Teil IV: Planare Graphen / Transportnetze
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- Samuel Maier
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1 Plnre Grphen, Trveling Slemn Prolem, Trnporneze Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 1 (von 61) Teil IV: Plnre Grphen / Trnporneze 1. Plnre Grphen / Trveling Slemn Prolem 2. Trnpornezwerke Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 2 (von 61)
2 1. Plnre Grphen / Trveling Slemn Prolem Der Vier-Fren-Sz Biprie Grphen Chromiche Zhl Komplexiä Euler-Krei Hmilon-Krei Trveling Slemn Prolem Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 3 (von 61) Der Vier-Fren-Sz Hinwei: Die 5-Färrkei von Lndkren zw. plnren Grphen i chon ei lngem eknn. Hewood, Die 4-Färrkei von Lndkren mi mximl 96 Ländern zw. von plnren Grphen mi mximl 96 Knoen wr i 1970 nchgewieen. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 4 (von 61)
3 Der Vier-Fren-Sz (1) Vier-Fren-Sz 1976 ewieen Appel und Hken, d 4 Fren generell genügen. Der Bewei(!) üze ich uf Compuererechnungen. Zunäch wurde mi heoreichen Argumenen die Beweifrge für unendlich viele Lndkren uf c Sndrd Fälle reduzier. In jedem der Sndrdfälle wurde die 4-Färrkei nchgewieen. Inzwichen konnen die Sndrdfälle uf c. 600 reduzier werden. Der Einz von Compuern i jedoch immer noch erforderlich. Der Bewei wurde l Bewei kzepier, owohl kein Mench die Argumenion volländig nchvollziehen knn. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 5 (von 61) Biprie Grphen Ein Grph G=(V,E) heiß ipri, wenn die Knoenmenge u zwei nich-leere dijunke Teilmengen eeh, lo V= V 1 V 2 mi V 1 V 2 = o d E V 1 V 2, d.h. Knen nur zwichen V 1 und V 2 verlufen. ipri Wenn lle olche Knen vorhnden ind, i der iprie Grph volländig ipri. K 3,3 i ein volländiger iprier Grph Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 6 (von 61)
4 Biprie Grphen (1) E gi owohl plnre l uch nich-plnre Grphen, die mi weniger l 4 Fren färr ind. Bum 2 Fren genügen K 3,3 2 Fren genügen uch hier Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 7 (von 61) Chromiche Zhl Die minimle Anzhl von Fren zur Färung eine elieigen ungericheen Grphen (d. h. enchre Knoen erhlen verchiedene Fren) heiß chromiche Zhl de Grphen. Akürzung (G). (G) = 2, fll G Bum oder ipri. (G) 4, fll G plnr. Algorihmu zur Beimmung von (G)? Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 8 (von 61)
5 Chromiche Zhl (1) Niver Anz Proiere, o ein Grph mi n Knoen mi k = 2,, n 1 Fren färr i. (Mi n Fren i immer Färrkei gegeen). Z. B. k = 4 Fren Erzeugung ller Zuordnungen von Fren zu Knoen. Dvon gi e 4 4 = 4 n viele. Knoenzhl Für jede Zuordnung wird geee, o ie Färung i. Wenn e Färung mi 4 Fren gi, ruchen nich lle Zuordnungen geee werden. Wenn e keine Färung mi 4 Fren gi, enöig mn mindeen 4 n Berechnungchrie. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 9 (von 61) Chromiche Zhl (2) Niver Anz 2 E geh ew eer, z. B. erhäl ein eimmer Knoen Fre 1. Dnn leien 4 n 1 Zuordnungen. Mn knn ich noch weiere Vereerungen üerlegen, er im chlimmen Fll lei die Anzhl der Berechnungchrie exponeniell in n. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 10 (von 61)
6 Komplexiä "Effiziener" Algorihmu Die Lufzei in Ahängigkei zur Eingegröße n (z.b. Anzhl der Knoen oder die Seienlänge einer Mrix) olle ein Polynom in n ein (d.h. Lufzei n k, mi k kon.) Beipiele: Krukl-, Dijkr-, Grdequenz-Algorihmu "Ineffiziener" Algorihmu Die Lufzei eig exponeniell zu n n, z.b. 2 n oder n! 2 n log n Beipiele: Zum Iomorphieprolem und zur Beimmung der Chromichen Zhl ind nur ineffiziene Algorihmen eknn. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 11 (von 61) Komplexiä (1) Sei 1 Rechenchri ec Komplexiä n = 10 n = 100 n = 1000 Algor. 1 n ec 10-6 ec 10-4 ec Algor. 2 2 n 10-7 ec ec Jhre... P = Menge der effizien lören Proleme NP = Menge ller effizien lören und ller i heue l ineffizien lör gelenden Proleme P NP P NP oder P = NP? Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 12 (von 61)
7 Euler-Krei Beipiel: Brückenprolem Königerg chemiier: Flu Pregel d d c c Gi e einen Weg, um uf einem Spziergng durch Königerg lle Brücken genu einml zu üerqueren? Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 13 (von 61) Euler-Krei (1) Sz (Euler) Ein Grph G (zummenhängend, Mehrfchknen dieml erlu) eiz einen Euler-Krei genu dnn, wenn lle Knoengrde gerde ind. Zurück zur Frgeellung: Gi e einen Weg, um uf einem Spziergng durch Königerg lle Brücken genu einml zu üerqueren? chemiier: d Die Grde jede Knoen in dieem Beipiel ind ungerde. Dru folg: E exiier kein Euler-Krei. c Für diee Prolem exiier ein effiziener Algorihmu. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 14 (von 61)
8 Euler-Tour (2) wie Euler-Krei, jedoch Anfng- und Endknoen müen nich üereinimmen. ungerder Grph E gi eine Euler-Tour. Durch Hinzufügen einer Kne ekommen lle Knen einen gerden Grd. Alo gi e im ergänzen Grphen einen Eulerkrei. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 15 (von 61) Euler-Tour (3) Gi e für d "Doppelhu de Nikolu" eine Euler-Tour, d.h. knn mn die durchgehend und ohne Knenwiederholung zeichnen? Nein, denn e gi vier Knoen mi ungerdem Grd. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 16 (von 61)
9 Hmilonkrei Effiziene Lörkei und ineffiziene Lörkei liegen dich eieinnder. Beipiel Mn knn effizien encheiden, o ein Grph einen Eulerkrei enhäl. - Tee lle Knoen uf gerden Grd: - Für jeden von n Knoen werden lle n 1 nderen Knoen uf Nchrchf geee. - Telgorihmu h Komplexiä n (n 1) n 2 n, lo Polynom, lo effizien. Mn knn er nich effizien encheiden, o ein Grph einen Hmilonkrei enhäl. - Ein Hmilonkrei i ein Krei, ei dem jeder Knoen genu einml vorkomm. Grph mi Hmilonkrei Grph ohne Hmilonkrei Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 17 (von 61) Wege in Grphen An Wege mi nur wenigen zw. koengünigen Knen zu nuzen, knn mn nch Wegen uchen, die lle Knen zw. lle Knoen einhlen. Ein Eulercher Weg oder eine Euler Tour in einem Grphen G = (V, E) i ein Weg, der jede Kne von E genu einml enhäl. Ein Eulercher Krei in G = (V, E) i ein Krei, der jede Kne von E genu einml enhäl. Ein Hmiloncher Weg in einem Grphen G = (V, E) i ein Weg, der jeden Knoen von V genu einml enhäl. Ein Hmiloncher Krei in G = (V, E) i ein Krei, der jeden Knoen von V genu einml enhäl (uer Anfngpunk). Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 18 (von 61)
10 Trveling Slemn Prolem (TSP, Rundreieprolem) Finde uner llen Hmilonkreien einen mi minimler Summe der Knenewerungen ( Finde eine (koen-) minimle Rundreie ) Rundreie mi Koen 26 Rundreie mi Koen 20 D Prolem i nich effizien lör; uch dnn nich, wenn d Vorliegen von Hmilonkreien geicher i. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 19 (von 61) Trveling Slemn Prolem (TSP, Rundreieprolem) (1) Anz: Approximiere Löung von TSP durch effiziene Heuriik. Heuriik: Auffinden einer guen Löung mi egrenzen Möglichkeien. Euklidiche TSP: Knoen de Grphen liegen in Eene, die Enfernungen ind Euklidiche Aände, Grph i volländig. y P Q P Q d x 1 y 1 x 2 y 2 2 P, Q x x y y x Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 20 (von 61)
11 Trveling Slemn Prolem (TSP, Rundreieprolem) (2) Heuriik für Euklidiche TSP: Aufu eine miniml pnnenden Bum mi Krukl Algorihmu. Afhren i jeweil ein Knoen von Grd 1 erreich i, dnn zum zweien ml fhren i ein noch uneucher Knoen erreich i, kurzchließen und Afhren forezen. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 21 (von 61) Trveling Slemn Prolem (TSP, Rundreieprolem) (2) Sr Afhren i Knoen von Grd 1 zurück fhren noch uneezer Knoen "kurzchließen" Afhren forezen i Knoen von Grd 1 zurück fhren noch uneezer Knoen "kurzchließen" Afhren forezen i Knoen von Grd 1 zurück fhren "kurzchließen" Heuriik für Euklidiche TSP: Aufu eine miniml pnnenden Bum mi Krukl Algorihmu. Afhren i jeweil ein Knoen von Grd 1 erreich i, dnn zum zweien ml fhren i ein noch uneucher Knoen erreich i, kurzchließen und Afhren forezen. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 22 (von 61)
12 2. Trnpornezwerke Flüe in Trnpornezwerken Algorihmu von Ford / Fulkeron Schnie in Grphen Min-Cu-Mx-Flow - Theorem Mching Nezplnechnik, Kriiche-Pfd-Anlye Kriiche Akiviäen Peri-Neze Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 23 (von 61) Flüe in Trnpornezwerken Gegeen ei ein gericheer Grph G = (V,E) mi Knenewerungen cp: E R + Anwendung: z.b. Rohrleiungnez, elekriche Leiungnez, Trnporwege cp-wer ind Kpziäen (z.b. mximle Were in Lier/ec, PKW/h, i/ec, Ampere Zwei Knoen eonder hervorgehoen : Quelle : Senke Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 24 (von 61)
13 Flüe in Trnpornezwerken (1) Prolem: Beimmung eine mximlen Flue von nch Flu f: E R + woei f(e) cp(e) e E und Summe nkommender Flüe = Summe hinugehender Flüe (Konervierungedingung) für lle Knoen ußer und mx! f(,y) (,y) E d.h. mximiere die u fließende Menge Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 25 (von 61) Flüe in Trnpornezwerken (3) Beipiel: Knenwere ind Kpziäen 2 2 c d 2 0/2 0/3 0/3 1/2 1/2 c d 1/2 Fluwer / Kpziä Flu mi Wer 1 = Särke 1 Summe ller Zuflüe = Summe ller Aflüe gil in llen Knoen uer und Noion Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 26 (von 61)
14 Flüe in Trnpornezwerken (4) 0/3 0/2 0/3 Vereerung durch fluerhöhende Pfde 1/2 c 1/2 d 1/2 0/3 0/2 1/3 1/1 neuer Flu mi Särke 2 c d 1/2 Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 27 (von 61) Flüe in Trnpornezwerken (5) 0/3 c 0/2 d 1/1 1/3 1/2 Ein poiiver Flu knn gnz oder eilweie engegen der Knenrichung zurückgedrück werden! 1/3 1/2 1/3 c d E reulier ein Flu der Särke 3 Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 28 (von 61)
15 Flüe in Trnpornezwerken (6) Ein fluerhöhender Pfd zgl. eine Flue f i ein Weg = i 0, i 1,, i k = (Knoenfolge!) o, d f(i j, i j+1 ) < cp(i j, i j+1 ) fll (i j, i j+1 ) E (uf Vorwärknen i die Kpziä nich ugechöpf) f(i j, i j+1 ) > 0 fll (i j+1, i j ) E (uf Rückwärknen, gi e einen Flu, der zurückgechoen werden knn) für Vorwärknen Rekpziä m = Minimum üer die Were cp(i j, i j+1 ) f(i j, i j+1 ) und die Were f(i j, i j+1 ) für Rückwärknen Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 29 (von 61) Flüe in Trnpornezwerken (7) 0/3 0/2 1/3 1/1 c d 1/2,,, d, (,) E mi 0 < 3 (,) E mi 0 < 2 (,d) E, er (d,) E mi 1 > 0 (d,) E mi 1 < 2 Alo i,,, d, ein fluerhöhender Pfd. Eine Erhöhung um Rekpziä = min {3 0, 2 0, 1, 2 1} = 1 i möglich Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 30 (von 61)
16 Flüe in Trnpornezwerken (8) Auf einem fluerhöhenden Pfd wird der Zuzflu f ngeez l f (i j, i j+1 ) = m für (i j, i j+1 ) E Vorwärkne f (i j, i j+1 ) = m für (i j+1, i j ) E Rückwärkne Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 31 (von 61) Algorihmu von Ford / Fulkeron Sz (Ford / Fulkeron) Ein Flu i genu dnn mximl, wenn e keinen fluerhöhenden Pfd gi. Dru reulier der Algorihmu von Ford und Fulkeron zur Flumximierung Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 32 (von 61)
17 Algorihmu von Ford / Fulkeron (1) Algorihmu zur Flumximierung 1) Beginne mi 0-Flu f, d. h. eze f(e) := 0 e E 2) Finde einen elieigen fluerhöhenden Pfd 3) Finde einen Zuzflu f enlng diee Pfde mi Särke = Rekpziä 4) Addiere den Zuzflu zum kuellen Flu, d. h. f := f + f 5) Wiederhole die, i e keinen fluerhöhenden Pfd mehr gi Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 33 (von 61) Algorihmu von Ford / Fulkeron (2) Algorihmu zur Flumximierung 1. Srezungen ( Iniiliierungen ) f(e) := 0, e E 2. Wiederhole olnge fluerhöhenden Pfd E M + := min (cp(e) f(e)) e E e Vorwärkne M := min f(e) e E e Rückwärkne M := min(m +, M ) Wiederhole e E : Wenn e Vorwärkne dnn f(e) := f(e) + M Wenn e Rückwärkne dnn f(e) := f(e) M 3. Auge f(e), e E M + M M Zhlen Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 34 (von 61)
18 Algorihmu von Ford / Fulkeron (3) 1/3 1/2 1/3 1/1 c d 2/3 2/3 E gi keinen fluerhöhenden Pfd! (, c) lieg nich uf fluerhöhendem Pfd, d c d f(, c) = 2 2 = cp(, c),,, für (, ) i f(, ) = 2 2 = cp(, ),, c, für (, c) i f(c, ) 0 Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 35 (von 61) Algorihmu von Ford / Fulkeron (4) Animion iehe hp://www-2.i.okuhimu.c.jp/~iked/uuri/mxflow/mxflow.hml Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 36 (von 61)
19 Algorihmu von Ford / Fulkeron (5) E gi günige und ungünige Whlen für fluerhöhende Pfde Beipiel cp = 10 6 cp = 1 cp = 10 6 cp = 10 6 cp = 10 6 Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 37 (von 61) Algorihmu von Ford / Fulkeron (6) / /1 Särke /10 6 1/10 6 1/ / /10 6 Särke 2. Särke /10 6 1/ / /10 6 miel Fluerhöhungen erreich Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 38 (von 61)
20 Algorihmu von Ford / Fulkeron (7) / /10 6 1/1 Särke / /10 6 Särke / /10 6 in zwei Fluerhöhungen erreich Die Anzhl der Berechnungchrie de Ford-Fulkeron Algorihmu häng von der Whl der fluerhöhenden Pfde. Mn wähl möglich groe Fluerhöhungen! Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 39 (von 61) Schnie in Grphen Knn mn für den mximlen Fluwer eine oere Schrnke ngeen, ohne Flumximierung durchzuführen? f(i, j) = cp(i, j) f(i, j) = 0 S T Idee: der mximle Flu knn nich gröer ein l die Knenkpziäen enlng einer Trennlinie durch die Knen ( Schni ) Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 40 (von 61)
21 Schnie in Grphen (1) Schni: Aufeilung der Knoenmenge V in zwei dijunken Mengen S, T, d. h. S T =, o d S und T Schnikpziä oder Wer eine Schni: cp(s, T) = cp(i, j) (i, j) E mi i S, j T Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 41 (von 61) Schnie in Grphen (2) Beipiel: 2/3 2/3 c d T S cp(s, T) = cp(, ) + cp(d, ) = = 5 Wer eine Flue Wer eine Schni Wer eine Flue minimler Wer eine Schni Mximler Wer eine Flue minimler Wer eine Schni Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 42 (von 61)
22 Min-Cu-Mx-Flow - Theorem Der Wer eine mximlen Flue i gleich ( =!) dem Wer eine minimlen Schni Beimmung eine minimlen Schni Beimmung eine mximlen Flue mi Ford / Fulkeron Algorihmu Beimmung ller von u erreichren Knoen üer Knen mi Rekpziä > 0. Die o erreichren Knoen gehören zu S, lle nderen zu T. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 43 (von 61) Min-Cu-Mx-Flow Theorem (1) 2/3 2/3 S c d T cp(s, T) = cp(, ) + cp(, c) = = 4 mximler Fluwer Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 44 (von 61)
23 Min-Cu-Mx-Flow Theorem (2) Wenn lle Knenkpziäen gnzzhlig ind, i uner den mximlen Flüen uch ein gnzzhliger. D.h. die Fluwere uf llen Knen ind gnzzhlig. Aer: e knn uch mximle Flüe mi gerochenen Weren geen cp 10 Mximle Flüe der Särke 10 cp 10 3/10 2,7/10 cp /10 7,3/10 Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 45 (von 61) Mching Gegeen ei ein Grph G = (V, E). Ein Mching i eine Teilmenge von E, M E, o d keine zwei Knen in M denelen Knoen gemeinm hen. Mching M Die i ein perfeke Mching, d.h. jeder Knoen komm in M vor kein Mching Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 46 (von 61)
24 Mching ei iprien Grphen Mching lei ürig Ein perfeke Mching i hier nich möglich, d V 1 > V 2 i (d. h. Knoenmenge link > Knoenmenge rech). V 1 V 2 V = V 1 V 2 Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 47 (von 61) "Heirz" Bei iprien Grphen mi V 1 = V 2 i ein perfeke Mching genu dnn möglich, fll für lle A V 1 gil: N(A) A. (Menge der Nchrn von A A el.) V 1 V 2 Die drei Knoen uf der linken Seie hen keine Verindung zu nderen l den zwei Knoen uf der rechen Seie. Dher i kein perfeke Mching möglich. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 48 (von 61)
25 Mximle Mching (1) Gegeen ei ein iprier Grph. Beimme ein mximle Mching. 1/1 Füge link eine Quelle und rech eine Senke hinzu. Seze lle cp-were uf 1. Ford / Fulkeron erechne den mximlen Durchflu. Quelle 1/1 1 Senke Jeder gnzzhlige Flu enprich einem Mching Biprier Grph Jeder mximle gnzzhlige Flu enprich einem mximlen Mching Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 49 (von 61) Mximle Mching (2) v 1 1/1 v 4 v 1 v 4 1/1 1/1 1/1 v 2 v 3 1/1 1/1 v 5 v 6 1/1 1/1 1/1 v 2 v 3 v 5 v 6 v 7 v 7 Mximler gnzzhliger Flu der Särke 3 Mching mi 3 Knen Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 50 (von 61)
26 Nezplnechnik, Kriiche-Pfd-Anlye (Criicl Ph Mehod CPM, Progrm Evluion nd Review Technique PERT) Gegeen ei ein gericheer, zyklicher Grph (DAG) mi gegeenen Sr- und Zielknoen, woei Knoen Akiviäen / Täigkeien! Knen Zeiliche / Kule Afolgen! Sr Ziel Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 51 (von 61) Nezplnechnik, Kriiche-Pfd-Anlye (1) Den Knoen und Knen ind Were R + zugeordne (Zeien für die ereffenden Akiviäen zw. Üergngzeien). Beipiel: Fundmen gießen 5 Tge [8] 3 Tge [5] 0 Tge Elekroinlleur 1 Tg [3] 0 Tge [mx(7, 8) + 1] Elekroinlleur 2 Tge [2] Süzpfeiler ufezen 2 Tge [7] 1 Tg Frge: Wieviel Zei vergeh vom Sr i zum Ziel? Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 52 (von 61)
27 Durchrechnen eine Nezpln Addiere die Were enlng eine Pfde, eginnend eim Sr- Knoen. Bei Knoen mi mehreren Vorgängerknoen, üernehme den mximlen Wer. Wer de Zielknoen Zeiduer für d geme Projek. Rückwärnlye, vom Zielknoen ugehend, verfolge welche Pfde ei der Mximumildung relevn wren Kriicher Pfd oder kriiche Pfde. Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 53 (von 61) Kriiche Akiviäen Akiviäen, die uf kriichen Pfden liegen, heißen kriiche Akiviäen. Beipiel: 5 [11] 1 [12] 6 [18] c 2 [20] Sr 5 [5] 1 [6] 3 [14] 2 [7] 1 [15] 8 [23] e 0 [23] 0 [23] g Ziel d 7 [14] 2 [16] f 4 [20] 3 [23] Kriiche Akiviäen ind:, d, e, f, (g) Hier Dummy-Knoen (rukurell verwende, d. h. Zei 0) Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 54 (von 61)
28 Peri-Neze Peri-Neze ind Spezielle Grphen zur Berechnung dynmicher Aläufe (die eine fee Grundrukur eizen). Anwendungen: Workflow, Berieyem Zwei Soren von Knoen wecheln ich (iprier Grph): og. Sellen og. Trniionen G = (V,E), gericheer Grph, woei V = S T Sellen Ferner können Sellen Mrken enhlen: Trniionen Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 55 (von 61) Peri-Neze (1) Beipiel: Kreiluf de Wer Boden Flu Wolken Meer Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 56 (von 61)
29 Peri-Neze (2) Die Trniionen können chlen (oder feuern ) uner der Voruezung, d lle Vorgängerellen mindeen 1 Mrke hen. Schlen edeue: Von jeder Vorgängerelle wird eine Mrke gezogen und uf jede Nchfolgerelle wird eine (zuäzliche) Mrke geleg. (vorher) chle (nchher) Verrucher 1 Erzeuger Speicher, Lger Verrucher 2 Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 57 (von 61) Peri-Neze (3) Forml: M : N 0, Mrken-Belegung T knn chlen, wenn für lle Vorgänger (,) E gil: M() 1 Nchdem gechle h, erhäl mn M mi: M() + 1, i Nchfolger, er nich Vorgänger von M () = M() 1, i Vorgänger, er nich Nchfolger von M(), on on einhle uch den Fll Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 58 (von 61)
30 Peri-Neze (4) 1 (uch Mehrfchknen ind erlu) Aer: 1, 2 Jez knn keine Trniion mehr chlen (dedlock-siuion, Syemverklemmung) Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 59 (von 61) Peri-Neze (5) Beipiel: Berieyem Proze 1 Proze 2 Reource 1 z.b. Drucker Reource 2 Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 60 (von 61)
31 Peri-Neze (6) Noion: 1, 3, 5 chlen: 1 3 M 0 M 1 M 2 M 3 5 Sr- Mrkierung Formle Grundlgen der Informik (WiWi) WiSe 2013/2014, Folie 61 (von 61)
Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen
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Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu
Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!
Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben
4 Die rationalen Zahlen
4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper
vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimalautomat: minimaler vollständiger DFA
Ws isher geschh NFA A = (X, Q, δ, I, F ) vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimlutomt: minimler vollständiger DFA Für jede Sprche L X sind die folgenden Aussgen
Minimal spannende Bäume
Minimal pannende Bäume Geuch: : ein minimal pannender Baum u G,, d.h. eine minimale Teilmenge E min E der Kanen, o da G min = (V,E( min,d) uammenhängend ngend und die Summe der Kanengewiche minimal i.