Abgabe: (vor der Vorlesung)

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Lehrstuhl für Sprachen und Beschreibungsstrukturen SS 009 Grundlagen: Algorithmen und Datenstrukturen Übungsblatt 0 Prof. Dr. Helmut Seidl, S. Pott, V. Prinz Abgabe: (vor der Vorlesung) Aufgabe 0. (P) Finanzkrise Die enge Verzahnung der Kreditinstitute untereinander durch Interbankkredite (also Geldgeschäfte innerhalb der Kreditwirtschaft) kann dazu führen, dass sich die Krise einer einzelnen Bank auf alle Kreditinstitute und schließlich auf die gesamte Volkswirtschaft auswirkt. Zur Risikoanalyse untersuchen wir die Verzahnung der größten deutschen Kreditinstitute. Aus Gründen der Objektivität bezeichnen wir diese mit den Zahlen bis. Die folgenden Paare (b,k) geben an, welche Bank b welcher anderen Bank k ein Darlehen gewährt hat. (, ), (, ), (, ), (, 6), (, ), (, 7), (, 8), (, ), (, ), (, 9), (, 0), (6, ), (7, ), (8, 7), (9, ), (0, 9), (, ) Berechnen Sie, welche Banken gegenseitig von einander abhängig sind, indem Sie die starken Zusammenhangskomponenten bestimmen. Dazu betrachten wir den Graphen mit den Banken als Knoten, dessen Kanten durch die obigen Paare gegeben sind. Führen Sie also am Beispiel dieses Graphen die Bestimmung der starken Zusammenhangskomponenten mit Hilfe einer Tiefensuche (DFS) durch und stellen Sie das Vorgehen in geeigneter Weise graphisch dar. Lösungsvorschlag 0. Gegeben ist der gerichtete Graph G = (V, E) mit Knotenmenge V = {,,..., } und der Kantenmenge E: {(, ), (, ), (, ), (, 6), (, ), (, 7), (, 8), (, ), (, ), (, 9), (, 0), (6, ), (7, ), (8, 7), (9, ), (0, 9), (, )} Gegebener Graph: 9 0

2 Funktionsaufrufe Ergebnis oreps onodes root() traversetreeedge(,) 9 0,, traversetreeedge(,7) 9 0,,7,,7 traversenontreeedge(7,),,7 backtrack(,7) 9 0,,7 8 traversetreeedge(,8) 7 9 0,8,,7,8 traversenontreeedge(8,7),,7,8 backtrack(,8),,7,8 backtrack(,) 9 0,,7,8 traversetreeedge(,) 9 0,,,7,8, traversenontreeedge(,),,7,8, backtrack(,) 9 0,,7,8, backtrack(,) Komponente {,, 7, 8, } root() 9 0 traversetreeedge(,),, traversenontreeedge(,) 9 0,, traversetreeedge(,9),,9,,9 traversenontreeedge(9,),,,9

3 Funktionsaufrufe Ergebnis oreps onodes backtrack(,9) 9 0,,,9 traversetreeedge(,0),,0,,9,0 traversenontreeedge(0,9),,,9,0 backtrack(,0),,,9,0 backtrack(,) 9 0 Komponente {, 9, 0} traversetreeedge(,6) 9 0,6,6 traversetreeedge(6,),6,,6, traversenontreeedge(,),6,,6, backtrack(6,) 9 0 Komponente {},6,6 9 0 backtrack(,6) Komponente {6} traversenontreeedge(,) backtrack(,) 9 0 Komponente {}

4 Aufgabe 0. (P) kürzeste Wege Gegeben sei folgender gerichteter Graph G = (V, E) mit Kostenfunktion: s b c 6 d e f 6 g h i Bestimmen Sie die kürzesten Wege ausgehend vom Knoten s, geben Sie dazu die Distanzen µ(s, v) für alle Knoten v V an. Markieren Sie die kürzesten Pfade im Graph oder geben Sie die entsprechende parent- Tabelle an. Lösungsvorschlag 0. (Knoten v, µ(v), parent(v)): (s, 0, s), (b,, ), (c,, ), (d,, s), (e,, d), (f, 0, i), (g, 6, d), (h, 7, g), (i, 9, h) s, 0 d, g, 6 b, 6 e, h, 7 6 c, f, 0 i, 9 Aufgabe 0. (P) Dijkstra bei negativen Gewichten Gegeben: ungerichteter Graph G = (V, E), Kantenkosten c : E R (möglicherweise auch negative Kosten) Betrachten Sie eine neue Kantenkosten-Funktion { E R c + : e c(e) min wobei min = min{c(e) e E} das minimale Kantengewicht ist. a) Geben Sie ein Gegenbeispiel dafür an, dass der Algorithmus von Dijkstra für G mit Kantenkosten c nicht immer den kürzesten Weg in G mit Kantenkosten c berechnet.

5 b) für Interessierte: Kann man den Algorithmus von Dijkstra anpassen, indem man in dem Vergleich (d[v] > d[u] + c (e)) die Anzahl der Kanten des Weges berücksichtigt? Lösungsvorschlag 0. a) s - z a b = s z 0 a b Links ist der Graph G mit negativen Kantenkosten c. Die doppelten Kanten ((s, a), (a, z)) zeigen den kürzesten Weg von s nach z. Das Minimum der Kantenkosten ist. Die angepassten, positiven Kosten c sind im rechten Graph angegeben. Der kürzeste Weg von s nach z ist hier allerdings die direkte Verbindung (s, z). Aufgabe 0. [ Punkte] (H) starke Zusammenhangskomponenten Aufbauend auf den in Aufgabe 9.. bereitgestellten Klassen IGraph.java, GraphObserver.java, Node.java und Edge.java soll eine Klasse zur Bestimmung starker Zusammenhangskomponenten erstellt werden. Wie in Aufgabe 9. soll sie von der abstrakten Klasse Graphobserver.java erben. Testen Sie Ihre Implementierung anhand des Beispiels aus Aufgabe 0.. Schreiben Sie hierzu eine Methode, die gefundene Zusammenhangskomponenten in folgendem Format ausgibt: Starke Zusammenhangskomponenten: [[u, u,..., u n ], [u,..., u n ],...] Lösungsvorschlag 0. s. StronglyConnectedComponents.java s. TestSCC.java s. Test.java Aufgabe 0. [ Punkte] (H) Dijkstra Führen Sie auf folgendem Graphen den Algorithmus von Dijkstra aus, ausgehend von Knoten a. a b c d e f g h i Geben Sie die Reihenfolge an, in der die Knoten besucht werden.

6 6 Lösungsvorschlag 0. Ergebnisbaum mit Entfernung: a, 0 b, d, e, g, h, c, f, i, Besuchsreihenfolge: a,d,(e,b,h),(f,g),c Dabei können e,b und h in beliebiger Reihenfolge auftreten, Gleiches gilt für f und g.