Analysis: Exponentielles Wachstum Analysis Übungsaufgaben zum Exponentiellen Wachstum zum Einstieg Gymnasium Klasse 10

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1 Anlysis: Eponenielles Wchsum Anlysis Übungsufgben zum Eponeniellen Wchsum zum Einsieg Gymnsium Klsse 1 Alender Schwrz Jnur 214 1

2 Anlysis: Eponenielles Wchsum Aufgbe 1: Eine Sd zähl heue 276 Einwohner. Es is mi einem jährlichen Zuwchs von 2,5% zu rechnen. Welche Einwohnerzhl is in 5 Jhren zu erwren? Aufgbe 2: Die Bevölkerung Deuschlnds berug in Millionen: ,43 56,37 61, 65, ) Wie groß is der prozenule Zuwchs von 19 bis 19 und von 192 bis 193? Knn mn näherungsweise von eponeniellem Wchsum usgehen? b) In welcher Zei verdoppel sich eine Bevölkerung bei einem jährlichen Zuwchs von 1,3%? Aufgbe 3: Ein Auo, ds neu 22 kose, wird nch Jhren um 4 verkuf. Wie viel Prozen berug die jährliche Abschreibung? Aufgbe 4: Ein Wldbesnd he sich in den vergngenen 1 Jhren bis heue um 32% uf 39 6 Fesmeer vergrößer. Mn geh von eponeniellem Wchsum us. ) Wie groß wr der Besnd vor 4 Jhren? Wie groß wird er in 6 Jhren sein, wenn mn weierhin von eponeniellem Wchsum usgeh? b) In welcher Zei verdoppel sich der Besnd? Wie hoch is die jährliche prozenule Zunhme? Aufgbe 5: Die Inensiä von Lich nehme pro Meer Wsseriefe um 5% b. ) Welcher Prozensz der Inensiä I is in 4,75 m Wsseriefe noch vorhnden? b) In welcher Wsseriefe is nur noch 1% der Inensiä I vorhnden? c) Um welchen Prozensz nimm die Inensiä pro Dezimeer b? Aufgbe 6: Ein rdiokives Jod h eine Hlbwerszei von Tgen. ) Wie groß is die prozenule Abnhme der Jodmenge pro Tg? b) Nch welcher Zei sind noch 1% der ursprünglichen Jodmenge vorhnden? 2

3 Anlysis: Eponenielles Wchsum Lösungen Aufgbe 1: D der jährliche Zuwchs 2,5% beräg, hndel es sich um eponenielles Wchsum. 5 In 5 Jhren is mi 276 1, Einwohnern zu rechnen. Aufgbe 2: 56,37 ) prozenuler Zuwchs von 19 bis 19: 1,144 49,43 Dies ensprich einem prozenulen Zuwchs von 14,4 %. 65, prozenuler Zuwchs von 192 bis 193: 1,53 61, Dies ensprich einem prozenulen Zuwchs von 5,3%. Für eponenielles Wchsum is die Vorussezung, dss innerhlb eines Zehn-Jhres- Schries der prozenule Zuwchs näherungsweise idenisch is. Dies is hier nich der Fll, lso knn mn nich von eponeniellem Wchsum usgehen. b) Die eponenielle Wchsumsfunkion lue B() = B() Gesuch is die Verdoppelungszei bei = 1,13. Die Verdoppelungszei ensprich der Zeiduer, bis sich beispielsweise der Anfngsbesnd B() verdoppel h. 2 B() = B() 1,13 : B() 2= 1,13 log 1 (schreibechnisch is log1 log(2) = log(1,13 ),313 = log(1,13) : log(1,13) = 53,7 Jhre = log) Die Bevölkerung verdoppel sich in einem Zeirum von knpp 54 Jhren. Aufgbe 3: Es gil die Wchsumsfunkion B() = B() Gegeben is B() = 22 und B() = 4. Es is B() = 22 Die Bedingung B() = 4 liefer: 4= 22 : = =, Die jährliche Abschreibung berug c. 19,2%. 3

4 Anlysis: Eponenielles Wchsum Aufgbe 4: ) Der Wldbesnd vor 1 Jhren berug 1%. Der Wldbesnd heue mi 396 Fesmeern ensprich 132%. Wldbesnd vor 1 Jhren = ,32 = Fesmeer Die llgemeine Wchsumsfunkion lue B() = B() ( is die Zei in Jhren und = ensprich dem Zeipunk vor 1 Jhren) B() = 3 Es gil B(1) = 396: 1 396= 3 : 3 1 1,32 = 1 1 = 1,32 1,22 Die Wchsumsfunkion lue B() = 3 1,22 Besnd vor 4 Jhren: D = der Zeipunk vor 1 Jhren is, is = 6 der Besnd vor 4 Jhren. 6 B(6) = 3 1, Fesmeer. Besnd in 6 Jhren: D = der Zeipunk vor 1 Jhren is, is = 16 der Besnd in 6 Jhren. 16 B(16) = 3 1, Fesmeer b) Gesuch is der Zeipunk, bis zu dem sich der Anfngsbesnd von 3 Fesmeern sich uf 6 Fesmeern verdoppel h. 6= 3 1,22 : 3 2= 1,22 log log(2) = log(1,22 ) log(2) = log(1,22) : log(1,22) 24,92 Jhre Der Besnd verdoppel sich c. lle 25 Jhre. Die jährliche prozenule Zunhme beräg 2,2% (d = 1,22). Aufgbe 5: ) Die Wchsumsfunkion lue I() = I,95, is die Wsseriefe in Meer 4,75 I(4,75) = I,95 = I,74 In 4,75m Wsseriefe sind noch 7,4% der Anfngsinensiä vorhnden. 4

5 Anlysis: Eponenielles Wchsum b) Gesuch is die Wsseriefe, in welcher noch,1 I vorhnden is. I() = I,95 = :I,1 I I,95,1=,95 log log(,1) = log(,95 ) log(,1) = log(,95) : log(,95) = 9, Meer In c. 9 Meer Wsseriefe is nur noch 1% der Inensiä vorhnden.,1 c) In 1 dm =,1 m Wsseriefe beräg die Inensiä I(,1) = I,95 = I,9949 Die Inensiä nimm in 1 dm Wsseriefe um c.,5% b. Aufgbe 6: Die Jodmenge zur Zei in Tgen zerfäll eponeniell gemäß B() = B(). ) Wenn die Hlbwerszei Tge beräg, heiß ds, dss nch Tgen nur noch die Hälfe des Anfngsbesndes vorhnden is.,5 B() = B() : B(),5 = =,5 =,917 Es gil B() = B(),917 Pro Tg nimm die Jodmenge um,3% b. b) Gesuch is der Zeipunk, zu dem noch,1 B() vorhnden is.,1 B() = B(),917 : B(),1=,917 log log(,1) = log(,917) : log(,917) = 26,6 Tge Nch knpp 27 Tgen sind nur noch 1% der ursprünglichen Jodmenge vorhnden. 5