Hallo Welt für Fortgeschrittene
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- Lennart Hummel
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1 Hallo Wel für Forgechriene Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Informaik 2 Programmieryeme Marenraße Erlangen
2 Agenda Maximaler Flu Minimaler Schni Redukionen Maximale Biparie Maching Konnekiviä Sabile Heiraen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 2
3 Flunezwerke v gericheer Graph G = (V, E) jede Knoenpaar (u, v) ha eine Kapaziä c(u, v) (u, v) E c(u, v) 0 (u, v) E c(u, v) = 0 2 augezeichnee Knoen: Quelle und Senke jeder andere Knoen via Pfad von nach erreichbar Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 3
4 Flu Funkion, die jedem Knoenpaar einen Wer zuwei u, v V: f(u,v) c(u,v) f(u,v) = f(v,u) u V \ {,}: Σv V f(u,v) = 0 Berag de Flue: f = Σv V f(,v) = Σv V f(,v) 6 / 0 8/ 3 / / 9 Beipiel für einen Flu mi Berag 9: 2/2 / 5 /20 7/7 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie /
5 Maximaler Flu Geuch: Flu mi maximalem Berag Wofür da alle? Warenranpor, Sromleiungen, Ölpipeline, ec. Wie? Zunäch: Anferigung von ogenannen Reidualgraphen geben für jede Knoenpaar an, um wie viel man den Flu verändern kann Reidualkapaziä cf(u, v) = c(u,v) f(u,v) 5 5 5/5 v 5 v v5 2/5 v6 v5 2 3 v6 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 5
6 Reidualgraph 0 8/ /20 v / / /7 2 5 / 5 / 9 / 6 2/2 7 v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 6
7 Erweiernder Pfad Reidualgraphpfad von nach kann den Fluberag erhöhen, indem man in ihm die kleine Reidualkapaziä min{cf} uch und jeden Flu f um diee erhöh /3 2/2 6 / / 9 / 5 9 /20 7/7 v / Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 7
8 Ford-Fulkeron-Mehode alle Fluwere f auf 0 ezen while (erweiernder Pfad exiier) { Fluwere auf dem Pfad um min{cf} erhöhen } f i nun maximaler Flu. Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 8
9 Ford-Fulkeron-Mehode v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 9
10 Ford-Fulkeron-Mehode v v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 0
11 Ford-Fulkeron-Mehode v v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie
12 Ford-Fulkeron-Mehode 6 / /2 0 9 / 7 3 / / v v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 2
13 Ford-Fulkeron-Mehode 6 / /2 0 9 / / / 8 2 v v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 3
14 Ford-Fulkeron-Mehode /6 /2 7/0 9 / 7/2 0 7/7 3 / / 8 2 v v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie
15 Ford-Fulkeron-Mehode /6 /2 7/0 9 / 7/2 0 7/7 3 / / 8 5 v v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 5
16 Ford-Fulkeron-Mehode /6 2/2 0 / 9 / 5 /20 7/7 8/ 3 / / 8 5 v v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 6
17 Ford-Fulkeron-Mehode /6 2/2 0 / 9 / 5 /20 7/7 8/ 3 / / v v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 7
18 Ford-Fulkeron-Mehode /6 2/2 0 2/ 3 / 3 v 2 5 7/7 / 8 9 /20 / v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 8
19 Ford-Fulkeron-Mehode /6 2/2 0 2/ 3 / 9 / 2 v 2 7/7 / 5 9 / v Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 9
20 Laufzeiverhalen Random -Implemenierung von Ford-Fulkeron: im wor cae O(E fmax ) Edmond-Karp-Sraegie: Auwahl de erweiernden Pfad via Breienuche wor cae O(V E²) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 20
21 Agenda Maximaler Flu Minimaler Schni Redukionen Maximale Biparie Maching Konnekiviä Sabile Heiraen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 2
22 Schnie Aufeilung aller Knoen in dijunke Mengen S und T, oda: S T Kapaziä c(s, T) = Σu S Σv T c(u, v) in eine Richung Flu f(s, T) = Σu S Σv T f(u, v) falche Richung abziehen 0 8/ 3 5 / 9 6 / 2/2 / /20 7/7 / v / Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 22
23 Minimaler Schni Geuch: Schni mi minimaler Kapaziä f(s, T) = f f c(s, T) MaxFlow-MinCu-Theorem: fmax = cmin(s, T) Löung minimaler Schni: Ford-Fulkeron anwenden u V \ {,} im lezen Reidualgraphen: u von au erreichbar u S u von au nich erreichbar u T Minimaler Schni auf Maximaler Flu reduzier! Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 23
24 Agenda Maximaler Flu Minimaler Schni Redukionen Maximale Biparie Maching Konnekiviä Sabile Heiraen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 2
25 Redukionen Fluproblem erkann, Graph aber unpaend Gewichee Knoen: Löung: Aufpalung in Knoen-Kane-Knoen 2 v' 5 v'2 3 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 25
26 Redukionen Ungerichee Kanen: 2 Löung: Kanen in beide Richungen 2 2 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 26
27 Redukionen mehrere Quellen bzw. mehrere Senken Löung: Superquelle bzw. Superenke einführen 2 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 27
28 Agenda Maximaler Flu Minimaler Schni Redukionen Maximale Biparie Maching Konnekiviä Sabile Heiraen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 28
29 Biparie Graphen Knoen in 2 dijunke Mengen aufeilbar, oda jede Kane zwichen den beiden verläuf v6 v7 v v8 v5 v9 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 29
30 Biparie Graphen Knoen in 2 dijunke Mengen aufeilbar, oda jede Kane zwichen den beiden verläuf v6 v7 v v8 v5 v9 Maching: Auwahl von Kanen, oda jeder Knoen an höchen einer davon anlieg Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 30
31 Biparie Graphen Knoen in 2 dijunke Mengen aufeilbar, oda jede Kane zwichen den beiden verläuf v6 v7 v v8 v5 v9 Maching: Auwahl von Kanen, oda jeder Knoen an höchen einer davon anlieg Maximale Maching: Maching mi möglich vielen Kanen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 3
32 Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) Geuch: minimal nowendige Anzahl an Taxi Gegeben: mehrere Taxiaufräge Uhrzei Abfahrkoordinaen Zielkoordinaen Formel für die Fahrdauer zwichen beliebigen Punken ( x x2 + y y2 ) Minuen Bedingung, einen weieren Aufrag annehmen zu können min vorher chon am Abfahror Ziel: möglich viele Aufräge den Taxi zuordnen, die chon einen Aufrag haen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 32
33 Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6) 08:06, (, 6) a z (5, 8) 08:07, (5, 5) a z (99, 2) :, (5, 8) va vz (5, 8) :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 33
34 Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 3
35 Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 35
36 Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 36
37 Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 37
38 Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 38
39 Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) 08:00, (2, 3) a z (, 6), 08:05 08:06, (, 6) a z (5, 8), 08:9 08:07, (5, 5) a z (99, 2), 09:8 :, (5, 8) va vz (5, 8), :2 :30, (5, 8) v5a v5z (80, 3), 2:50 Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 39
40 Maximale Biparie Maching Gegeben: Knoenmengen V und V2 Menge E der ungericheen Kanen dazwichen Löung maximale Maching: Quellknoen einführen mi jedem V-Knoen verbinden Senkknoen einführen jeden V2-Knoen mi verbinden Kanenrichung einführen V V2 Kapaziä aller Kanen auf ezen maximalen Flu berechnen Maximale Maching auf Maximaler Flu reduzier löbar in O(V E) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 0
41 Beipielaufgabe (Taxi Cab Scheme NWERC 200) a a z z a z va v5a vz v5z Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie
42 Agenda Maximaler Flu Minimaler Schni Redukionen Maximale Biparie Maching Konnekiviä Sabile Heiraen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 2
43 Konnekiviä Gegeben: ungericheer Graph G = (V, E) Geuch: Minimal nowendige Anzahl an Knoen Kanen deren Enfernung von den Graph in 2 Teile renn. (,)-Knoenkonnekiviä Allgemeine Knoenkonnekiviä (,)-Kanenkonnekiviä Allgemeine Knoenkonnekiviä Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 3
44 (,)-Knoenkonnekiviä Geuch: Minimal nowendige Anzahl an Knoen, deren Enfernung von renn. Löung: := := e E: c(e) = v V: c(v) = (,)-Knoenkonnekiviä = fmax Laufzeiverhalen: O(V E) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie
45 Allgemeine Knoenkonnekiviä Geuch: Minimal nowendige Anzahl an Knoen, deren Enfernung den Graph in 2 Teile renn. Löung: Minimum aller (,)-Knoenkonnekiviäen, V (,) E Laufzeiverhalen: O(V³ E) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 5
46 (,)-Kanenkonnekiviä Geuch: Minimal nowendige Anzahl an Kanen, deren Enfernung von renn. Löung: := := e E: c(e) = (,)-Kanenkonnekiviä = fmax Laufzeiverhalen: O(E²) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 6
47 Allgemeine Kanenkonnekiviä Geuch: Minimal nowendige Anzahl an Kanen, deren Enfernung den Graph in 2 Teile renn. Löung: ei V beliebig aber fe Allgemeine Kanenkonnekiviä = Minimum aller (,)-Kanenkonnekiviäen V Laufzeiverhalen: O(V E²) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 7
48 Agenda Maximaler Flu Minimaler Schni Redukionen Maximale Biparie Maching Konnekiviä Sabile Heiraen Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 8
49 Sabile Heiraen Gegeben: n Männer und n Frauen jede Peron ha Präferenzlie de anderen Gechlech Geuch: Sabile Heira Verheiraung aller, oda keine 2 mieinander Unverheiraeen ich gegeneiig ihrem jeweiligen Parner vorziehen. Algorihmu: while (unverheiraeer Mann exiier) { if (ere Frau auf einer Prioriälie i unverheirae ie mag ihn mehr al ihren Ehemann) { verheirae die beiden (annuliere ggf. vorherige Ehe) } ele { enferne die Frau au der Prioriälie de Manne } } Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 9
50 Sabile Heiraen while (unverheiraeer Mann exiier) { if (ere Frau auf einer Prioriälie i unverheirae ie mag ihn mehr al ihren Ehemann) { verheirae die beiden (annuliere ggf. vorherige Ehe) } ele { enferne die Frau au der Prioriälie de Manne } } Laufzeiverhalen: O(n²) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 50
51 Zuammenfaung Ford-Fulkeron-Mehode: Maximaler Flu in O(V E²) Minimaler Schni in O(V E²) Maximale Biparie Maching in O(V E) (,) allgemein Knoen O(V E) O(V³ E) Kanen O(E²) O(V E²) Konnekiviä in... Sabile Heiraen in O(n²) Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 5
52 Quellen Inroducion o Algorihm Cormen, Leieron, Rive, Sein Hallo Wel -Vorräge der Sommeremeer Ferch, Dennl, Eicher, Hahn hp://www-lehre.informaik.uni-onabrueck.de/~graph/krip/ Vornberger Aufgabe C de NWERC 200 Wikipedia Hallo Wel für Forgechrien Flüe, Schnie, biparie Graphen Philipp Reger Folie 52
Hallo Welt für Fortgeschrittene
Hallo Wel für Forgechriene Flüe, Schnie, Biparie Graphen I Florian Hanke Informaik Programmieryeme Marenraße 3 958 Erlangen Inhal Grundlagen Ford-Fulkeron-Algorihmu Edmond-Karp-Sraegie Minimaler Schni
25. Flüsse in Netzen. Motivation. Fluss. Flussnetzwerk
Moivaion 25. Flüe in Nezen Flunezwerk, Maximaler Flu, Schni, Renezwerk, Max-flow Min-cu, Ford-Fulkeron Mehode, Edmond-Karp Algorihmu, Maximale Biparie Maching [Oman/Widmayer, Kap. 9.7, 9.8.1], [Cormen
Restkapazität. = O( V ) mal kritisch. Also gibt es insgesamt höchstens O( V E ) Augmentierungen.
Lemma 4.5.9. Der Algorihmu von Edmond-Karp führ höchen O( V E ) Augmenierungen durch. Bewei. Eine Kane (u, v) heiße kriich auf augmenierenden Weg p gdw. c f (u, v) = c f (p). Rekapaziä Eine kriiche Kane
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KAPITEL 2 KÜRZESTE WEGE F. VALLENTIN, A. GUNDERT Da Ziel diee Kapiel i e kürzee Wege in einem gegebenen Nezwerk zu verehen und zu berechnen. Ein einführe Beipiel für ein Nezwerk zwichen den vier Säden
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.6 Graphen.6. Definition und Dartellung.6. Aupähen von Graphen.6.3 Minimal pannende Bäume.6.4 Kürzete Pfade.6.5 Maximaler Flu .6.5 Maximaler Flu.6.5. Flunetzwerke.6.5. Ford-Fulkeron-Methode.6.5.3 Algorithmu
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Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 10
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Aufgabensammlung BM Berufs- und Weiterbildungszentrum bzb, Hanflandstr. 17, Postfach, 9471 Buchs,
Löung Aufgabenalung BM Beruf- und Weierbildungzenru bzb, Hanflandr. 17, Pofach, 9471 Buch, www.bzbuch.ch 1) Während Sie in eine Lif ehen, ehen Sie eine Schraube von der hohen Decke der Lifkabine herabfäll.
auf den Boden fallen, hört man in gleichen Zeitabständen 4 Geräusche. Welchen Abstand hat die 3. Schraube vom unteren Ende der Fallschnur?
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Lineare Funkionen. Lösungen Lö LÖÖSSUUNNGGEENN ZZUUM.. KPPI IITTEELL ZZUU UUFFGGEE..: : a) as Pfeildiagramm zeig keine Funkion, da von h kein Pfeil ausgeh und von a zwei Pfeile. b) Is eine Funkion, denn
1 Fluss in Graphen. 1.1 Das Residuennetzwerk 10/20 10/30 10/30 10/15 20/20 20/40 20/30. Praktikum Algorithmen-Entwurf (Teil 4)
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ges.: Der erste Treffpunkt ist zum Zeitpunkt 0 am Start. Danach fährt der Fahrer 1 45 min und legt dabei
859. Zwei Auo faren mi erciedenen Gecwindigkeien 1 = 160 / bzw. 2 = 125 / dieelbe Srecke on 200 Länge. Beide Wagen aren gleiczeiig in derelben Ricung. Der arer de cnelleren Wagen mac nac 45min arzei 15min
Die Bildung des Präsens funktioniert dann beispielsweise so: "lauda + mus" - wir loben.
Präen Da Präen i die Gegenwarform. E bechreib alo Handlungen, die gerade paieren. Die Bildung i denkbar einfach und unercheide ich in den unerchiedlichen Konjugaionen (fa immer) nich. Dewegen reich e vollkommen
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Bekommt Schüler F. noch den Bus...
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Analysis II Musterlösung 12. für t [ 0, 2π). y
.. Saz von Green Die Randkurve des, in unensehender Figur dargesellen, umerangs kann paramerisier werden durch 4 cos ( + cos( sin( für, π..75.5.5 -.5 3 4 5 6 -.5 -.75 - Zur erechnung des Flächeninhales
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