Spezielle Relativitätstheorie. Dynamik der Speziellen Relativitätstheorie

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1 Seielle Relatiitätstheorie Dnamik der Seiellen Relatiitätstheorie

2 Dnamik Dnamik als Teilgebiet der Mehanik beshreibt die Änderng der Bewegngsgrößen Weg, Geshwindigkeit nd Beshlenigng nter Einwirkng on Kräften im Ram Wihtige Säte der Dnamik sind der Imlssat (Kraftgeset) nd der Energiesat Dr. R. Göhring VII-

3 Imlssat der klassishen Mehanik Der Imls ist er definitionem roortional der Geshwindigkeit nd der (konstanten) Masse. m Mit dem Imls läßt sih das Newtonshe Kraftgeset le senda bei konstanter Masse formlieren : F m a m d dt d dt Es gilt der Erhaltngssat des Imlses Qelle: Wikiedia Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-3

4 Klassishe Mehanik nd Galilei-Transformation Relatiitätsrini: Es gibt nendlih iele, relati einander in Translationsbewegngen befindlihe, gleihberehtigte Ssteme, Inertialssteme, in denen die Gesete der Mehanik in ihrer einfahen, klassishen Form gelten. Koordinatentransformation: Die Transformation on einem Inertialsstem af ein anderes beshreibt die Galilei-Transformation: t Inarian: Unter der Galilei-Transformation ist die Beshlenigng inariant nd damit ah alle Gesete der Mehanik. t t Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-4

5 Inarian der Beshlenigng Die Ortskoordinate transformiert sih entsrehend der Galilei-Transformation: ) ( t Die Geshwindigkeit ist die Änderng der Ortskoordinate nah der Zeit. ist ein Asdrk für die Addition der Geshwindigkeiten. d dt d dt Die Beshlenigng ist die Änderng der Geshwindigkeit mit der Zeit. Da niht on der Zeit abhängt, ist d/dt= nd damit die Beshlenigng in beiden Inertialsstemen gleih. b d dt d dt b d dt d dt Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-5

6 Dilemma Einstein hat in seiner Arbeit 95 geeigt, daß die Gesete der Kinematik nd der Elektrodnamik inariant gegenüber der Lorent-Transformation sind; es gilt dafür das Relatiitätsrini. In der klassishen Mehanik ist die Beshlenigng inariant gegenüber der Galilei-Transformation. Die Beshlenigng b mit der Definition b = d/dt = d /dt ist in der Seiellen Relatiitätstheorie niht inariant! (mathematishe Ableitng siehe Skritm Ka. B.5 nd B.6) Um ermeiden, daß für Kinematik nd Elektrodnamik die Lorent-, für die Dnamik aber die Galilei-Transformation gilt, müssen Gesete der relatiistishen Dnamik gefnden werden, die die Lorent-Transformation erfüllen. Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-6

7 Prämissen der Seiellen Relatiitätstheorie. Die Lihtgeshwindigkeit im Vakm ist für alle gleihförmig gegeneinander bewegten Ssteme gleih groß.. In allen gleihförmig gegeneinander bewegten Sstemen gelten drhweg die gleihen Natrgesete (Relatiitätsrini). Dr. R. Göhring VII-7

8 Grndlage der relatiistishen Dnamik Der Imlssat der klassishen Dnamik würde sih anbieten, die Gesete der relatiistishen ableiten. ist die Geshwindigkeit. m Daras leitet sih das Kraftgeset ab: K d dt m d dt m b Die Beshlenigng b ist aber niht Lorent-inariant, so daß die Verwendng des Imlssates asfällt! Der Asweg ist statt dessen die Ntng des Erhaltngssates des Imlses mit der Ergänng, daß bei dem Imls die Masse abhängig on ist: m() Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-8

9 Erhaltngssat des Imlses t t, Ein Teilhen erfalle im Rhesstem in wei Sekndärteilhen.,5 Der Erhaltngssat des Imlses besagt, daß dabei, t = 3 = + 3,5 = Der gleihe Saherhalt mß ah in einem relati da bewegten Inertialsstem gelten.,5,,5, Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-9

10 Unelastisher Stoß A B Kgel A bewegt sih mit der Geshwindigkeit af die rhende Kgel B. Bei dem nelastishen Stoß fliegen beide sammen als ereinigtes Objekt mit der Geshwindigkeit ū daon. Imls or dem Stoß ist: or m() m() m() Imls nah dem Stoß: nah M() Dabei wird niht angenommen, daß M(ū) = m() ist! Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-

11 Unelastisher Stoß - - A B Betrahten wir den Stoß on einem Sstem S as, das sih mit der Geshwindigkeit + in Bewegngsrihtng der Kgel A bewegt. Von diesem Sstem as gesehen rht die Kgel A nd B bewegt sih mit af sie. Nah dem Stoß bewegt sih das Konglomerat as A nd B mit der Geshwindigkeit ū nd es gilt = nd ū =ū. Mit dem Additionstheorem der Geshwindigkeiten können wir shreiben: Nah afgelöst ergibt: Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-

12 Herleitng der relatiistishen Masse Es gilt das Geset on der Erhaltng (bewegter) Massen: (Beweis da im Skritm Ka. B.3) m() m() M() Die Beiehng für den Gesamtimls können wir damit shreiben: m() M() m() m() Oder afgelöst nah m(): m() m() Mit erhalten wir nah einigen Umrehnngen (siehe Skritm Ka..4.) Für die Abhängigkeit der Masse on ihrer Geshwindigkeit ergibt sih so: m() m() Dr. R. Göhring VII-

13 Die relatiistishe Masse Wenn wir für m() = m shreiben, erhalten wir für die Abhängigkeit der Masse on der Geshwindigkeit den Asdrk: m() m Die Masse m ist die Rhemasse, die Masse, die in dem Sstem gemessen wird, in dem das Teilhen rht. Die relatiistishe Masse m() wähst mit der Geshwindigkeit, wie der Faktor k. 4 3 k,,4,6,8 Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-3

14 Der relatiistishe Imls Der Imls ist ein Vektor in Rihtng der Geshwindigkeit; mit der relatiistishen Masse ergibt sih für ihn: m() m Dabei ist berüksihtigen, daß die relatiistishe Masse m() nr on dem Betrag der Geshwindigkeit abhängt nd niht on deren Rihtng! Mit steigender Geshwindigkeit nimmt die Masse immer mehr ; sie sett einer Steigerng der Geshwindigkeit einen immer höheren Trägheitswiderstand entgegen; die Lihtgeshwindigkeit ist ah hier wieder eine Grengeshwindigkeit. Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-4

15 Zsammenhang Masse/Energie Es gilt das Geset der Erhaltng bewegter Massen: m() m() M( ) Wie aber bestimmt man die Rhemasse des ereinten Objektes M()=M? Da nten wir ein Sstem S (), in dem M rht. Es bewegt sih mit der Geshwindigkeit ū relati m Sstem S. Von diesem Sstem S () as gesehen fliegen die Kgeln A nd B as Smmetriegründen mit der Geshwindigkeit ±ū af das ereinte Objekt (Addition der Geshwindigkeiten): A B In dem Sstem S () gilt natürlih ah das Geset der Erhaltng bewegter Massen: m() m( ) m() M Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-5

16 Energie-Äqialent m() m( ) m() M Für die bewegten Massen m(ū) seten wir die Formel für die Abhängigkeit der Masse on der Geshwindigkeit ein nd erhalten so für die Rhemasse M : M m Für kleine Geshwindigkeiten ū «wird die Wrel in Reihe entwikelt nd nah dem qadratishen Glied abgebrohen: M m m m Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-6

17 Energie-Äqialent M m m m Die Rhemasse M ist niht, wie man annehmen würde, m, sondern m einen kleinen Betrag (weiter Ordnng) größer. Die kinetishe Energie der einelnen Kgeln ist or dem Stoß: E kin m Nah dem Stoß kommen beide Kgeln r Rhe. Ihre gesamte kinetishe Energie wird in Wärme mgewandelt: E kin Q Q Für die Rhemasse M gilt also: M m Ein Zwahs an Wärmeenergie Q erhöht die Masse m Q/. Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-7

18 Dr. R. Göhring VII-8 Energie-Äqialent 3 Die Abhängigkeit der Masse on der Geshwindigkeit war gegeben drh die Formel: m m() Hier kann man ebenfalls für kleine Geshwindigkeiten «die Wrel in Reihe entwikeln nd nah dem qadratishen Glied abbrehen. kin E m m m m () m Ein Zwahs an kinetisher Energie E kin erhöht die Masse m E kin /

19 Energie-Äqialent 4 Einstein hat nah seiner Originalarbeit 95 in einem nähsten Artikel mit dem Titel: Ist die Trägheit eines Körers on seinem Energieinhalt abhängig? geeigt: Gibt ein Körer die Energie L in Form on Strahlng ab, so erkleinert sih seine Masse m L/. Das bisher abgeleitete können wir af alle Arten on Energie erweitern - elektrishe, hemishe sw. nd erallgemeinern: Die Zführng/Abgabe einer Energie E ergrößert/erkleinert die Masse eines Körers m E/. Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-9

20 Energieinhalt einer Masse Für die Rhemasse M des ereinten Objektes bei dem nelastishen Stoß wrde die Formel abgeleitet: M m Q Beide Seiten dieser Gleihng mit mltiliiert ergibt: M m Q Af beiden Seiten dieser Gleihng, die as dem Geset der Erhaltng der Massen abgeleitet wrde, stehen Energieterme. M ist die Rheenergie der Masse M, m die der Masse m. Verallgemeinert: Der Energiegehalt E eines Körers ist gleih seine Masse m mltiliiert mit. E=m Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-

21 Lorent-Transformation des Imlses nd der Energie t t, Im Rhesstem S ist der Imls: = m(),5 nd die Energie:, t = 3 = E = m() Im da mit der Geshwindigkeit bewegten Sstem S ist der Imls:,5 = m( ) nd die Energie:,5,,5, E = m( ) Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-

22 Lorent-Transformation des Imlses nd der Energie Den Zsammenhang wishen der Geshwindigkeit im rhenden Sstem S nd der Geshwindigkeit im da bewegten Sstem S ist drh das Additionstheorem der Geshwindigkeit bestimmt: Wir nehmen hier der Einfahheit halber an, daß die Rihtng der Geshwindigkeiten nd in -Rihtng liegt. Für den Imls genaer entsrehend nserer Annahme gilt dann: m() m Dr. R. Göhring r.goehring@aror.de VII-

23 Dr. R. Göhring VII-3 Lorent-Transformation des Imlses nd der Energie Nah einigen Umformngen der Formel erhalten wir shließlih für den Imls : E ) ( m Analog erhalten wir für die (bewegte) Masse res. E/ : E ) ( m m() E

24 Dr. R. Göhring VII-4 Lorent-Transformation des Imlses nd der Energie Damit können wir die Transformationsgleihngen für dem Imls nd die Energie shreiben: E E E t t t E E E t t t

25 Dr. R. Göhring VII-5 Viererektoren der Lorent-Transformation t t t t t t t Mit dem Ortsektor im Ram-Zeit-Diagramm 3 t 3 3 Notation als Viererektor: