TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 2009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 11 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott, V. Prinz Abgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 11.1 (P) Kürzeste Wege Gegeben sei ein Graph mit n Knoten, der keine Kreise negativer Länge besitzt. a) Zeigen Sie, dass in einem Graphen alle Teilpfade eines kürzesten Weges auch wieder kürzeste Wege zwischen den entsprechenden Knoten sind. b) Angenommen von einem Knoten s sind alle anderen Knoten erreichbar. Zeigen Sie, dass man in dem Graphen einen an s gewurzelten Spannbaum finden kann, so dass jeder (gerichtete) Teilpfad dieses Baums ein kürzester Pfad zwischen seinen Endknoten ist. Hinweis: Nehmen Sie zunächst an, alle kürzesten Pfade wären eindeutig und betrachten Sie den Teilgraph bestehend aus allen kürzesten Pfaden, die bei s beginnen. Zeigen Sie, dass dieser Teilgraph ein Baum ist und erweitern Sie die Argumentation auf den Fall, wenn kürzeste Pfade nicht eindeutig sind. Lösungsvorschlag 11.1 a) Indirekter Beweis: Angenommen, es gibt in einem Graphen einen kürzesten Pfad (v 0,v 1,...,v k ) zwischen zwei Knoten v 0 und v k, so dass ein Teilpfad p 2 = (v i,...,v j ) kein kürzester Pfad zwischen v i und v j ist. Das würde bedeuten, dass es einen kürzeren Pfad p 2 gibt. Da sich die Länge des kürzesten Weges zwischen v 0 und v k aus den Längen der Teilpfade p 1 = (v 0,...,v i ), p 2 = (v i,...,v j ) und p 3 = (v j,...,v k ) zusammensetzt, könnte man einen kürzeren Pfad zwischen v 0 und v k konstruieren, indem man p 2 durch p 2 ersetzt, was im Widerspruch zur Annahme steht, dass der ursprüngliche Pfad (v 0,v 1,...,v k ) von minimaler Länge sein sollte. Die Annahme muss also falsch sein, und damit kann man keinen Teilpfad eines kürzesten Pfades finden, der selbst kein kürzester Pfad zwischen seinen Endknoten ist. b) Da der Graph keine Kreise negativer Länge enthält und da jeder Knoten vom Knoten s erreichbar ist, muss es von s aus zu jedem anderen Knoten mindestens einen kürzesten Pfad geben, in dem kein Knoten mehr als einmal vorkommt. (Sollte auf einem kürzesten Weg zu einem Knoten t ein Knoten v mehrmals vorkommen, dann kann der Teilpfad zwischen dem ersten und dem letzten Auftreten von v nur die Länge 0 haben. Für eine Länge echt kleiner als Null, wäre dies ein verbotener Kreis negativer Länge. Für eine Länge echt größer als Null wäre der Teilpfad von v nach v kein kürzester Pfad, was ein Widerspruch wäre. Einen Kreis der Länge Null könnte man aber entfernen, so dass v nur einmal im kürzesten Pfad enthalten wäre.) Wenn wir nun annehmen, dass zwischen jedem Paar (s,v i ) von Knoten nur jeweils ein kürzester Pfad von s nach v i existiert, dann ist die entstehende Struktur, die die

2 2 kürzesten Wege von s aus repräsentiert, ein (gerichteter) Baum mit der Wurzel s, denn es gibt in diesem Graph nur gerichtete Pfade, die entweder (eindeutige, kreisfreie) kürzeste Pfade von s zu einem Knoten sind, oder eben deren Teilpfade, die nach Teilaufgabe a) auch (eindeutige) kürzeste Pfade sind. (Es gibt keine Pfade, die die Wurzel überqueren, und auch keine Pfade, die von unterschiedlichen Knoten zum selben Zielknoten führen.) Sollte es Paare von Knoten geben, für die es mehr als einen kreisfreien kürzesten Pfad gibt, dann kann man die Anzahl der Kanten reduzieren, in dem man bei einem Knoten x mit Eingangsgrad größer als Eins eine eingehende Kante entfernt. Dieser Knoten ist nach wie vor von s erreichbar (und jeder solche Pfad muss ein kürzester Pfad sein). Alle gerichteten Wege zu diesem Knoten x sind also nach wie vor kürzeste Wege, denn sie sind (immer noch) Teilpfade eines kürzesten Pfades von s nach x. Diese Kantenlöschung kann man fortsetzen, bis alle Knoten außer s Eingangsgrad Eins haben. In diesem Fall ist der resultierende Graph wieder ein gerichteter Baum mit Wurzel s. Aufgabe 11.2 (P) Lange Wege Betrachten Sie die folgenden Währungen (AUD = Australische Dollar, BRL = Brasilianische Real, CNY = Chinesische Renminbi Yuan, EUR = Euro, GBP = Groß Britanische Pfund, JPY = Japanische Yen, USD = US Dollar) und ihre Wechselkurse (gerundete interbank rate, Stand: ) AUD BRL CNY EUR GBP JPY USD AUD 1,00 1,59 5,45 0,57 0,49 76,48 0,80 BRL 0,63 1,00 3,44 0,36 0,31 48,24 0,50 CNY 0,18 0,29 1,00 0,11 0,09 14,07 0,15 EUR 1,74 2,77 9,50 1,00 0,85 133,28 1,39 GBP 2,06 3,28 11,25 1,18 1,00 157,73 1,64 JPY 0,01 0,02 0,07 0,01 0,01 1,00 0,01 USD 1,26 2,00 6,85 0,72 0,61 96,00 1,00 Zur Vereinfachung nehmen wir an, das keine Wechselgebühren anfallen. a) Tauschen sie 100 EUR in USD. Suchen Sie einen Weg um mehr als die dem Kurs entsprechenden 139 USD zu erhalten. b) Läßt sich dieses Problem mit einem Algorithmus aus der VL automatisieren? Welche Modifikationen muss man dazu vornehmen? c) Was entspricht in dieser Situation einem Kreis negativen Gewichts? d) Gibt es in obigem Graphen einen solchen Kreis? Was bedeutet das? e) Für Interessierte: Finden Sie einen Algorithmus (modifizieren Sie obigen) der, gegeben eine solche Kursmatrix, Kreise negativen Gewichts ausgibt. f) Für Interessierte: Betrachten Sie die Situation mit Wechselgebühren.

3 3 Lösungsvorschlag 11.2 a) Tauscht man zunächst zu CNY erhält man 142, 50 USD Durch Rundungsfehler ist der Tausch von JPY zu GBP sehr vorteilhaft. Zum Beispiel erreicht man mit der Folge EUR JPY GBP USD absurde USD. b) Es handelt sich um ein kürzeste Wege -Problem, wobei die Wechselkurse den Kantengewichten entsprechen. Allerdings arbeitet man hier multiplikativ. Man muss die Gewichte eines Weges multiplizieren anstatt sie zu addieren um das Gewicht des Weges zu bestimmen. Des Weiteren interessieren uns möglichst gute, also hohe, nicht niedrige, Kurse. Entsprechend sucht man längste Wege und vergleicht mit statt. Es ist zu beachten, das Kurse kleiner 1 negativen Gewichten entsprechen, wodurch Dijkstras Algorithmus unbrauchbar wird (mit obigen Modifikationen sind die positiven Gewichte das Problem). Für den Bellman-Ford Algortihmus sind zusätzlich und + zu vertauschen. c) Eine Folge von Wechseln an deren Ende man die Ausgangswährung zurück hat, aber einen Gesamtkurs echt größer 1. d) Ja, tauscht man die 142, 50 USD aus Teil a) wieder zurück erhält man 102, 60 EUR. Das bedeutet, dass man durch einfaches Geldwechseln ohne Risiko oder Investition Profit erzeugen kann auch Arbitrage genannt. Auch mit Gebühren und ungerundeten Kursen existieren solche Kreise und werden genutzt. Dieses Verfahren ist jedoch hochgradig inflationär und bestenfalls fragwürdig. f) Wenn im Bellman-Ford Algorithmus die infect(w) Methode aufgerufen wird existiert auf dem Pfad zu w ein negativer Kreis. Da positive Kreise nicht vorkommen, folgt man von w aus den Vaterverweisen solange, bis sich ein Knoten (u) wiederholt und gibt u mit den Knoten zwischen den beiden Vorkommen von u aus. e) Für prozentuale Gebühren kann man einfach die Wechselkurse um diesen Wert senken. Feste Gebühren können zumindest abgeschätzt werden, indem man einen üblichen Wechselbetrag wählt. Aufgabe 11.3 [5 Punkte] (H) Dijkstra Laden Sie sich die Klassen WeightedGraph.java, WeightedEdge.java und Node.java von der Übungsseite. Implementieren Sie eine Klasse Dijkstra, die eine Methode computeshortestpaths bereitstellt. Parameter der Methode sind eine Instanz eines gewichteten Graphen sowie ein Knoten des Graphen als Startknoten. Die Methode soll, basierend auf dem Algorithmus von Dijkstra, alle kürzesten Wege des gewichteten Graphen berechnen. Anschließend soll für jeden Knoten die Distanz zum Startknoten sowie der direkte Vorgängerknoten (parent) ausgegeben werden. Testen Sie Ihre Implementierung anhand des gewichteten Graphen aus Blatt 10, Aufgabe 5. Vergleichen Sie Ihre Ausgabe mit der zugehörigen Lösung. Geben Sie Ihre Implementierung mit dem Testfall ab. Lösungsvorschlag 11.3 s. Dijkstra.java, DijkstraItem.java, DijkstraItemComparator.java

4 4 Aufgabe 11.4 [5 Punkte] (H) Bellman-Ford Algorithmus Betrachten Sie folgenden Graphen G: e -8, e 11 2, e 12 d 1, e 10 0, e 7 5, e 8-3, e 6 b 8, e 4-1, e 5 a 4, e 2 f c -3, e 9 6, e 1 s 3, e 3 Berechnen Sie unter Verwendung des Bellman-Ford Algorithmus, ausgehend von s, alle kürzesten Wege. Geben Sie die aktuellen Distanzen von s und den aktuellen Vater aller Knoten nach jedem Durchlauf des Algorithmus über alle Graphkanten an. Arbeiten Sie die Kanten in der Reihenfolge e 1,e 2,e 3,...,e 12 ab. Tragen Sie die Ergebnisse in eine Tabelle der in Abbildung 1 dargestellten Form ein. Skizzieren Sie zudem den resultierenden Baum, der alle kürzesten Wege enthält. Lösungsvorschlag 11.4 s a b c d e f Start 0, s,,,,,, Zwischenergebnis bis e 4 0, s 6, s 4, s 3, s,,, Runde 1 0, s 6, s 2, c 3, s 2, b 9, f 7, b Runde 2 0, s -1, d 2, c 3, s 1, e 9, f 7, b Runde 3 0, s -2, d 2, c 3, s 1, e 9, f 7, b Runde 4-6 0, s -2, d 2, c 3, s 1, e 9, f 7, b Runde 7 0, s -2, d 2, c 3, s 1, e 9, f 7, b fertig, da in der 7. Runde keine Änderung passiert.

5 5 e d f b a c s Abbildung 1: Skizze aller kürzesten Wege.