßeren eingerägten räfte -.6 Afba der Gesamtsteifigeitsmatri des ngebndenen Sstems -.7 Einba der geometrischen Randbedingngen -8.8 Ermittlng der Aflagerreationsgrößen -.9 Ermittlng der Stabräfte -. Hinweise zr rogrammtechnischen Umsetzng -5. Otimale Nmmerierng der Sstemnoten -. Sezielle Lagerngen -.. Elastische Lagerng -5.. Schiefe Randbedingngen -6 GRUNDLAGEN DER LINEAREN ELASTIZITÄTSTHEORIE -. Der Sannngszstand -.. Die statische Grndgleichng -5.. Der rämliche Sannngszstand in Zlinderoordinaten -7.. Der ebene Sannngszstand -8.. Der einachsige Sannngszstand -9. Verschiebngen nd Verzerrngen -.. Die Verschiebngen -.. Der Verzerrngszstand -... artesische oordinaten -... Zlinderoordinaten -... Der ebene Verzerrngszstand -. Materialgesetz -6.. Das Elastizitätsgesetz für den rämlichen Sannngszstand artesische oordinaten Zlinderoordinaten -9

4 II... Zlinderoordinaten bei Rotationssmmetrie -.. Das Elastizitätsgesetz für den ebenen Sannngszstand -.. Das Elastizitätsgesetz für den ebenen Verzerrngszstand -.. Das Elastizitätsgesetz für den Stab -..5 Das Elastizitätsgesetz für den schbstarren Balen - GRUNDGLEICHUNGEN DER SCHEIBENTHEORIE -. Vorassetzng -. Scheibenschnittlasten -. Transformationsgleichngen -.. Hatlängsräfte -5.. Hatschbräfte -7.. Grndgleichngen -8. Elimination der Sannngen, Verschiebngsfntion -8.5 Elimination der Verschiebngen, Sannngsfntion -.6 Randbedingngen -.6. Verschiebngsrandbedingngen Der Eingesannte Rand = = onst Der freie Rand = = onst raftrandbedingngen Der Eingesannte Rand = = onst Der freie Rand = = onst. - 5 GRUNDGLEICHUNGEN DER LASSISCHEN PLATTENTHEORIE 5-5. Vorassetzngen 5-5. Plattenschnittlasten 5-5. Transformationsgleichngen für die Schnittmomente Hatbiegemomente Hatdrillmomente Gleichgewicht am Plattenelement Das Verschiebngsfeld w(,) Die Plattendifferenzialgleichng Die Plattengleichng in Zlinderoordinaten Randbedingngen Der eingesannte Rand = = onst Der gelenig gelagerte Rand = = onst Der freie Rand = = onst Die Platte af nachgiebiger Unterlage DER ARBEITS- UND ENERGIEBEGRIFF IN DER ELASTOSTATI 6-6. Die Arbeit einer raft längs eines Verschiebngsweges 6-6. Die Arbeit eines räfteaares mit dem Moment M 6-6. Das Potenzial einer raft Das Potenzial einer Gewichtsraft Das Potenzial einer Federraft Formänderngs- nd Ergänzngsenergie für elastische örer Formänderngsenergie für den geraden Balen Schiefe Biegng mit Normalraft 6-

5 III 6.5. Qerraftbeansrchng Torsion Die isotherme Formänderngsenergie für die Scheibe Formänderngsenergie für die schbstarre Platte 6-7 NÄHERUNGSVERFAHREN BEI EINDIMENSIONALEN RANDWERTPROBLEMEN 7-7. Grndzüge der Variationsrechnng 7-7. Das Prinzi der irtellen Verrücng Das Verfahren on Ritz 7-7. Die Methode der gewichteten Residen Das Galerin-Verfahren Die olloationsmethode 7-8 FINITE ELEMENTE BEI EINDIMENSIONALEN RANDWERTPROBLEMEN 8-8. Vorgehensweise nach der FE-Methode 8-8. Stabelement mit qadratischem Verschiebngsansatz 8-8. Die Eigenwertafgabe für den ebenen Stab Statische ondensation Sbstrtrierng BALENELEMENTE 9-9. Die gerade oder einachsige Biegng 9-9. Ein Balenelement mit bischem Verschiebngsansatz Beisiel Rücrechnng 9-9. Ein Balenelement mit qintischem Verschiebngsansatz Testbeisiel Rücrechnng Statische ondensation Beisiel Der elastisch gebettete Balen Die Steifigeitsmatri für die elastischer Bettng Beisiel 9-9 EIN EINFACHES FINITES ELEMENT FÜR EBENE RAHMENTRAGWERE -. Berücsichtigng on Gelenen -8 SCHEIBENELEMENTE -. Allgemeines -. Ein einfaches Dreiecelement -.. Das Prinzi der irtellen Verrücng Die Elementsteifigeitsmatri -... Der Elementlastetor as Flächenlasten -

6 IV... Der Elementlastetor as Randlasten -5.. Die Scheibenschnittlasten -6. Qadratische Ansatzfntionen im Dreiec - EIN EINFACHES RECHTECELEMENT FÜR DIE SCHEIBE -. Die Elementsteifigeitsmatri -5. Der Elementetor as Flächenlasten -7. Der Elementetor as Randlasten -9. Die Scheibenschnittlasten - Mathematischer Anhang A- A NUMMERISCHE INTEGRATION A- B GEBIETSTRANSFORMATIONEN B- C INTEGRATION IN DREIECOORDINATEN C-8 D DIE LAGRANGESCHEN INTERPOLATIONSPOLYNOME D-

7 Einleitng. Allgemeines Die Methode der finiten Elemente (FEM, englisch: Finite Element Method) ist ein nmmerisches Berechnngserfahren, das in weiten Bereichen der Strtrmechani nd der mathematischen Phsi nd Chemie zm Einsatz ommt (Abb. -). Abb. - Einsatzgebiete der FEM Die Grndgleichngen zr Beschreibng strtrmechanischer Probleme wie Deformationen, Sannngen, Geschwindigeiten, Drc, Temeratren sw., sind gewöhnliche oder artielle Differenzialgleichngen (DGLn) bzw. Differenzialgleichngsssteme. Die Lösngen dieser DGLn haben dabei gewissen Randbedingngen (RB) z genügen. So wird beanntlich die Drchbiegng w() eines elastischen Balens mit der Qerlast q(), der Balenlänge nd der Biegesteifigeit EI = onst. drch die gewöhnliche DGL. Ordnng

8 - Einleitng EI w IV () q() ( ) Gl. - beschrieben (Abb. -). Abb. - Balen nter Qerbelastng Für den Fall des beidseitig gelenig gelagerten Balens nter Qerlast q() mss die Lösng w() den Randbedingngen w() w() w( ) w( ) Gl. - genügen. Obwohl für iele Problemstellngen der technischen Mechani das Randwertroblem (RWP) in Form on DGLn bzw. Differenzialgleichngssstemen formliert werden ann, ist nicht immer eine analtische Lösng affindbar. In diesen Fällen mss af Näherngslösngen zrücgegriffen werden, z denen ach die FEM gehört. Das Ziel der Näherngserfahren ist die Transformation der nicht diret lösbaren Grndgleichngen in mathematisch einfacher z handhabende Strtren. Bei der Vorgehensweise nach der FEM werden DGLn in algebraische Gleichngsssteme übergeführt. Den FEM-Programmen wird dabei aber nicht nr die Lösng der linearen oder ach nichtlinearen Gleichngsssteme überlassen, ielmehr wird erscht, das omlette Verfahren z atomatisieren. Dieses atomatisierte Abarbeiten on zm Teil sehr omleen Problemen erführt daz, die mit einer "blac bo" erzielten Ergebnisse ritilos hinznehmen. Das ann jedoch schwerwiegende Folgen haben, wenn fehlerhafte Rechenergebnisse om Berechnngsingenier z sät oder überhat nicht erannt werden. Für den Anwender on FEM-Software ist es deshalb zwingend erforderlich, die strtrmechanischen Hintergründe der Methode z ennen, damit eine sinnolle Modellbildng nd Ergebnisinterretation möglich wird.

9 . Entstehngsgeschichte der FEM - In jedem Fall emfiehlt sich zr ontrolle der Berechnngsergebnisse eine Überschlagsrechnng mit ereinfachten Ansätzen.. Entstehngsgeschichte der FEM Den Asgangsnt der geschichtlichen Entwiclng der modernen Strtrmechani bildet die im letzten Jahrhndert entwicelte Theorie der Stab-. Rahmentragwere, die sehr eng mit den Namen Mawell, Betti, Castigliano nd Mohr erbnden ist. Bis zm Beginn des. Jahrhnderts onzentrierten sich die Entwiclngen in der Strtrberechnng af das raftgrößenerfahren, bei dem als Unbeannte nr raftgrößen (räfte nd Momente) in der Berechnng erscheinen. Im Jahre 96 eröffentlichte Ostenfeld // ein Lehrbch zm Verschiebngsgrößenerfahren, das ach nter der Bezeichnng Deformationsmethode beannt ist. Als Unbeannte treten bei diesem Verfahren nr Verschiebngsgrößen af, also notenerschiebngen nd notenerdrehngen. Ach bei der FEM sind die Unbeannten die Verformngsgrößen, womit die Deformationsmethode, wie sie für Stäbe nd Balen entwicelt wrde, als Vorläfer der FEM angesehen werden ann. Da bis in die 95er Jahre hinein für beide Verfahren die Rechnngen manell drchgeführt werden mssten, onnten nr Ssteme mit einer geringen Anzahl on Unbeannten gelöst werden. Bereits im zweiten Weltrieg begannen einige Forscher, insbesondere in Großbritannien nd den USA, die raftgrößenmethode zr effetien Umsetzng in einen Comtercode in Matrizenschreibweise afzbereiten. Die Anwendngsgebiete lagen hatsächlich im militärischen Bereich (Lft-. Ramfahrt). Als Pionier af dem Gebiet der FEM ann Zieniewicz in England angesehen werden. Das Lehrbch /8/ ermittelt einen sehr gten Überblic über die FE-Methode. Ein Forschngsschwernt af diesem Gebiet bildete sich in Detschland mit Beginn der 96er Jahre nter Argris in Stttgart am Institt für Stati nd Dnami der Lft- nd Ramfahrtonstrtionen. JamesCler Mawell, brit. Phsier, Enrico Betti, italien. Mathematier, 8-89 Carlo Alberto Castigliano, italien. Eisenbahningenier, Christian Otto Mohr, detscher Statier. Baingenier, 85-98

10 - Einleitng X = X = X = Abb. - Einfach statisch nbestimmtes Sstem, mögliche statisch bestimmte Grndssteme Parallel zr raftgrößenmethode liefen erste Versche, ach das Verschiebngsgrößenerfahren für den Comter afzarbeiten. Die Vorarbeiten zr raftgrößenmethode hatten nämlich gezeigt, dass die atomatische Festlegng der statisch Unbestimmten drch den Comter z großen Schwierigeiten führte. Es zeigte sich dann ach bald, dass die raftgrößenmethode für die atomatische Abarbeitng im Rechner ngeeignet ist (Abb. -). Mit der arallel ablafenden rasanten Entwiclng der Digitalrechner war die Entscheidng für die Verschiebngsmethode gefallen, denn bei diesem Verfahren gibt es eine Schwierigeiten bei der Aswahl eines inematisch bestimmten Grndsstems. Etwa Mitte der 96er Jahre wrden dann die Zsammenhänge zwischen den anschalichen Mitteln der Stabstati hin z den Variationsrinziien der Stati, dem Prinzi der irtellen räfte (P.d...) nd dem Prinzi der irtellen Verrücngen (P.d..V.), genüft. Die Afdecng dieser Zsammenhänge lieferte der FEM die mathematischen Fndamente, woraf dann Mitte der 98er Jahre diese Methode erstärt on Mathematiern im Hinblic af onergenz nd Genaigeit nterscht wrde. Grndlegende Arbeiten zr Lösng ontinmsmechanischer Afgaben af Basis der Variationsrechnng lieferte Ritz bereits im Jahre 97 nd Corant im Jahre 9. Af Corant geht ach der Vorschlag zrüc, die Ritzschen Ansätze loal anzwenden, also af einen Teil des gesamten Lösngsgebietes, nd das ist gena die Idee der FEM. Im Lafe der weiteren FEM- Entwiclngen wrden die lassischen Energierinzie der Mechani erweitert. Verallgemeinerte Prinzie wrden z.b. on Reißner, Prager nd Washiz

11 . Zgang zr FEM -5 angegeben. Eine historische Zsammenfassng zr Entwiclngsgeschichte der FEM findet der interessierte Leser in /5/. Das mfassende Verständnis für die FEM erfordert enntnisse der Variationsrechnng nd der ontinmsmechani. Für ein ertiefendes Stdim der FEM werden deshalb die Literatrstellen /6-/ emfohlen.. Zgang zr FEM Der Grndgedane der FEM besteht darin, das z nterschende Gebiet, z. B. die Rahmenonstrtion nach Abb. -, in eine größere Anzahl einfacher Teilgebiete, die finiten Elemente, z zerlegen Dieser Prozeß wird in der FEM Disretisierng oder ach Elementierng (om Ganzen zm Teil) genannt. Bei einigen Afgabenstellngen ist die Afteilng in finite Elemente bereits orgegeben, etwa bei Fachweren oder ach bei Rahmenonstrtionen, bei denen die einzelnen Stäbe oder Rahmenteile die Elemente bilden. Abb. - Finites Balen-Element eines Rahmentragwers Die Anzahl der dabei gewählten Elemente ist grndsätzlich beliebig, allerdings ist z beachten, dass der Rechenafwand mit znehmend feiner werdender Elementierng überroortional steigt. Im Falle zweidimensionaler Gebiete, etwa bei Scheiben nd Platten, wird das Grndgebiet in Dreiece, Rechtece oder allgemeine Vierece eingeteilt. Ach bei geradlinig begrenzten on mlat. discrets abgesondert, z lat. dicernere absondern, nterscheiden.

12 -6 Einleitng Elementen ann bei hinreichend feiner Elementierng das Grndgebiet asreichend angenähert werden. rmmlinig berandete Elemente gestatten eine höhere Güte der Aroimation. Gerade in dieser fleiblen Anassng des Grndgebietes drch nterschiedliche Elementformen liegt ein großer Vorteil der FE-Methode gegenüber anderen Näherngserfahren, etwa dem Finite-Differenzen-Verfahren. Bei rämlichen Problemen erfolgt die Disretisierng des Rames drch Tetraederelemente, Qaderelemente oder ach rmmflächig begrenzte Elemente. Innerhalb des Elementgebietes wird dann für die geschte Fntion ein roblemgerechter Näherngsansatz gewählt. Für Stäbe nd Balen eignen sich besonders Polnome. Die Höhe des Polnomgrades entscheidet über die Güte der Aroimation der geschten Fntion. Bei zweidimensionalen Problemen ommen lineare, qadratische oder ach höhergradige Polnome zm Einsatz. Die Art des Ansatzes wird dabei im Wesentlichen drch zwei Fatoren bestimmt, einerseits drch die Form des Elementes nd andererseits drch die hsialische Fragestellng. Die gewählten Ansatzfntionen müssen gewisse Stetigeitsforderngen erfüllen, die sich as dem hsialischen Problem ergeben. Stetigeit der geschten Zstandsgröße innerhalb des Elementgebietes ist in der Regel drch die Ansatzfntion sichergestellt. Problematischer ist die Forderng nach Stetigeit an den Elementübergängen. Bei einem einfachen Dehnstab, dessen geschte Fntion die Stabachserschiebng ist, redziert sich die Forderng af Stetigeit in der Verschiebng an den Elementübergängen. Diese Stetigeit wird C -Stetigeit genannt. Bei Balenelementen wird für die Drchbiegng w eine höhere Stetigeit gefordert. Neben der Stetigeit in w, mss, m nice in der Biegelinie z ermeiden, beim Übergang on einem Element zm anderen zsätzlich Stetigeit in w' gefordert werden (C -Stetigeit). Bei zweidimensionalen Problemen ist mindestens Stetigeit der Ansatzfntionen längs gemeinsamer Elementanten z fordern. Elemente, deren Ansatzfntionen die geforderten Stetigeiten erfüllen, heißen onform. Um die Stetigeitsforderngen an den Elementgrenzen z erfüllen, müssen die Ansatzfntionen, bzw. ach deren Ableitngen, an bestimmten Stellen des Elementes, den noten, asgedrüct werden. Die Fntionswerte (Verschiebngen, Verdrehngen) der Näherngsansätze an diesen disreten Stellen werden notenariable oder ach notenfreiwerte genannt. Mit den notenariablen als oeffizienten erscheinen dann die Ansatzfntionen als Interolationsfntionen, die in der FE-Methode ach Formfntionen genannt werden. sätl. gleichförmig, ähnlich lat. Umgestaltng, Veränderng

13 . Zgang zr FEM -7 In der analtischen Mechani wird gezeigt, dass sich die notenerschiebngen als Folge der äßeren Belastngen nd der orgeschriebenen Randwerte nicht beliebig einstellen. Vielmehr besagt der Satz om Etremm des elastischen Potentials, dass on allen denbaren Verschiebngszständen Derjenige der wirlich eintretende ist, für den die Energiegröße, die ach elastisches Potential genannt wird, einen stationären Wert annimmt. Die Anwendng dieses Prinzis gestattet ns nter Verwendng on Näherngsansätzen für die Zstandsgrößen die direte Herleitng der Elementsteifigeitsmatrizen nd Elementlastetoren. Nach der Zerlegng des Grndgebietes in finite Elemente erfolgt dann wieder der Zsammenba sämtlicher Elemente zm Gesamttragwer (om Teil zm Ganzen). Ein wichtiger Schritt in der FE-Methode ist der Übergang on loalen z globalen oordinaten nd damit on den loalen notenariablen z globalen Sstemfreiheitsgraden. Dieser Übergang erfolgt drch roblemabhängige Transformationsgleichngen. An den Sstemnoten werden die angrenzenden loalen notenariablen den globalen Sstemfreiheitsgraden gleichgesetzt, womit der Zsammenhang (geometrische omatibilität) einer allgemeinen Strtr eingeschränt an den noten realisiert ist. Ach an dieser Stelle äßert sich der Näherngscharater der FE- Lösng, denn nr die analtische Lösng berücsichtigt das loale Gleichgewicht nd die omatibilität der Verformngen. Nach dem Zsammenba aller Elemente liegt oft ein sehr großes Gleichngssstem or, dessen Lösng die globalen notenfreiwerte (Verschiebngen, Verdrehngen) liefert, as denen drch Rücrechnng die Elementraftgrößen (Sannngen) ermittelt werden. Es ist selbsterständlich, dass dieses Verfahren, bei dem sehr große Datenmengen anfallen, übersichtliche nd effetie Algorithmen erlangt. Die Formlierng erfolgt onseqenterweise in Matrizenschreibweise. Von entscheidender Bedetng für die Güte eines FE-Programms sind die imlementierten Gleichngslöser. In ommerziellen Programmsstemen ommen zr Lösng der linearen Gleichngsssteme direte Verfahren zm Einsatz, z denen die lassischen Eliminationserfahren nach Gaß nd Choles gehören. Bei sehr großen Gleichngssstemen werden as Gründen der Rechenzeitersarnis iteratie Lösngserfahren (Jaobi- oder Gaß-Seidel-Verfahren, Verfahren der onjgierten Gradienten, Mehrgittererfahren) erwandt, die die geschte Lösng als Grenzwert einer Folge on Näherngen ermittelt. Bei den iteratien Verfahren ist im Gegensatz z den direten Verfahren die ermanente Seicherng der Sstemmatri i.a. nicht erforderlich, was es ermöglicht, sehr große Gleichngsssteme mit minimalem Seicherbedarf z lösen. Die Abseicherngs- nd Lösngsalgorithmen be- falls ein solches überhat eistiert die deshalb so bezeichnet werden, weil im Lafe des Rechenrozesses diret af Elemente der Sstemmatri nd des Belastngsetors zgegriffen werden mss

14 -8 Einleitng rücsichtigen dabei die bei der FE-Methode anfallende sezielle Form der Sstemmatrizen, die eine asgerägte Band- bzw. Hüllenstrtr afweisen. Die enormen Entwiclngen af den Gebieten der Rechnerhardware, der Bereitstellng leistngsfähiger Algorithmen af den Gebieten der Lösng großer linearer nd nichtlinearer Gleichngsssteme sowie der Datenorbereitng nd der Ergebnisdarstellng, haben der FE- Methode in den letzten Jahrzehnten zm Drchbrch erholfen. Zr Darstellng der wesentlichen Zsammenhänge wird zr Einführng ein ebenes Fachwer betrachtet. Fraglos läßt sich dieses Beisiel af herömmliche (manelle) Art schneller berechnen, allerdings erlabt der hier orgestellte Lösngsweg die Darstellng der seziellen Vorgehensweise der FEM. Die Aswahl eines einfachen Beisiels hat zsätzlich den Vorteil, dass die Ergebnisse mit geringem Afwand drch Handrechnng ontrolliert werden önnen, nd die einzelnen Rechenschritte eine ingeniermäßige Interretation ermöglichen.

15 Ein einfaches Beisiel Für das in Abb. - abgebildete (statisch bestimmte) Fachwer sind die Stabräfte nd die notenerschiebngen nter den angegebenen äßeren räften gescht. Abb. - Ebenes Fachwer, Sstem nd Belastng Ein finites Fachwer-Element besteht as einem Stab mit onstanten Qerschnittswerten. Der Stab ann orassetzngsgemäß nr Normalräfte (Zg oder Drc) übertragen. Das setzt oras, dass äßere räfte nr über die Gelene eingetragen werden dürfen. Eine Belastng des Stabes drch Schütträfte längs der Stabachse, die mit der Fachwertheorie im Einlang stehen, betrachten wir an dieser Stelle nicht. Das dargestellte Fachwer besitzt n = 5 noten nd m = 7 Elemente. Ein Fachwerstab entsricht bei nserem einfachen Beisiel einem finiten Element. Zr geometrischen Beschreibng des Sstems werden roblemgerechte artesische oordinaten (,) eingeführt, deren Ursrng sinnoll gewählt wird. Um noten nd Elemente oneinander nterscheiden z önnen, werden die notennmmern in reise nd die Elementnmmern in Qadrate ge-

16 - Ein einfaches Beisiel schrieben. Die Reihenfolge der noten- nd Elementnmmerierng ann dabei weitestgehend beliebig orgenommen werden. Der Pfeil am Elementsmbol soll die Orientierng des Elementes mit Anfangs- nd Endnt anzeigen. Abb. - Fachwer mit n = 5 noten nd m = 7 Elementen Jedes FE-Modell enthält eine notendatei (Tabelle -) nd eine Elementdatei (Tabelle -). In der notendatei werden jedem noten die globalen oordinaten in einer einheitlichen Längeneinheit (LE) zgeordnet. notennmmer oordinate [cm] -oordinate [cm] Tabelle - notendatei Elementnmmer Anfangsnoten Endnoten Tabelle - Elementdatei Die Aswirng einer beliebigen notennmmerierng af die Bandbreite (nd damit af den Seicherbedarf nd die Rechenzeit) des resltierenden Gleichngssstems werden wir säter behandeln. die ach oinzidenztabelle genannt wird LE: Längeneinheit, z.b. mm, cm, m sw.

17 . Das Elastizitätsgesetz für einen geraden Stab - Die Orientierng eines Elementes mit Anfangs- nd Endnoten nd die Vernüfng der Elemente ntereinander entnehmen wir der Elementdatei. Weitere Eingabedaten sind: a) Stabqerschnittswerte nd Materialeigenschaften A: Qerschnittsfläche (hier: A =,8 cm ) E: Elastizitätsmodl (hier: E = N/cm ) b) Angaben über die äßeren eingerägten notenlasten P N P 5N c) Geometrische Randbedingngen cm Af Basis der notendatei önnen noch die Stablängen nd die Winellagen der Elemente berechnet werden. ( j i ) ( j i ) sin α j i ; cosα j i Gl. -. Das Elastizitätsgesetz für einen geraden Stab Abb. - Positibild für die Verschiebngen nd Schnitträfte Zr Herleitng der allgemeinen Gleichngen af Stabebene ist ein globales oordinatensstem ngeeignet. Wir führen deshalb eine loale oordinate X mit Ursrng im Staban-

18 - Ein einfaches Beisiel fangsnt i derart ein, dass die X -Achse mit der Stabachse des betrachteten Stabes zsammenfällt (Abb. -). Die Elementnotenerschiebngen in loalen oordinaten werden im Vetor U ix U U Gl. - jx nd die Stabendräfte im Vetor F F ix jx F Gl. - zsammengefasst. Die raft- nd Verformngsgrößen sind über ein Werstoffgesetz miteinander ernüft. Unterstellen wir Hooesches Material nd fordern, dass längs der Stabachse eine zsätzlichen Lasten eingetragen werden, dann gilt im einaialen Fall σ E ε E Δ E (U jx U ix F ) A jx Gl. - nd damit F jx E A (U jx U ix ) Gl. -5 Das raftgleichgewicht in Richtng der loalen X-Achse fordert F ix F jx F ix E A (U jx U ix ) Gl. -6 Mit Gl. -5 nd Gl. -6 ann der Vetor der Stabendräfte nter Berücsichtigng on Gl. - in Matrizenschreibweise ach in der Form F F ix jx E A U U ix jx Gl. -7 geschrieben werden, oder ach smbolisch Robert Hooe, engl. Natrforscher, 65-7

19 . Transformation af globale oordinaten -5 In Gl. -8 bezeichnet F C U Gl. -8 E A C Gl. -9 die smmetrische Elementsteifigeitsmatri des Stabes in loalen oordinaten. Dieses für eine onstante Dehnsteifigeit E A hergeleitete Stabelement besitzt folgende Eigenschaften:. Der Verschiebngserlaf längs der Stabachse ist linear nd drch die Stabenderschiebngen eindetig bestimmt.. Die Dehnngen nd Schnitträfte erteilen sich onstant über die Stablänge.. Transformation af globale oordinaten Ein Blic af Abb. - zeigt, dass jeder Stab eine andere Lage in Bezg af das globale oordinatensstem besitzt. Um die Wichtng jedes einzelnen Stabes im Gesamtsstem z erfassen, mss das Werstoffgesetz Gl. -8 om loalen in das einheitliche globale oordinatensstem transformiert werden. Die Stabendräfte transformieren sich bei einer Drehng des oordinatensstems m den Winel allgemein wie folgt (Abb. -) F ix F jx F F i j cosα cosα F F i j sin α sin α Gl. - nd in Matrizenschreibweise mit den Abürzngen c : cos ; s : sin F F ix jx c s c F F s F F i i j j F F F F i i j j c s F c F s ix jx Gl. - Da ach die Verschiebngen Vetorcharater haben, gelten für diese dieselben Transformationsgesetze wie für die räfte

20 -6 Ein einfaches Beisiel U U ix jx c s c s i i j j i i j j c s U c U s ix jx Gl. - Gl. - nd Gl. - entsrechen folgenden smbolischen Darstellngen mit F i F i f ; F j Fj F U T T f f T T T T F U i i ; c s T ; (e j c s ) j Gl. - c T s T Gl. - c s Im Einzelnen sind: f : Vetor der Stabendräfte in globalen oordinaten : Vetor der Stabenderschiebngen in globalen oordinaten T : Element-Transformationsmatri Mit den obigen Gleichngen lässt sich das in loalen oordinaten formlierte finite Elastizitätsgesetz Gl. -8 nter Beachtng der Transformationsbeziehngen Gl. - af das globale oordinatensstem transformieren. Mit F C nd weil nach Gl. - T T F Schreiben wir abürzend U T T f C F T f T T C F C U nach Gl. -8 folgt in Schritten: gilt, erhalten wir den Zsammenhang T T T C T Gl. -5 dann erennen wir das Elastizitätsgesetz in globalen oordinaten f Gl. -6 Asmltilizieren on Gl. -5 führt af die smmetrische globale Elementsteifigeitsmatri

21 . Afba der Gesamtsteifigeitsmatri des freien nerbndenen Sstems -7 c s c c s c E A s c s s c s Gl. -7 c s c c s c s c s s c s () () Für den Stab errechnen wir z.b. mit α 6 sin α (),866; cosα, 5 die folgende globale Elementsteifigeitsmatri: (),5 EA,,5,,,75,,75,5,,5,,,75,,75 Damit führt z.b. eine alleinige Verschiebng des Stabendes () U j = z den Stabendräften F F F F () i () i () j () j,5 EA,,5,,,75,,75,5,,5,,,75,,75,5 EA,,5, [E]. Afba der Gesamtsteifigeitsmatri des freien nerbndenen Sstems Die Elastizitätsgleichng Gl. -6 für den Einzelstab ist nn für sämtliche Stäbe des Sstems anzschreiben. Das Ergebnis ist ein Gleichngssstem on m Vetorgleichngen (m = Anzahl der Stäbe) () () (m) () () (m) f f () () f (m) Gl. -8 die znächst nabhängig oneinander sind. Das Gleichngssstem Gl. -8 lässt sich ach in Hermatriform darstellen: her...[griech. hér über, über hinas ]

22 -8 Ein einfaches Beisiel () () () () (5) (6) (7) () () () () (5) (6) (7) f f f f f f f () () () () (5) (6) (7) Gl. -9 oder smbolisch f Gl. - Die Matri nd die Vetoren in Gl. - haben folgende Dimensionen : : : f : m m m m Gl. - Die formale Aneinanderreihng der Stabendräfte im Vetor f nd der Stabenderschiebngen im Vetor berücsichtigt noch nicht die Sstemeigenschaften des geoelten Sstems. Dies ommt ach dadrch zm Asdrc, dass die Gesamtsteifigeitsmatri des freien nerbndenen Sstems nr af der Hatdiagonalen besetzt ist, nd somit alle Gleichngen entoelt sind. Im Folgenden werden die Sstemgleichngen schrittweise miteinander erbnden.. Berücsichtigng der geometrischen omatibilität Im Fachwer nach Abb. - sind die Einzelstäbe an den noten fest miteinander erbnden. Diese Tatsache ist bisher nicht berücsichtigt worden. Wir betrachten als Asgangsnt für die folgenden Unterschngen die geometrischen Verhältnisse am noten (Abb. -). Das Smbol [m ] bezeichnet eine Matri mit m Zeilen nd einer Salte. In diesem Falle handelt es sich also m einen Saltenetor.

23 . Berücsichtigng der geometrischen omatibilität -9 Abb. - Geometrische omatibilität am noten Soll der örerzsammenhang an diesem noten gewahrt bleiben, so mss die notenerschiebng identisch sein mit den Stabenderschiebngen der angrenzenden Stäbe, also () () (6) i j j Gl. - Dieselben Überlegngen lassen sich für die restlichen noten anstellen. Die Asnft, welcher Stab an welchem noten beginnt oder endet, gibt ns die Elementdatei. Hinweis: Ein wichtiger Schritt af dem Wege der FE-Formlierng nseres Problems ist an dieser Stelle der Übergang on den Stabenderschiebngen af die notenerschiebngen. Fassen wir sämtliche notenerschiebngen im notenerschiebngsetor n Gl. - 5 zsammen, dann ann die olng der notenerschiebngen mit den Stabenderschiebngen wie folgt dargestellt werden:

24 - Ein einfaches Beisiel 5 (7) j (7) i (6) j (6) i (5) j (5) i () j () i () j () i () j () i () j () i Gl. - oder ürzer in smbolischer Schreibweise: A Gl. -5 Die Zordnngsmatri A in Gl. -5 stellt eine Hermatri mit den folgenden Sbmatrizen dar Gl. -6 Die Einheitsmatri ist nr af der Hatdiagonalen mit einer Eins besetzt, sie liefert die identische Abbildng. Die Nllmatri enthält an jeder Stelle eine salare Nll. Die Zordnngsmatri A, die in jeder Zeile nr eine enthält, hat lediglich Booleschen Charater, d.h. sie enthält nr zwei Informationen, die mechanisch wie folgt gedetet werden: für olng zwischen Stabendnt nd notennt ist nicht orhanden für olng zwischen Stabendnt nd notennt ist orhanden George Boole, brit. Mathematier nd Logier, 85-86

25 .5 Einba der äßeren eingerägten räfte - In Gl. - erennen wir in der. Salte der Matri A die Zordnngsassage nach Gl. - wieder. Die Vetoren nd Matrizen in Gl. -5 haben die Dimensionen: : A : : n m m n Gl Einba der äßeren eingerägten räfte Die an einem Fachwernoten angreifenden räfte lassen sich in zwei Gren einteilen:. Die äßeren räfte, die als beannt orasgesetzt werden önnen, wenn es sich m eingerägte räfte handelt. Unterliegt der noten jedoch gewissen Lagerngsbedingngen, so treten diese äßeren räfte als Reationsräfte af, die znächst nbeannt sind.. Die als Folge des Schnittrinzis aftretenden Stabendschnitträfte ( F, F ) i j Abb. -5 raftgleichgewicht am noten Wir betrachten in einem ersten Schritt die freien noten des Sstems, die also einen Lagerngsbedingngen nterworfen sind. Neben der geometrischen omatibilität müssen selbsterständlich die Gleichgewichtsbedingngen erfüllt sein. Es lechtet sofort ein, dass, wenn jeder noten für sich im Gleichgewicht ist, ach das Gesamtsstem im Gleichgewicht sein mss. Von den drei Gleichgewichtsbedingngen in der Ebene (zwei raft- nd eine Momentengleichgewichtsbedingng) erbleiben an einem noten nr die beiden raftgleichgewichtsbedingngen, da das Momentengleichgewicht on ornherein erfüllt ist. Die Berücsichtigng dieser räfte erfolgt in einem säteren Rechengang Das Schnittrinzi geht af Leonhard Eler zrüc.

26 - Ein einfaches Beisiel Wir betrachten zr Herleitng der raftgleichgewichtsbedingngen wieder die Verhältnisse am noten. Abb. -5 zeigt den freigeschnittenen noten mit dem dort herrschenden raftzstand. Die beiden äßeren eingerägten räfte! P nd! P (s.h. Abb. -) wrden zm resltierenden raftetor! P zsammengefasst. Nach dem Schnittrinzi wiren die Stabendräfte in entgegengesetzter Richtng af die noten, was drch ein Minszeichen berücsichtigt wrde. Fassen wir die Stabendschnitträfte am noten im Vetor (6) j () j () i F F F Gl. -8 zsammen, so latet das raftgleichgewicht!! P P Gl. -9 Zr Formlierng des raftgleichgewichts an allen Sstemnoten führen wir den notenraftetor n 5 Gl. - ein, der mittels einer Zordnngsmatri B drch die Stabendschnitträfte in der Form (7) j (7) i (6) j (6) i (5) j (5) i () j () i () j () i () j () i () j () i 5 F F F F F F F F F F F F F F Gl. - erscheint, oder asgedrüct in smbolischer Schreibweise: f A f B T Gl. - wobei die Beziehng T A B sofort as einem Vergleich on Gl. - mit Gl. - geschlossen werden ann. Die. Zeile in Gl. - entsricht offensichtlich der Gleichgewichtsbedin-