Seminar Bewertungsmethoden in der Personenversicherungsmathematik

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1 Seminar Bewerungsmehoden in der Personenversicherungsmahemaik Technische Reserven und Markwere I Sefanie Schüz Mahemaisches Insiu der Universiä zu Köln Sommersemeser 2010 Bereuung: Prof. Hanspeer Schmidli, Dr. Julia Eisenberg

2 I. Vorwor Der Haupgrund für dieses Buch und somi auch das bevorsehende Seminar lieg darin, dass prakizierende Akuare eine Darsellung der finanzwirschaflichen Mehoden und deren Anwendung in den Lebensversicherungen aus der Sich des Prakikers benöigen. In den ersen zwei Vorrägen geh es um T echnische Reserven und Markwere. Bei T echnischen Reserven oder auch Deckungsrücksellungen handel es sich um gesezlich zu bildende Rücksellungen im Lebensversicherungsbereich, die dem Prämienzahler garanieren sollen, dass bei Ausschüung seiner Lebensversicherung ausreichend Kapial des Versicherungsunernehmens vorhanden is. Als erses wird der Versicherungsverrag mi Gewinnbeeiligung beschrieben. Zunächs anhand des klassischen versicherungsmahemaischen Modells mi einer deerminisischen Zinsrae und keinen Invesiionsalernaiven. Die klassische Bewerung basierend auf konservaiven Bewerungsannahmen wird erklär und ein alernaiver Bewerungsansaz wird vorgesell. Hierbei is die Unereilung der zukünfigen Zahlungen in garaniere und nich garaniere Zahlungen sehr wichig. 1

3 II. Technische Reserven und Markwere 1. Einführung Im Folgenden befassen wir uns mi einigen, für die Berechnung von Markweren relevanen, Bewerungsaspeken in Personenversicherungen. Zunächs sei bemerk, dass die Begriffe prospekiv und rerospekiv eine wichige Rolle spielen. Prospekiv 1 heiß hierbei, dass nur zukünfige Zahlungen berücksichig werden. In diesem Fall berechnen sich die Deckungsrücksellungen als Differenz zwischen Ausgaben auf Seien des Versicherungsunernehmen der Zukunf und Einnahmen der Zukunf. Is diese Mehode nich möglich (Höhe des Versicherungsversprechen nich absolu fesgeleg), so geh man zur rerospekiven Mehode über. Hier ergib sich die Deckungsrücksellung als Differenz zwischen den aufgezinsen eingenommenen Beirägen und den verraglichen Ennahmen für Risiko und Beriebsaufwendungen. Durch das gesame Kapiel hinweg werden sich alle Berechnungen auf den im Folgenden vorgesellen Versicherungsverrag beziehen. Es handel sich hierbei um eine gemische Lebensversicherung 2 mi folgenden Parameern: π Prämienhöhe b a (0) garaniere Überlebenssumme zur Zei 0 b ad garaniere Todesfallsumme Bonus wird durch Erhöhung der Überlebenssumme gezahl. (Demzufolge is die Überlebenssumme abhängig von der Zei.) Der Versicherungsverrag wird zur Zei 0 mi einer Laufzei von n Jahren abgeschlossen, wenn der Versichere x Jahre al is. Kosen werden zunächs außer Ach gelassen. Wir nehmen an, dass der Versichere mi deerminisischer Serberae µ(s) im Aler von x + s Jahren sirb. Hierbei is naürlich zu beachen, dass µ(s) abhängig is von x. Außerdem gehen wir davon aus, dass die Diskonierung auf einer vorbesimmen Zinsrae basier. Der Diskonierungsfakor is eine wichige Größe für u bis, exp( u r(s)ds). [Abk.: exp( u r)] Im Falle einer konsanen Zinsrae gleich der Diskonierungsfakor exp( r(u )) = v u, wobei v = exp( r). Eine andere wichige Größe is definier durch exp( u µ(s)ds) [Abk.: exp( u µ)] und beschreib die Überlebenswahrscheinlichkei von einem Aler von x + bis x + u. In der Versicherungsmahemaik noier durch u p x+. 1 Nach EU-Vorgaben solle die prospekive Mehode verwende werden. 2 Uner einer gemischen Lebensversicherung verseh man die Kombinaion aus Todes- und Erlebensfallversicherung. Im Todesfall des Versicherungsnehmers zahl die Versicherung an die Hinerbliebenen die vereinbare Versicherungssumme, im Erlebensfall erhäl der Kunde selbs diese Summe plus evenuell erwirschafeer Überschussaneile der Versicherung. 2

4 Zur Erinnerung nochmal die Barwere zur Zei jeweils einer Einhei einer: Erlebensfallversicherung 1 : n E x+ = v n n p x+ = e n r+µ, emporären Todesfallversicherung 2 : A 1 x+n = n emporären Leibrene 3 : a x+n = n vs s p x+ µ(s) ds = n vs s p x+ ds = n e s r+µ µ(s) ds, e s r+µ ds. 2. Die radiionelle Zusammensezung der Verbindlichkeien Es gib drei verschiedene Rechnungsgrundlagen. Hierbei handel es sich um in versicherungsmahemaischen Berechnungen verwendee Parameer. Hier zum einen die Zinsrae und zum anderen die Serbewahrscheinlichkei. 1. Ordnung: besonders vorsichig besimm 2. Ordnung: realisisch gewähl 3. Ordnung: den asächlich eingereenen Vehälnissen ensprechend 2.1 Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung Beginnen wir mi den Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung, (r δ, µ δ ), und berachen wie sich die echnischen Reserven hiermi berechnen. Wir erhalen die folgende Differenzengleichung mi Anfangsbedingung: V () = r δ ()V () + π µ δ ()R (), V (0) = 0 wobei: R () = b ad V () Risikosumme Zeiinervall für Verzinsung 1 Die Erlebensfallversicherung sieh vor, dass der Versicherungsnehmer zum vereinbaren Zeipunk (Endaler) eine Leisung in Form einer Erlebensfallsumme von der Versicherung erhäl. Voraussezung is, dass der Versicherungsnehmer diesen Zeipunk persönlich erleb. Die Erlebensfallversicherung is eine häufig vorkommende Variane der allg. Lebensversicherung bzw. der gemischen Lebensversicherung. 2 Bei dieser Versicherungsar wird die Versicherungssumme nur dann bezahl, wenn der Versichere vor dem Aler x + n sirb. 3 Diese Rene umfass die ersen n Renenzahlungen der sofor beginnenden lebenslänglichen Leibrene, wobei, da es sich um eine Leibrene handel, bei Tod des Versicheren während der Ablaufzei auch weniger als n Renenzahlungen erfolgen können. 3

5 Die zu dieser diskreen Gleichung korrespondierende DGl enseh durch Division durch und der Grenzwerberachung für 0. d d V () = r δ ()V () + π µ δ ()R (), V (0) = 0 Gelös über das Inervall (0, ] erhalen wir die rerospekive Form V () = 0 e s rδ +µ δ (π b ad µ δ (s)) ds Gelös über das Inervall (, n] erhalen wir die prospekive Form V () = b ad A 1δ x+n + V (n) n E δ x+ πa δ x+n wobei V (n) der Endwer der echnischen Reserven is. Man sieh, dass in der prospekiven Form die Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung zusammen mi dem Endwer der echnischen Reserven vorkommen. Da dieser jedoch zum Zeipunk unbekann is, is dies keine gue Berechnungshilfe. Wird der Endwer V (n) jedoch als Endleisung, sprich Überlebenssumme inerpreier, so beschreib die prospekive Form die Deckungsrücksellungen als prospekiven Wer aller Zahlungen bewere mi den zukünfigen Rechnungsgrundlagen. 2.2 Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung Nun berachen wir die Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung, (r, µ ), mi denen, gemäß dem Äquivalenzprinzip 1, die garanieren Leisungen fesgesez werden. Wir kommen zu der folgenden DGl: d d V () = r ()V () + π µ ()R () + δ() V (0) = 0 Dividendenrae δ() = (r δ () r ())V () + (µ () µ δ ())R () genau so, dass Deckungsrücksellungen übereinsimmen mi der Definiion von eben. (Zum einen kann durch gegebene Rechnungsgrundlage 2. Ordnung die Dividendenrae besimm werden und zum anderen is bei gegebener Dividendenrae jedes Paar (r δ, µ δ ) ein Kandida für die Rechnungsgrundlage 2. Ordnung.) Die DGl gelös über [0, ] führ zur rerospekiven Form V () = 0 e s r +µ (π b ad µ (s) + δ(s)) ds Nach dem Äquivalenzprinzip ergib sich auf Grundlage der echnischen Reserven für die garaniere Überlebenssumme zur Zei b a () = V ()+πa x+n bad A 1 x+n n E x+ 1 Nach diesem müssen die zu erwarenden Leisungen der Versicherungsgesellschaf und die zu erwarenden Gegenleisung des Versicherungsnehmers einander gleich sein. 4

6 Nun können wir die prospekive Form wie folg schreiben V () = b ad A 1 x+n + ba () n E x+ πa x+n Wir sehen b a (n) = V (n). Die Deckungsrücksellung ensprich also der Überlebenssumme zum Endpunk n. Dies unersüz die Inerpreaion der Deckungsrücksellung als Endleisung. Ebenfalls ergib sich die garaniere Erlebensfallsumme zum Zeipunk 0: b a (0) = πa xn bad A 1 xn ne x Die prospekive Form beschreib die Rücksellungen als einen prospekiven Wer der zur Zei garanieren Zahlungen bewere mi den RG 1. Ordnung. Die Rücksellungen zur Zei decken die garanieren Zahlungen zur Zei. 2.3 Rechnungsgrundlagen 3. Ordnung Wir berachen nun die unvereilen Rücksellungen 1 und ihr Ensehen aus den RG 3. Ordnung, (r, µ). Die Berechnung der Gesamhei der Rücksellungen mihilfe der RG 3. Ordnung führ zu der folgenden DGl: d d U() = r()u() + π µ()r(), U(0) = 0 wobei R() = b ad U() die Risikosumme is. Die DGl gelös über [0, ] führ zu der rerospekiven Form U() = 0 e s r+µ (π b ad µ(s)) ds ( ) Die prospekive Form is U() = b ad A 1 x+n + U(n) n E x+ πa x+n wobei U(n) der Endwer der Gesamhei der Rücksellungen is. Die unvereilen Rücksellungen ergeben sich zu guer Lez als Differenz aus der Gesamhei der Rücksellungen und den Deckungsrücksellungen. X() = U() V () Wir erhalen die rerospekive Form X() = 0 e s r+µ (c(s) δ(s)) ds ( ) wobei der Beiragssaz c definier is durch c() = (r() r ())V () + (µ () µ())r () 1 Teil des Überschusses, der der Gruppe der Versicherungsnehmer zugeeil is, jedoch uner ihnen an sich noch nich aufgeeil wurde. 5

7 Man sieh, dass die unvereilen Rücksellungen aus vergangen Beirägen minus vergangenen Dividenden besehen. Für die Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung soll nun gelen: X(n) = U(n) V (n) = 0 Dann folg für die prospekive Form X() = n e s r+µ (δ(s) c(s)) ds ( ) Aufgrund der Bedingung an die Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung und der Definiion von V () als prospekiver Wer der zukünfigen Zahlungen ergib sich U() = V (). ( )( ) sind Definiionen von U und X, wobei zum Beispiel ( ) eine Darsellung einer der Größen is basier auf der Bedingung, dass X(n) = 0. Die Bedingung U(n) b a (n) = 0 kann durch Muliplikaion mi e n 0 r+µ auch wie folg geschrieben werden b a (n) n E x + b ad A 1 xn πa xn = 0 Die Bedingung X(n) = 0 ensprich der Anwendung des Äquivalenzprinzips auf die Gesamhei der Zahlungen mi der Rechnungsgrundlage 3. Ordnung. (Zusäzlich würde man eigenlich noch eine Liquidiäsbedingung einführen, X() 0. Der Zweck wäre die Sicherhei, dass U zu jedem Zeipunk die echnischen Reserven, inerpreier als der Wer der garanieren Zahlungen bewere mi Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung und einen Sicherheiszuschlag beinhalend, deck. Daher würde in der radiionellen Zusammensezung U V nich akzepier werden. In der markwirschaflichen Zusammensezung sind Liquidiäsbedingungen wie U V nich nowendig.) 3. Die markwirschafliche Zusammensezung der Verbindlichkeien Die garanieren Zahlungen zur Zei sind gegeben durch die Prämienhöhe π, die Summe im Todesfall b ad und der Überlebensfallsumme b a (). Die Markreserve zur Zei is durch die folgende prospekive Formel gegeben V g () = b ad A 1 x+n + ba () n E x+ πa x+n Demzufolge is V g () ein prospekiver Wer der garanieren Zahlungen auf Basis der Rechnungsgrundlagen 3. Ordnung. V g () deck also die garanieren Zahlungen zum Zeipunk. Nun schauen wir uns Bonuszahlungen an. Bonuszahungen zur Zei sind Zahlungen, die zu diesem Zeipunk nich garanier sind. Die wirklichen Zahlungen unerscheiden sich von den garanieren Zahlungen lediglich aufgrund der Überlebenssumme b a (n). b a (n) b a () is genau die Bonuszahlung. Diese ha den Markwer V b () = (b a (n) b a ()) n E x+ (Bonuspoenial zur Zei ) Dieses deck die nich garanieren Zahlungen zur Zei. Es is sinnvoll, das Bonuspoenial in zwei Rücksellungen aufzueilen. Zum einen das Individuelle, V ib, und zum anderen das Kollekive, V cb. Wir berachen den Fall 6

8 V V V g V b = V cb + V ib = (V V ) + (V V g ) Berache man das genauer, folg, dass das individuelle Bonuspoenial der Markwer des in den garanieren Zahlungen aufreenden Sicherheiszuschlag is. Das Kollekive kann dann als Bonuspoenial minus individueller Bonus berechne werden. 4. Verbindlichkeien und Bewerungsprinzipien Nun werden wir die soeben vorgesellen Rücksellungen als bedinge Erwarungswere präsenieren. Wir schauen uns die einzelnen Besandeile der prospekiven Formeln an. Dies ermöglich uns die Formeln auch für andere Versicherungsaren zu generalisieren. Z sei nun eine Indikaorfunkion. Z() wird genau dann 1, wenn der Versichere zum Zeipunk o is. Außerdem eine weiere Funkion N, die die Anzahl der Toen bis zum Zeipunk angib. (Hier also Z = N) Die Funkion I() = 1 Z() is eine Indikaorfunkion, die genau dann 1 wird, wenn der Versichere zum Zeipunk noch leb. Die all diesen Prozessen zugrunde liegende Zufallsvariable is die verbleibende Lebensdauer zur Zei 0 bei einem Aler von x, T x. Nun können wir die Elemene der prospekiven Formeln wie folg schreiben. (Es handel sich jeweils um bedinge Erwarungswere, wobei Z() = 0 die Bedingung darsell.) n E x+ = E [e n r I(n)], a x+n = E [ n A 1 x+n = E [ n e s r I(s) ds], e s r dn(s)]. 1) Bedinger Erwarungswer des diskonieren Gewinns 2) Inegral is wie folg inerpreier: I() min(t x,n) e s r ds 3) dn(s) Änderung von N zur Zei s (dn(s) = 0, s T x ; überleb der Versichere bis n, dn(s) = 0 für s n; demzufolge is dn(s) der Gewinn zur Zei s einer Einhei der Versicherung.) Die wesenlichen Elemene sind Diskonierung, der bedinge Erwarungswer und grundlegende Zahlungen,wobei wir nur die Zahlungen beweren wollen. Nun führen wir das Prinzip der Arbiragefreihei ein. Wir nehmen an, dass die Zahlungen an den Versicherer auf einem Kono mi Zinszuwachs deponier werden. Die vom Versicherungsunernehmen geleiseen Zahlungen werden abgebuch. Mi S 0 () bezeichnen wir den Wer einer im Zeipunk 0 angelegen Einhei zur Zei. Dami ergib sich für den Wer einer zur Zei s angelegen Einhei zur Zei, S 0 ()/S 0 (s). Wir nehmen an, dass ein Zinssaz exisier, sodass d d S0 () = r()s 0 (), S 0 (0) = 1 7

9 S 0 () = e 0 r Durch die Einführung von S 0 haben wir einen Finanzmark spezialisier. Wir haben ein Anlagegu spezifizier, in das der Versicherer invesieren kann. Es exisieren jedoch keinerlei Invesiionsalernaiven; folglich exisier nur ein Asse S 0 in das der Versicherer invesier. Wenn S 0 deerminisisch is können leich Bondpreise, Preise von Opionen usw. bewere werden. Ein Zerobond is eine Anleihe, bei der es nur eine Auszahlung (hier eine Einhei) am Ende der Laufzei gib. Der Wer zur Zei sei P (, n). Wenn S 0 deerminisisch is, so gil: P (, n) = e n r. Angenommen P (, n) = e n r + ε. Wir verkaufen nun den Zerobond und invesieren den Verkaufserlös P (, n) in S 0, indem wir P (, n)/s 0 () Einheien von S 0 kaufen. Zur Zei n, nachdem wir eine Einhei an den Besizer des Zerobonds gezahl haben, beräg der Wer unserer Invesiion P (, n)s 0 (n)/s 0 () 1 = εe n r Wäre nun ε 0 häen wir den Wer ohne Risiko erzeug. Diese Möglichkei lassen wir jedoch nich zu womi folg, dass ε = 0 gil. Dami sind wir bei der Arbiragefreihei, die das Fehlen jeder Möglichkei zur Arbirage, sprich der Ausnuzung von räumlichen oder zeilichen Preisdifferenzen für ein Gu, beschreib. Is S 0 nich deerminisisch können wir zunächs keine Aussage machen. Wir gehen also davon aus, dass r deerminisisch is. Nun beschäfigen wir uns mi dem Diversifikaionsprinzip und dem dazugehörenden Erwarungswer. Wenn I(n) zur Zei 0 bekann is, erhalen wir den Wer e n 0 r I(n) für die Zahlungen. Der Todeszeipunk is allerdings nich bekann. Demzufolge können wir e n 0 r I(n) lediglich als sochasischen Barwer inerpreieren. Nehmen wir nun an, der Versicherer schließ eine große Zahl m von Verrägen ab mi jeweils unabhängigen und idenisch vereilen Zahlungen. I i () sei die Indikaorfunkion für den i-en Versicheren. Nun greif das Gesez der großen Zahlen und wir schließen, dass der Gesambarwer pro Versicheren gegen den erwareen Barwer eines einzelnen Verrags für seigendes m konvergier. Dies kann auf Siuaionen verallgemeiner werden, in denen die Versicherungsverräge unerschiedliche Laufzeien haben. Wenn der Tod mi Rae µ einri, erhalen wir für I(n) zur Zei 0 den Wer e n 0 r E[I(n)] = e n 0 r+µ I(n) = n E x. Da of aber auch der Wer während der Laufzei gewünsch is, gehen wir nun davon aus, der Versicherer wüsse, dass der Versichere zum Zeipunk leb. Dann erhalen wir den folgenden Wer e n r E [I(n)] = e n r+µ I(n) = n E x+ Dieser beschreib die Verbindlichkeien zur Zei eines zur Zei 0 abgeschlossenem Versicherungsverrag, wobei der Versichere zur Zei 0 x Jahre al war und bekann is, dass er zur Zei leb. 8

10 Zum Schluss schauen wir uns noch an wie die Arbiragefreihei und die Diversifikaion die markwirschafliche Zusammensezung der Rücksellungen unermauern. Wenn wir beispielhaf nochmal zwei der prospekiven Formeln berachen und ewas umschreiben, erhalen wir V g () = E [ n e s V b () = E [(b a (n) b a ())e n r I(n)], r (b ad dn(s) I(s)π ds) + b a ()e n r I(n)], All diese Größen bauen auf der Arbiragefreihei und der Diversifikaion auf. Ersichlich wird dies auch durch Elemene wie den Diskonierungsfakor und bedinge Erwarungswere in den Formeln. Im Gegensaz dazu bauen die zwei folgenden Versionen der echnischen Reserven nich auf den zwei Prinzipien auf, da zum Beispiel der Diskonierungsfakor nich auf der Zinsrae des Bankkonos basier. V () = E δ [ n V () = E [ n e s e s rδ (b ad dn(s) I(s)π d) + e n rδ b a (n)i(n)], r (b ad dn(s) I(s)π ds) + e n r b a ()I(n)]. 9