Erinnerung VL

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1 Erinnerung VL Graphtraverierung BFS (Breitenuche): in Schichten um Startknoten löt einfache Form de Kürzete-Wege-Problem DFS (Tiefenuche): ert abteigen, dann Alternativen anehen generich formuliert, viele Intanziierungen möglich Heute: mehr zu DFS, kürzete Wege KIT Intitut für Theoretiche Informatik 1

2 Erinnerung: Tiefenuchchema unmark all node; init foreach V do if i not marked then mark root() DFS(, ) // make a root and grow // a new DFS tree rooted at Procedure DFS(u, v : NodeId) // Explore v coming from u foreach (v,w) E do if w i marked then traverenontreeedge(v, w) ele traveretreeedge(v, w) mark w DFS(v,w) backtrack(u,v) // return from v along the incoming edge KIT Intitut für Theoretiche Informatik

3 Wiederholung: Kantenklaizierung Baumkanten: Elemente de Walde, der bei der Suche gebaut wird Vorwärtkanten: verlaufen parallel zu Wegen au Baumkanten Rückwärtkanten: verlaufen antiparallel zu Wegen au Baumkanten Querkanten: alle übrigen forward tree backward cro KIT Intitut für Theoretiche Informatik 3

4 DFS-Nummerierung init: root(): traveretreeedge(v, w): dfpo=1 : 1..n dfnum[]:= dfpo++ dfnum[w]:= dfpo++ u v : dfnum[u] < dfnum[v]. Beobachtung: Knoten auf dem Rekuriontapel ind bzgl. ortiert tree backward b e g f cro forward d c 7 6 KIT Intitut für Theoretiche Informatik 4

5 Fertigtellungzeit init: backtrack(u, v): nihingtime=1 : 1..n nihtime[v]:= nihingtime++ tree backward b e g f cro forward d c 6 3 KIT Intitut für Theoretiche Informatik

6 Kantenklaizierung bei DFS type dfnum[v] < nihtime[w] < w i (v, w) dfnum[w] nihtime[v] marked tree ye ye no forward ye ye ye backward no no ye cro no ye ye forward tree backward cro KIT Intitut für Theoretiche Informatik 6

7 Topologiche Sortierung Denition 1 Eine lineare Anordnung t der Knoten eine DAG G = (V,E), in der alle Kanten von kleineren zu gröÿeren Knoten verlaufen, heiÿt topologiche Sortierung, d. h. (u,v) E : t(u) < t(v). Beipiel: topologich ortierter Kleidergraph, Quelle: Wikipedia Kleidergraph, Quelle: Wikipedia KIT Intitut für Theoretiche Informatik 7

8 Topologiche Sortieren mittel DFS Theorem G it kreifrei (DAG) DFS ndet keine Rückwärtkante. In dieem Fall liefert t(v):= n nihtime[v] eine topologiche Sortierung. KIT Intitut für Theoretiche Informatik 8

9 Topologiche Sortieren mittel DFS Theorem G it kreifrei (DAG) DFS ndet keine Rückwärtkante. In dieem Fall liefert t(v):= n nihtime[v] eine topologiche Sortierung. Bewei : Annahme: Rückwärtkante. Zuammen mit Baumkanten ergibt ich ein Krei. Widerpruch. forward tree backward cro KIT Intitut für Theoretiche Informatik 8

10 Topologiche Sortieren mittel DFS Satz: G kreifrei (DAG) DFS ndet keine Rückwärtkante. In dieem Fall liefert t(v):= n nihtime[v] eine topologiche Sortierung, d. h. (u,v) E : t(u) < t(v). Bewei : Keine Rückwärtkante Kantenklaizierung {}}{ (v,w) E : nihtime[v] > nihtime[w] G it kreifrei und nihtime deniert umgekehrte topologiche Sortierung. KIT Intitut für Theoretiche Informatik 9

11 Starke Zuammenhangkomponenten Betrachte die Relation mit u v fall Pfad u,...,v und Pfad v,...,u. Beobachtung: it Äquivalenzrelation Die Äquivalenzklaen von bezeichnet man al tarke Zuammenhangkomponenten. Übung DFS-baierter Linearzeitalgorithmu Algorithmen II KIT Intitut für Theoretiche Informatik 1

12 Mehr DFS-baierte Linearzeitalgorithmen -zuammenhängende Komponenten: bei Entfernen eine Knoten au einer Komponente bleibt diee zuammenhängend (ungerichtet) 3-zuammenhängende Komponenten Planaritättet (lät ich der Graph kreuzungfrei zeichnen?) Einbettung planarer Graphen KIT Intitut für Theoretiche Informatik 11

13 BFS DFS pro BFS: nichtrekuriv keine Vorwärtkanten kürzete Wege, Umgebung pro DFS: keine explizite Datentruktur (Rekuriontapel) für ToDo, daher mglw. einfacher Grundlage vieler Algorithmen tree forward backward cro KIT Intitut für Theoretiche Informatik 1

14 Kap. 1: Kürzete Wege Eingabe: Graph G = (V,E) mit Kotenfunktion/Kantengewicht c : E R owie Startknoten. 3. km Augabe: für alle v V : Länge µ(v) de kürzeten Pfade von nach v, µ(v) := min{c(p) : p it Pfad von nach v} mit c( e 1,...,e k ) := k i=1 c(e i). KIT Intitut für Theoretiche Informatik 13

15 Kap. 1: Kürzete Wege Eingabe: Graph G = (V,E) mit Kotenfunktion/Kantengewicht c : E R owie Startknoten. 3. km Augabe: für alle v V : Länge µ(v) de kürzeten Pfade von nach v, µ(v) := min{c(p) : p it Pfad von nach v} mit c( e 1,...,e k ) := k i=1 c(e i). Oft wollen wir auch geeignete Repräentation der kürzeten Pfade. KIT Intitut für Theoretiche Informatik 13

16 Anwendungen Routenplanung Straÿennetze Spiele Kommunikationnetze Unterprogramm Flüe in Netzwerken... Tippfehlerkorrektur Dik Scheduling km KIT Intitut für Theoretiche Informatik 14

17 Grundlagen Gibt e immer einen kürzeten Pfad? E kann negative Kreie geben! p u C q v p u C () q v... weitere Grundlagen jut in time KIT Intitut für Theoretiche Informatik 1

18 Azykliche Graphen päter KIT Intitut für Theoretiche Informatik 16

19 Kantengewichte Alle Gewichte gleich: Breitenuche (BFS)! b c d e f g tree backward cro forward 1 3 KIT Intitut für Theoretiche Informatik 17

20 Dijktra Algorithmu Nun: Beliebige nichtnegative Kantengewichte Löung ohne Rechner: M R Ditance to M Kanten Fäden Kantengewicht Fadenlänge Knoten Knoten Dann: Am Startknoten anheben. H G F E C N K L P V Q S O J W KIT Intitut für Theoretiche Informatik 18

21 Korrektheit der Bindfäden Betrachte beliebigen Knoten v mit Hängetiefe d[v]. Pfad mit Hängetiefe: verfolge trae Fäden kürzerer Pfad: fall e einen olchen Pfad gäbe, wäre einer einer Fäden zerrien! H G F E C M N K L P V R Q S O J W Ditance to M KIT Intitut für Theoretiche Informatik 19

22 Edger Wybe Dijktra ACM Turing Award THE: da erte Mulitaking-OS Semaphor Selbt-tabiliierende Syteme GOTO Statement Conidered Harmful Bildquelle: Wikipedia KIT Intitut für Theoretiche Informatik

23 Allgemeine Denitionen Wie bei BFS benutzen wir zwei Knotenarray: d[v] = aktuelle (vorläuge) Ditanz von nach v Invariante: d[v] µ(v) parent[v] = Vorgänger von v auf dem (vorläugen) kürzeten Pfad von nach v Invariante: dieer Pfad bezeugt d[v] Initialiierung: d[] =, parent[] = d[v] =, parent[v] = Kante Kante Kante v parent parent parent d[v] KIT Intitut für Theoretiche Informatik 1

24 Kante (u,v) relaxieren Fall d[u] + c(u,v) < d[v] (vielleicht d[v] = ), etze d[v] := d[u] + c(u,v) und parent[v] := u Invarianten bleiben erhalten! Beobachtung: d[v] kann ich mehrmal ändern! KIT Intitut für Theoretiche Informatik

25 Dijktra Algorithmu: Peudocode initialize d, parent all node are non-canned while non-canned node u with d[u] < u := non-canned node v with minimal d[v] relax all edge (u,v) out of u u i canned now Behauptung: Am Ende deniert d die optimalen Entfernungen und parent die zugehörigen Wege KIT Intitut für Theoretiche Informatik 3

26 KIT Intitut für Theoretiche Informatik 4 Beipiel c b d e f c b d e f a 1 c d e f b f b e d c c f e d c d f b e a a b a a a 1 6 7

27 Korrektheit Annahme: alle Koten nicht-negativ! Wir zeigen: v V : v erreichbar = v wird irgendwann gecannt v gecannt = µ(v) = d[v] KIT Intitut für Theoretiche Informatik

28 v erreichbar = v wird irgendwann gecannt Annahme: v it erreichbar, aber wird nicht gecannt gecannt ungecannt ungecannt {}}{{}}{{}}{ = v 1 v v i 1 v i v k = v }{{} ein kürzeter v Pfad = v i 1 wird gecannt = Kante v i 1 v i wird relaxiert = d[v i ] < Widerpruch nur Knoten x mit d[x] = werden nie gecannt? KIT Intitut für Theoretiche Informatik 6

29 v erreichbar = v wird irgendwann gecannt Annahme: v it erreichbar, aber wird nicht gecannt gecannt ungecannt ungecannt {}}{{}}{{}}{ = v 1 v v i 1 v i v k = v }{{} ein kürzeter v Pfad = v i 1 wird gecannt = Kante v i 1 v i wird relaxiert = d[v i ] < Widerpruch nur Knoten x mit d[x] = werden nie gecannt Up: Spezialfall i = 1? Kann auch nicht ein. v 1 = wird nach Initialiierung gecannt. KIT Intitut für Theoretiche Informatik 6

30 v gecannt = µ(v) = d[v] Annahme: v gecannt und µ(v) < d[v] OBdA: v it der erte gecannte Knoten mit µ(v) < d[v]. t := Scan-Zeit von v Scan-Zeit < t Scan-Zeit t Scan-Zeit = t {}}{{}}{{}}{ = v 1 v v i 1 v i v k = v }{{} ein kürzeter v Pfad Alo gilt zur Zeit t: µ(v i 1 ) = d[v i 1 ] v i 1 v i wurde relaxiert {}}{ = d[v i ] d[v i 1 ] + c(v i 1,v i ) = µ(v i ) µ(v)< d[v] = v i wird vor v gecannt. Widerpruch! Wieder: Spezialfall i = 1 unmöglich. KIT Intitut für Theoretiche Informatik 7

31 Implementierung? initialize d, parent all node are non-canned while non-canned node u with d[u] < u := non-canned node v with minimal d[v] relax all edge (u,v) out of u u i canned now Wichtigte Operation: nde u KIT Intitut für Theoretiche Informatik 8

32 Prioritätlite Wir peichern ungecannte erreichte Knoten in adreierbarer Prioritätlite Q. Schlüel it d[v]. Knoten peichern handle. oder gleich item KIT Intitut für Theoretiche Informatik 9

33 Implementierung BFS mit PQ tatt FIFO Function Dijktra( : NodeId) : NodeArray NodeArray // return (d, parent) Initialiierung: d=,..., : NodeArray of R { } // tentative ditance from root parent=,..., : NodeArray of NodeId parent[]:= // elf-loop ignal root Q : NodePQ // uncanned reached node d[] := ; Q.inert() KIT Intitut für Theoretiche Informatik 3

34 Function Dijktra( : NodeId) : NodeArray NodeArray d =,..., ; parent[]:= ; d[] := ; Q.inert() while Q / do u := Q.deleteMin u // can u foreach edge e = (u,v) E do canned if d[u] + c(e) < d[v] then // relax d[v]:= d[u] + c(e) parent[v] := u // update tree if v Q then Q.decreaeKey(v) u v ele Q.inert(v) reached return (d, parent) KIT Intitut für Theoretiche Informatik 31

35 Beipiel 3 a b c d e f a b c d e f a b c d e f a b d e a b d e a b d e c f 7 c f 7 c f Operation Queue inert() (,) deletemin (,) relax a (a,) relax 1 d (a,),(d,1) deletemin (a,) (d,1) relax a 3 b (b,),(d,1) deletemin (b,) (d,1) relax b c (c,7),(d,1) relax b 1 e (e,6),(c,7),(d,1) deletemin (e,6) (c,7),(d,1) relax e 9 b (c,7),(d,1) relax e 8 c (c,7),(d,1) relax e d (d,6),(c,7) deletemin (d,6) (c,7) relax d 4 (c,7) relax d b (c,7) deletemin (c,7) KIT Intitut für Theoretiche Informatik 3