Zentrale schriftliche Abiturprüfung Mathematik. Leistungskurs

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1 Miniserium für Bildung, Jugend und Spor Zenrle schrifliche Abiurprüfung 2006 Aufgbensellungen A1 und A2 (Whl für Prüflinge) Mhemik für Prüflinge Aufgbensellungen A3 (siehe Exrbl) (wird durch die Lehrkrf usgewähl) Hilfsmiel: Gesmberbeiungszei: Nchschlgewerk zur Rechschreibung der deuschen Sprche, nich progrmmierbrer und nich grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführes Tfelwerk / Formelsmmlung 4 Zeisunden Aufgbensellung A1 Them/Inhl: Anlysis II Hinweise: Wählen Sie eine der beiden Aufgben 1.1 oder 1.2 zur Berbeiung us. Aufgbe 1.1 Seie 2 Aufgbe 1.2 Seie 3 Aufgbensellung A2 Them/Inhl: Anlyische Geomerie II / Linere Algebr Hinweise: Wählen Sie eine der beiden Aufgben 2.1 oder 2.2 zur Berbeiung us. Aufgbe 2.1 Seie 4 Aufgbe 2.2 Seie 5 Seie 1 von 5 Mhemik 06_M_A_L_A12_1

2 Aufgbe 1.1 (Anlysis II) Gegeben is die Funkionenschr f mi ( x) = ( x 1) ln( x); R, >. Die Grphen dieser Funkionenschr seien G. f Geben Sie den mximlen Definiionsbereich von f n. Besimmen Sie die Schnipunke der Grphen G mi der x-achse und zeigen Sie, dss einer dieser Punke der einzige gemeinsme Punk ller Grphen G is. Ermieln Sie für 1 eine Gleichung der Tngenen n die Grphen G im 1 Punk S 0. Es exisier genu ein Prmeer mi > 1, für den die Gerde 1 y = ( + 1) x + und die beiden Koordinenchsen ein Dreieck mi mximlem Flächeninhl begrenzen. Berechnen Sie. Auf den Nchweis des loklen Mximums wird verziche Es exisier genu ein Grph der Schr G, der nur einen Punk T mi der x-achse gemeinsm h. Geben Sie den Prmeer für diesen Grphen n und weisen Sie nch, dss der Punk T gleichzeiig lokler Tiefpunk is. Begründen Sie, dss uch lle nderen Grphen der Schr einen loklen Tiefpunk besizen müssen Bei der Unersuchung der Funkionenschr h ein Schüler zufällig fesgesell, dss f 3 ( 3) = 3 f 1, f 4 ( 4) = 4 f 1,..., f 11( 11) = 11 f 1 gil Zeigen Sie, dss sich dieser Zusmmenhng verllgemeinern läss. f Der Grph G 1 und die x-achse begrenzen eine Fläche vollsändig. 4 Berechnen Sie den Inhl dieser Fläche. Seie 2 von 5 Mhemik 06_M_A_L_A12_1

3 Aufgbe 1.2 (Anlysis II) Gegeben is die Funkionenschr f mi Die Grphen dieser Schr seien G. ( x) 2 x 4x f = ; x D f ; R, 4, 0. x Besimmen Sie den größmöglichen Definiionsbereich der Schr f sowie die Schnipunke von G mi den Koordinenchsen. Geben Sie die Gleichungen ller Asympoen von G n. Ermieln Sie so, dss die zugehörigen Tngenen n G n den Sellen und x 2 = 4 orhogonl zueinnder verlufen. x 1 = Der Punk E ( 1 f () 1 ) is lokler Exrempunk eines Grphen der Schr f. Ermieln Sie den zugehörigen Prmeer und geben Sie Koordinen und Ar des loklen Exrempunkes n. Besimmen Sie diejenigen Prmeer, für die G keine loklen Exrempunke besiz Die Gerde y = x 1 schneide G mi 0 im Punk P. > Zeigen Sie, dss der Flächeninhl eines Qudres mi der Seienlänge (O - Koordinenursprung) mi der Formel ( ) 2 ( + 3) 2 OP + 9 A = berechne werden knn. Eines der beschriebenen Qudre h den kleinsmöglichen Flächeninhl. Berechnen Sie den zugehörigen Prmeer. Auf den Nchweis des Minimums wird verziche Die Koordinenchsen und die Gerde y = x 4 begrenzen ein Dreieck. G 1(siehe Abbildung) eil dieses Dreieck. Überprüfen Sie, ob die beiden ensehenden Teilflächen gleich groß sind. Seie 3 von 5 Mhemik 06_M_A_L_A12_1

4 Aufgbe 2.1 (Anlyische Geomerie II / Linere Algebr) Gegeben sind die Punke A( 0 9 0), B( 7 5 2), Cm (8 9 2m 1) und Dm ( 4 8 2); m R, m 0 sowie die Ebene E mi der Gleichung 2 x 3 y + 5z = 8. m Zeigen Sie, dss die Vekoren AB, AC 2 und AD 2 liner unbhängig sind. Weisen Sie nch, dss die Punke A, B, C2 und D2 keine Eckpunke eines regelmäßigen Tereders sind. Besimmen Sie den Prmeerwer m, für den die Punke A, Cm und Dm nich Eckpunke eines Dreiecks sind Berechnen Sie den Absnd des Punkes B von der Ebene E. hm m m Für jedes m R is eine Gerde durch C und D fesgeleg. Unersuchen Sie, ob je eine Gerde h m exisier, die eine der folgenden Eigenschfen erfüll: (1) E h m (2) E. h m Gegeben is die Gerdenschr g mi der Gleichung 3k 3 k x = 4 + r 9 ; k, r R. k 2 Begründen Sie, wrum lle Durchsoßpunke der Gerden g k durch die Ebene E uf einer Gerden liegen. Geben Sie eine Gleichung dieser Gerden n. Besimmen Sie den Prmeer k der Gerden g k, zu der der Punk C 8 den kleinsen Absnd h. Seie 4 von 5 Mhemik 06_M_A_L_A12_1

5 Aufgbe 2.2 (Anlyische Geomerie II / Linere Algebr) Gegeben sind die Ebenenschr E mi der Gleichung x + (2 1) y z + 31 = 0 ; 6 3 Gerde g mi der Gleichung x = 0 + r 2 ; r R sowie die Punke 7 2 A( 5 4 4), B( 2 2 6) und C ( 4 2 6). R, die Die Gerde h verläuf durch die Punke A und B. Zeigen Sie, dss für die Gerden g und h gil: g h und g h. Die uf der Gerden h liegenden Punke K und L sowie die uf der Gerden g liegenden Punke M und N sind Eckpunke eines Trpezes. Berechnen Sie den Flächeninhl des Trpezes KLMN mi den Seienlängen KL = 8LE und MN = 6LE. Ds Trpez KLMN sei die Grundfläche eines gerden Prisms Kne KP und einem Volumen von 2057VE. KLMNPQRS mi der Ermieln Sie uner der Vorussezung, dss möglichen Punkes P. K = A gil, die Koordinen eines Besimmen Sie die Koordinen der Punke, die in llen Ebenen von E enhlen sind, und beschreiben Sie deren Lge. Berechnen Sie den Schniwinkel von E 1 mi der x-y-ebene. Überprüfen Sie, ob eine Ebene von E orhogonl zur x-y-ebene verläuf Weisen Sie nch, dss eine Ebene von E die Gerde g enhäl, und geben Sie eine Gleichung dieser Ebene in Prmeerform n. Besimmen Sie denjenigen Prmeer, für den der Punk C den größen Absnd zu h. E Seie 5 von 5 Mhemik 06_M_A_L_A12_1

6 Miniserium für Bildung, Jugend und Spor Zenrle schrifliche Abiurprüfung 2006 Aufgbensellung A3.1 (Whl für Lehrkräfe) Mhemik für Prüflinge Them/Inhl: Hilfsmiel: Gesmberbeiungszei: Sochsik II Nchschlgewerk zur Rechschreibung der deuschen Sprche, nich progrmmierbrer und nich grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführes Tfelwerk / Formelsmmlung 4 Zeisunden Seie 1 von 2 Mhemik 06_M_A_L_A31_1

7 Aufgbe Lu sisischem Bundesm hen im Jhr % der erwchsenen Bevölkerung b 18 Jhren Übergewich, ein Prozenpunk mehr ls Als Grundlge dienen die erfrgen Körpermße zu Größe (in m) und Gewich (in kg). Der Body-Mß-Index (BMI) errechne sich, indem mn ds Körpergewich (in kg) durch ds Qudr der Körpergröße (in m 2 ) dividier. Die WHO suf Erwchsene mi einem BMI von mindesens 25 ls übergewichig ein. Für 13% der erwchsenen Bundesbürger wurde sogr srkes Übergewich (BMI 30) ermiel. Dgegen werden Erwchsene mi einem BMI von weniger ls 18,5 ls unergewichig eingesuf, ws bei 2,6% der Bundesbürger der Fll wr Unersuchen Sie, welches der folgenden Ereignisse whrscheinlicher is: A: Uner zehn zufällig usgewählen erwchsenen Bundesbürgern befinden sich genu fünf mi Übergewich. B: Uner 50 zufällig usgewählen erwchsenen Bundesbürgern befinden sich mindesens zwei mi Unergewich. Bei wie vielen erwchsenen Bundesbürgern muss mn mindesens Messungen vornehmen, dmi mn mi mindesens 95% Sicherhei wenigsens eine Person mi srkem Übergewich ermieln knn? Insgesm wren 2003 bei einem Fruenneil von 51,2% uner den erwchsenen Bundesbürgern 41% der Fruen übergewichig und 4% der Fruen unergewichig. Berechnen Sie die Whrscheinlichkeien folgender Ereignisse: C: Eine us der Gruppe der Unergewichigen usgewähle Person is eine Fru. D: Ein Mnn is übergewichig Ein bundesweier Ärzekongress beschäfig sich mi Frgen der Ernährung der Bevölkerung Für die 600 Kongresseilnehmer sollen Tgungsgeränke besell werden. Erfhrungsgemäß werden 60% der Kongresseilnehmer Minerlwsser bevorzugen. Berechnen Sie, wie viele Flschen Minerlwsser mindesens besell werden müssen, dmi mi mindesens 95% Whrscheinlichkei jeder, der Minerlwsser möche, uch sächlich wenigsens eine Flsche erhlen knn Auf dem Kongress wird die Vermuung geäußer, dss sich in den nächsen Jhren der Aneil der Unergewichigen verringern wird. Berechnen Sie, wie viele Unergewichige mn in einer 500 Personen umfssenden Sichprobe mindesens ermieln müsse, um mi höchsens 5% Risiko diese These blehnen zu können? Seie 2 von 2 Mhemik 06_M_A_L_A31_1

8 Miniserium für Bildung, Jugend und Spor Zenrle schrifliche Abiurprüfung 2006 Aufgbensellung A3.2 (Whl für Lehrkräfe) Mhemik für Prüflinge Them/Inhl: Hilfsmiel: Gesmberbeiungszei: Anlysis III Nchschlgewerk zur Rechschreibung der deuschen Sprche, nich progrmmierbrer und nich grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführes Tfelwerk / Formelsmmlung 4 Zeisunden Seie 1 von 2 Mhemik 06_M_A_L_A32_1

9 Aufgbe Gegeben is die Funkionenschr f mi Die Grphen dieser Funkionenschr seien G. x 1 2 f ( x) = ( e ) ; R, Besimmen Sie die Koordinen der Schnipunke von G mi den Koordinenchsen und geben Sie ds Verhlen der Funkionswere für x ± n. Zeigen Sie, dss zwei verschiedene zur Schr gehörende Grphen mi bergsgleichem Prmeer keinen gemeinsmen Punk besizen Jede Funkion f mi > 0 h genu eine Exremselle und eine Wendeselle x. W Berechnen Sie den Absnd der beiden Gerden ( ) ( ) x x 1 [Konrollergebnis: f x = 2e 1 2e ] x = x E x E und x = xw Ermieln Sie eine Gleichung der Orskurve ller Wendepunke von G. x Die Gerde = s ( s > 0) schneide G im Punk P und G im Punk Q. Besimmen Sie s so, dss die Tngene n G im Punk P und die Normle n G im Punk Q prllel verlufen Für lle x 1 schließen der Grph G 1 sowie die Gerden x = 1 und y = 1 eine unbegrenz usgedehne Fläche ein. Diese beschreib bei Roion um die Gerde y = 1 einen Drehkörper. Berechnen Sie dessen Volumen. Seie 2 von 2 Mhemik 06_M_A_L_A32_1

10 Miniserium für Bildung, Jugend und Spor Zenrle schrifliche Abiurprüfung 2006 Aufgbensellung A3.3 (Whl für Lehrkräfe) Mhemik für Prüflinge Them/Inhl: Hilfsmiel: Gesmberbeiungszei: Anlyische Geomerie III / Linere Algebr Nchschlgewerk zur Rechschreibung der deuschen Sprche, nich progrmmierbrer und nich grfikfähiger Tschenrechner, n der Schule eingeführes Tfelwerk / Formelsmmlung 4 Zeisunden Seie 1 von 2 Mhemik 06_M_A_L_A33_1

11 Aufgbe Gegeben sind die Punke A( 8 0 1), B(3 6 2), die Ebene E mi der Gleichung x + 2y + 2z = 4 und die Kugelschr K mi der Gleichung m m + x 2 m = 36 ; m R. 3 m Weisen Sie nch, dss der Punk B uf der Kugel lieg. Besimmen Sie die Koordinen des Punkes C mi C und BC = 12LE. K 6 Geben Sie eine Gleichung der Tngenilebene E im Punk B n die Kugel K 6 n. Begründen Sie, wrum sich die Ebenen E und EB schneiden müssen, und geben Sie eine Gleichung dieser Schnigerden n. B K Berechnen Sie den Absnd der Mielpunke M m der Kugeln K m von der x-achse in Abhängigkei von m. Besimmen Sie die Prmeer m der Kugeln der Kugelschr K Ebene E Tngenilebene is. m, für die die Die Mielpunke M m der Kugelschr K m sind mi den Punken A und B die Eckpunke der Grundfläche von dreiseiigen Pyrmiden mi dem Koordinenursprung O ls Spize. Ermieln Sie die Koordinen eines Punkes für eine Pyrmide mi einem Volumen von 65 VE. 3 M m und K seien zwei verschiedene Kugeln der Kugelschr K. Ermieln Sie K m1 einen Zusmmenhng zwischen m und m uner der Bedingung, dss sich K und K m2 m 2 schneiden. 1 2 m m 1 Seie 2 von 2 Mhemik 06_M_A_L_A33_1