Übungsblatt 4 Lösungsvorschläge

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1 Insiu für Theoreische Informaik Lehrsuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsbla 4 Lösungsvorschläge Vorlesung Algorihmenechnik im WS 09/10 Problem 1: Flüsse [vgl. Kapiel 4.1 im Skrip] ** Gegeben sei ein Nezwerk D = (V, E), in dem es zu einigen Kanen (u, v) E auch Kanen (v, u) E gib. Weierhin sei ein maximaler Fluss f : E R + 0 gegeben. Zeigen Sie, dass man dieses Flussproblem auf ein Flussproblem auf dem Nezwerk D = (V, E ) überführen kann, wobei gil: E is maximale Teilmenge von E mi (u, v) E (v, u) / E, so dass der Wer des Maximalflusses nich veränder wird. Lösung. Sei f ein maximaler Fluss auf D und (u, v), (v, u) E mi f(u, v) f(v, u). Wir zeigen zunächs, dass das Flussnezwerk D = (V, E ) mi E := E \ {(v, u)} den Wer des Maximalflusses erhäl. Dami is klar, dass die Aussage der Aufgabe gil. Dazu definieren wir den Fluss f durch { f f(i, j) falls (i, j) (u, v) (i, j) := f(i, j) f(j, i) falls (i, j) = (u, v). Der Fluss f erfüll auf der Kane (u, v) E wegen f(u, v) f(v, u) weierhin die Kapaziäsbedingung, d. h. 0 f (i, j) c(i, j). Des Weieren is die Kapaziäsbedingung für alle übrigen Kanen (x, y) (u, v) rivialerweise erfüll. Für den Knoen u gil außerdem: w (u) = f (w, u) f (u, w) (w,u) E (u,w) E = f (w, u) f (u, w) f (u, v) (w,u) E (u,w) E \{(u,v)} = f(w, u) f(u, w) (f(u, v) f(v, u)) (w,u) E (u,w) E \{(u,v)} = f(w, u) f(u, w) (w,u) E = w(u) (u,w) E Für u s und u gil w(u) = 0. Folglich gil auch für f Flusserhalungsbedingung. Die Gleichung zeig darüber hinaus, dass w (f ) = w(f) gil, da für u = s die Gleichung w (f ) = w (s) = w(s) = w(f) gil. Sei f ein Maximalfluss in D dann gil also w ( f) w (f ) = w(f). Da sich jeder Fluss in D rivial zu einem Fluss in D forsezen läss, gil auch w ( f) w(f) und dami w ( f) = w(f). Problem 2: Flüsse mi Knoenkapaziäen [vgl. Kapiel 4.1 im Skrip] ** Das maximale Flussproblem aus der Vorlesung kann folgendermaßen erweier werden: Neben den Kanenkapaziäen c seien noch Knoenkapaziäen γ : V R + 0 gegeben. In einem solchen Nezwerk

2 (D, s,, c, γ) heiß eine Abbildung f Fluss, wenn sie neben den bekannen Eigenschafen (Flusserhalungsbedingung und (Kanen)-Kapaziäsbedingung) auch die folgende erfüll: Für alle v V is die Knoenkapaziäsbedingung f(v, w) γ(v) wenn v V \ {} erfüll. f(u, v) γ(v) wenn v = Zeigen Sie, dass die Besimmung eines maximalen Flusses in einem Nezwerk mi Kanen- und Knoenkapaziäen auf ein maximales Flussproblem in einem normalen (d. h. ohne Knoenkapaziäen) Nezwerk mi vergleichbarer Größe zurückgeführ werden kann. Lösung. Abbildung 1 zeig wie ein Knoen mi Knoenkapaziä umgeform werden muss, um ein solches Nezwerk auf ein normales Flussnezwerk zurückzuführen. Die Umformung is flussäv v in e v v ou γ(v) = c v c(e v ) = c v Abbildung 1: Knoenkapaziä wird flussäquivalen in Kanenkapaziä umgeform quivalen, da durch die Kapaziäsbedingung der Kane e v die Knoenkapaziäsbedingung γ(v) realisier wird und alle sonsigen Nachbarschafen und Kanenkapaziäsbedingungen beibehalen werden. Die Knoenkapaziäsbedingung beschränk den Ausfluss eines Knoens v ebenso wie die Kapaziä der Kane e v. Für ou is analog der Einfluss beschränk. Der Fluss im Res des Nezwerkes bleib durch diese Umwandlung somi unveränder. Es is leich zu sehen, dass jeder Fluss im Nezwerk vor der Umwandlung auch im Nezwerk nach der Umwandlung gülig is, und umgekehr. Formal gil für ein Nezwerk also: Konsruiere Nezwerk N = (D = (V, E ); s ; ; c ) aus einem Nezwerk N = (D = (V, E); s; ; c; γ), das Knoenkapaziäen enhäl, wie folg: Knoen: V = v V {v in, v ou } Quelle und Senke: s = s in, und = ou Kanen E = {(v ou, w in ) (v, w) E} {(v in, v ou ) v V } Kapaziäen: c : E R + 0 mi c (v ou, w in ) = c(v, w) und c (v in, v ou ) = γ(v) Korrekhei: Offenbar is N ein normales Flussnezwerk von vergleichbarer Größe wie N ( E = E + V, V = 2 V ). Da die Umwandlung eines jeden Knoen den Fluss im Res des Nezwerkes unveränder läss und die Knoenbedingungen erfüll bleiben, gil zudem, dass der maximale Fluss in N und in N den gleichen Wer haben. Eine Lösung in N kann kanonisch auf eine Lösung in N übersez werden. Problem 3: Srömungen und Goldberg & Tarjan Algorihmus [vgl. Kapiel im Skrip] */*** Sei G = (V, E) ein gericheer Graph. Zusäzlich zu den bereis bekannen Kanenkapaziäen c : E R + 0 definieren wir unere Schranken l : E R+ 0, wobei für alle Kanen (u, v) E gil, dass 0 l(u, v) c(u, v).

3 Eine Funkion β : E R + 0 v V erfüll is, das heiß heiß Srömung, wenn die Flusserhalungsbedingung für alle Knoen β(u, v) β(v, w) = 0 für alle v V. Die Srömung β heiß zulässig, falls für alle (u, v) E gil, dass l(u, v) β(u, v) c(u, v). Wir wollen in dieser Aufgabe die Frage beanworen, ob es eine bezüglich l und c zulässige Srömung β in G gib, indem wir das Problem auf ein reguläres Flussproblem zurückführen. Dazu konsruieren wir einen Graphen G = (V V, E E). Wir führen eine Super-Quelle und -Senke s und in V ein. Für jeden Knoen v V führen wir Kanen (s, v) und (v, ) in E ein. Die Kapaziäen c : E R + 0 des Flussnezwerkes in G sind wie folg definier: c (u, v) := c(u, v) l(u, v) für alle (u, v) E c (s, v) := l(u, v) für alle v V (Mindeszufluss) c (v, ) := l(v, w) für alle v V (Mindesabfluss) (a) Konsruieren Sie zu folgendem Graphen G den Graphen G gemäß den obigen Regeln. Dabei sei für jede Kane (u, v) der erse Wer l(u, v), der zweie Wer c(u, v). (3, 5) (, 7) (4, 10) (5, 9) (2, 8) Lösung. Das Nezwerk in Abbildung 2 zeig die Konsrukion des Graphen G = (V, E ) sowie die Flusskapaziäen an den Kanen. 3 2 s Abbildung 2: Flussnezwerk G = (V, E ), das aus dem Sroemungsgraphen aus Aufgabe (a) hervorgeh. Der ursprüngliche Teilgraph G is fe dargesell. (b) Zeigen Sie: Is f : E R + 0 eine beliebige Funkion, dann gil für f : E R + 0 mi f (u, v) := f(u, v) l(u, v) für alle (u, v) E (1) f (u, v) := c (u, v) für alle (u, v) E \ E

4 für jeden Knoen v V, dass f (v, w) = f(v, w) und f (u, v) = f(u, v). Lösung. Wir zeigen die Behaupung durch einfaches Nachrechnen. f (v, w) = f (v, ) + f (v, w) (Kane (v, ) rausziehen) = c (v, ) + ( ) f(v, w) l(v, w) (Aufgabensellung) = = l(v, w) + f(v, w) f(v, w) Die Gleichung f (u, v) = f(u, v) zeig man analog. l(v, w) (Definiion von c ) (c) Zeigen Sie: In G exisier genau dann eine bezüglich l und c zulässige Srömung β, wenn in G der maximale s--fluss f den Wer w(f) = l(u, v) besiz. Hinweis: Benuzen Sie die Definiion von f aus Aufgabe (b) in Ihrem Beweis um zu einer gegebenen Srömung β in G einen Fluss f in G zu konsruieren, und umgekehr. Lösung. Wir zeigen die zu beweisende Äquivalenz in zwei Schrien. : Sei β eine bezüglich l und c zulässige Srömung in G. Wir definieren nun eine Funkion f : E R + 0 auf G und zeigen dass f ein maximaler s--fluss auf G mi Flusswer w(f ) = l(u, v) is. Wir sezen dazu wie in Aufgabe (b) f (u, v) = β(u, v) l(u, v) für alle Kanen (u, v) E und f (u, v) = c (u, v) für die reslichen Kanen (u, v) E \ E. Dami sind die Voraussezungen der Aussage in Aufgabe (b) erfüll, und es gil für jeden Knoen v V : f (v, w) = β(v, w) (Aufgabe b) = β(u, v) (Da β Srömung) = f (u, v) (Aufgabe b) Insgesam folg also f (v, w) = f (u, v) für alle Knoen v V = V \ {s, }, was gerade die Flusserhalungsbedingung für einen s--fluss in G is. Der Wer des Flusses f is somi w(f ) = v V = v V = v V = e E f (v, ) c (v, ) (Definiion von f ) l(e) l(v, w) (Definiion von c ) Des Weieren is f ein maximaler Fluss, da wegen w(f ) = v V c (v, ) alle Kannen zur Senke gesäig sind. Dami is die zu zeigende Aussage bewiesen.

5 : Für die Rückwärsrichung nehmen wir nun an, dass f : E R + 0 Fluss in G mi Flusswer w(f ) = e E l(e) is. Wegen ein zulässiger s-- w(f ) = e E = v V = l(e) l(u, v) (s,v) E = (s,v) E c (s, v) l(u, v) sind alle Kanen (s, v) E gesäig. Analog folg, dass die Kanen (v, ) E ebenfalls gesäig sein müssen. Zu f konsruieren wir nun eine Srömung β : E R + 0 wie folg: Sei β(u, v) = f (u, v) + l(u, v) für jede Kane (u, v) E. Dann sind wieder die Voraussezungen von Aufgabe (b) erfüll, und es gil für β die Flusserhalungsbedingung für alle Knoen v V : β(v, w) = f (v, w) (Aufgabe b) = f (u, v) (Flusserhalung von f) = β(u, v) (Aufgabe b) Das heiß β is eine Srömung. Weierhin is β eine zulässige Srömung, da wegen 0 f (u, v) c(u, v) l(u, v) folg, dass 0 f (u, v) + l(u, v) c(u, v). }{{} =β(u,v) Insgesam is also bewiesen dass in G genau dann eine bezüglich c und l zulässige Srömung β exisier, wenn in G ein maximaler s--fluss mi Wer w(f) = l(u, v) exisier. (d) Besimmen Sie eine zulässige Srömung in dem Graphen aus Aufgabe (a). Berechnen Sie dazu einen maximalen Fluss in dem Graphen G, den Sie aus Aufgabe (a) erhalen haben. Benuzen Sie hierzu den Algorihmus von Goldberg & Tarjan. Geben Sie sämliche Zwischenschrie an. Zeichnen Sie das akuelle Nezwerk vor jeder (bis auf die erse) Relabel-Operaion und nachdem der Algorihmus erminier. Halen Sie sich an die Noaion aus dem Skrip. Lösung. Im Folgenden halen wir uns an die Noaion aus dem Skrip: Gegenkanen bleiben implizi, und werden nich dargesell. Die Were an den Kanen ensprechen dem Präfluss, falls er von 0 abweich. Die Were in Klammern geben die Maximalkapaziä an. Die Were an den Knoen geben den Flussüberschuss an (sofern dieser größer als 0 is). Die Knoenwere in eckigen Klammern geben die Höhe des jeweiligen Knoens an. Fe gezeichnee Knoen sind akiv, während fe gezeichnee Kanen saurier sind. Zunächs wird Relabel(s) durchgeführ. Dann is dis(s) = und alle Kanen (s, v) E werden saurier. Das führ zu folgender Siuaion im Nezwerk.

6 3(3) a, b, 3 c, (7) (1) d, 5 (4) (5) Wir führen jez folgende Operaionen durch: Relabel(a). Dann is dis(a) = 1. Push(a,) mi =. Es is nun e(a) = 0. Es ergib sich folgende Siuaion im Nezwerk. 3(3) a, [1] b, 3 c, (7) (1) d, 5 (4) (5) Wir führen jez folgende Operaionen durch: Relabel(b). Dann is dis(b) = 1. Push(b,) mi = 2. Es is nun e(b) = 1. Push(b,c) mi = 1. Es is nun e(b) = 0 und e(c) = 7. Es ergib sich folgende Siuaion im Nezwerk. 3(3) a, [1] b, [1] c, 7 1 (7) 2 (1) d, 5 (4) (5)

7 Wir führen jez folgende Operaionen durch: Relabel(c). Dann is dis(c) = 1. Push(c,) mi = 5. Es is nun e(c) = 2. Push(c,d) mi = 2. Es is nun e(c) = 0 und e(d) = 7. Es ergib sich folgende Siuaion im Nezwerk. 3(3) a, [1] b, [1] c, [1] 1 (7) 2 (1) d, 7 2(4) Wir führen jez folgende Operaionen durch: Relabel(d). Dann is dis(d) = 1. Push(d,) mi =. Es is nun e(d) = 1. Push(d,a) mi = 1. Es is nun e(d) = 0 und e(a) = 1. Es ergib sich folgende Siuaion im Nezwerk. 3(3) a, 1, [1] b, [1] c, [1] 1 (7) 2 1(1) d, [1] 2(4) Wir führen jez folgende Operaionen durch: Push(a, ) mi = 1. Dann is e(a) = 0. Es is kein weierer Knoen akiv, das heiß der Algorihmus erminier, und die Endsiuaion is wie folg.

8 3(3) a, [1] b, [1] c, [1] 1 7(7) 2 1(1) d, [1] 2(4) Der resulierende Fluss f ha den Wer w(f) = 20. Sez man nun für jede Kane β(e) := f(e) + l(e), so erhäl man folgende gülige Srömung in G. 3(3, 5) 7(, 7) 4(4, 10) 7(5, 9) 3(2, 8)