Weitere Aufgaben zum Themenkomplex 1: Grundlagen, Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung und Substitutionsverfahren

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Jesko Hertz
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1 Prof. Dr. Gerd von Cölln Prof. Dr. Dirk Re Mhemik II Weiere Aufgen zum hemenkomple : Grundlgen, Hupsz der Diff.- und Inegrlrechnung und Susiuionsverfhren. Sind folgende Aussgen whr oder flsch ) Sind f und g seig uf [,] dnn gil [ ( ) + g( )] d = f ( ) d + f g( ) d ) Sind f und g seig uf [,] dnn gil = [ f ( ) g( )] d f ( ) d g( ) d c) Is f seig uf [,] dnn gil 5 f ( ) d = 5 f ( ) d d) Is f seig uf [,] dnn gil f ( ) d = f ( ) d e) Is f seig uf [,] und is f ( ) dnn gil f ( ) d = f ( ) d f) Is f () seig uf [,] dnn gil f ( v) dv = f () f () g) Sind f und g seige und f ( ) g( ) und dnn gil ( ) d f g( ) d h) Sind f und g differenzierr und f ( ) g( ) für < < dnn is f ( ) g ( ) für < <. 5 9 sin i) ( 6 + ) d = 4 ( + ) 5 j) ( + + c) d = ( + c) d 5 k) d == / l) ( ) d sell die Fläche uner der Kurve y = für [,] m) Alle seigen Funkionen hen Aleiungen im gesmen Definiionsereich n) Alle seigen Funkionen hen eine Smmfunkion für den gesmen Definiionsereich

2 Prof. Dr. Gerd von Cölln Prof. Dr. Dirk Re Mhemik II. Berechnen Sie die folgenden Inegrle. Berechnen Sie die folgenden Inegrle, insofern diese eisieren ) ) c) d) e) f) g) h) i) sec()=/cos() j) 4. Berechnen Sie die Aleiung der folgenden Funkionen 4 cosα ) F( ) = + d ) g ( ) = d c) y = + dα α

3 Prof. Dr. Gerd von Cölln Prof. Dr. Dirk Re Mhemik II Weiere Aufgen zum hemenkomple : Inegrionsverfhren Versändnisfrgen m n. Wie lösen Sie ds Inegrl sin cos d flls m ungerde, n ungerde is und m und n eide ungerde sind.. Wie lue der Ansz für die PBZ für eine ech gerochen rionle Funkion P()/Q(), wenn:. Q() nur unhängig Linerfkoren esiz?. Q() Linerfkoren esiz, die mehrfch ufreen? c. Q() irreduzile qudrische Fkoren ohne Wiederholung ufweis? d. Q() irreduzile qudrische Fkoren mi Wiederholung ufweis?. Wie luen die Approimion für ds esimme Inegrl f ( ) d ei Anwendung der rpezregel, der Mielpunkregel und der Simpson-Regel. Welche der Ansäze wird die genuse Aschäzung liefern. 4. Ds esimme Inegrl d soll pproimier werden ls, M und S. Ermieln Sie us der Anschuung, o der Aschäzungsfehler E = Approimierer Wer Whrer Wer negiv, posiiv oder gleich Null sein muss. Beweisen Sie Ihre Annhme nhnd einer Skizze, die die Approimionsfehler grphisch drsellen. 5. Sind folgende Aussgen richig oder flsch? ( + 4) A B. knn umgewndel werden in die Form A B C. knn umgewndel werden in die Form + + ( 4) A B c. knn umgewndel werden in die Form + ( 4) 4 4 A B d. knn umgewndel werden in die Form + ( + 4) e. d =/ ln5 f. Die Aschäzung miels Mielpunkregel is immer genuer ls die miels rpezregel.

4 Prof. Dr. Gerd von Cölln Prof. Dr. Dirk Re Mhemik II Berechnen Sie folgende Inegrle 5. d + 4. d π / π / cosω. dω + sinω 5. d + e e 7. cos ω sin ω dω 8. d e + ln 8 sin(ln). d d ( + )( + ) 8. Durch Alesen des chomeers eines PKWs wurde folgende elle ermiel. Ermieln Sie durch Anwendung der Simpson-Regel die zurückgelege Srecke. /min v/(km/h) Weiergehende Aufgen. Beweisen Sie, dss folgende Aussge gil, wenn f seig is. f ( ) d = f ( ) d Hinweis: Die Lösung ergi sich durch geeignee Susiuion uf der rechen Gleichungsseie.. Zeigen Sie uner Verwendung von ds für lle n > gil: π / n sin d = π / 4 n n sin + cos. Berechnen Sie d durch Susiuion nselle durch PBZ Ein Kreis mi dem Rdius erühr die Kurve y =, wie in der Aildung gezeig. Ermieln Sie die Fläche, die zwischen eiden Kurven lieg.

5 Prof. Dr. Gerd von Cölln Mhemik II Weiere Aufgen zum hemenkomple : Anwendung der Inegrlrechnung Flächenerechnungen Skizzieren Sie die Flächen, enscheiden Sie, wie die Inegrion erfolgen soll (d oder dy) und erechnen Sie die Fläche.. y = +, y = 9, =, = (9,5). y =,. y = +, y = (/6) y = + (4/) (/) 4. y =, y = 5. = y, = y (8/) 6. y =, y = 7. = y, + y = (9/8) 8. y = cos, y = sin( ), =, = π / (/) 9. y =, + y =, + y = (/) Berechnen Sie ds folgende Inegrl und inerpreieren Sie dieses ls Fläche einer Region. Zeichnen Sie diese Region.. d (/) Volumenerechnungen Berechnen Sie ds Volumen, wenn die ngegeenen Flächen roieren ) R um OA (Pi/7) ) R um AB (Pi/) c) R um OA (Pi/) d) R um AB (7/5 Pi) Berechnen Sie ds Volumen, ds durch Roion der Fläche um die ngegeene Linie enseh (Skizze der Fläche und des Volumens). y = /, =, =, y = um die -Achse (Pi/). y =, y = um die -Achse (Pi/). y =, y = um die y = (Pi/6) 4. y =, = y um die = - (9Pi/)

6 Prof. Dr. Gerd von Cölln Mhemik II echnische Anwendungen. Die Spnnung u n einer Sooskop-Lmpe knn durch ein π -periodisch uf gnz R / forgeseze Funkion u( ) = U ( e ) für [,π ) eschrieen werden (Skizze). Berechnen Sie den Gleichneil. π / Lösung: U ( + e / π ) π. Berechnen Sie den Gleichrichwer i = i d ( ) und den Effekivwer ieff = (Skizze). Lösung: i ( ) d des -perioden Sromes i( ) = iˆ für lle [ / ; / ) ) i = i, i eff = iˆ. Aus Ppul, Mhemik für Ingenieure und Nurwissenschfler Anwendungseispiele -, Vieweg. Weiere Hinweis: Die Ldung Q erzeug ein zylindersymmerisches elekrisches Feld (im Schni senkrech zur Zylinderchse is ds Feld rdilsymmerisch).. Der Berg der elekrischen Feldsärke E h dher uf einer zum Innenleier koilen Zylinderfäche üerll den gleichen Wer (gesrichele Linie). Im Asnd r von der Symmeriechse gil Q für die Feldsärke E E = mi r r r. Die Spnnung zwischen dem Innen- und πε εrl

7 Prof. Dr. Gerd von Cölln Mhemik II Außenleier is dnn dem Berg nch C = Q/U. i eff = r r E( r) dr. Die Kpziä erechne sich ls Lösung: πε εl C = r ln r

8 Prof. Dr. Gerd von Cölln Mhemik II Weiere Aufgen zum hemenkomple 4: Prmeerfunkionen. Besimmen Sie die ngenengleichung für den ngegeenen Prmeerwer:. = 4 +, y = +, = (y=-). = e, y ln =, = y = ( / e) + ). Gegeen is folgende Prmeerfunkion: = sin, y = sin Besimmen Sie die ngenengleichung im Punk (,). Skizzieren Sie den Verluf der Kurve und ngene (Mhemikprogrmm, z.b. MuPAD oder gnuplo). y = /. An welchem Punk der Kurve = + 4, mi = 7, y = 5? y = 6 is die ngene prllel zur Gerden ( 5,6) und ( 8, ) 7 4. Ermieln Sie die eingeschlossene Fläche! = cos, =, y = y = e, π / ( e π / ) 8 5. Zeichnen Sie die Kurve und erechnen Sie deren Länge! ( e + e ) / = e, y = 4e mi 8

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