Aufgaben zur Differenzialrechnung WS 06/07 Prof.Zacherl / Prof. Hollmann
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- Tomas Hafner
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1 Aufgaben zur Differenzialrechnung WS 06/07 Prof.Zacherl / Prof. Hollmann Aufgabe Im abgelaufenen Jahr haen einige große deusche Firmen hohe prozenuale Gewinnzuwächse. Gleichzeiig wurden eilweise massiv Sellen gesrichen. Beides zusammen ha den Firmen viel Kriik eingebrach. Ein kleines Rechenbeispiel soll zwar nich das Verhalen der Unernehmer enschuldigen, aber es rück vielleich einige Zahlen ewas zurech. Eine Firma hae im Jahre 004 einen Gewinnrückgang von 5 % zu verzeichnen. Um wie viel Prozen müsse der Gewinn im Jahre 005 seigen, um den Gewinnrückgang des Vorjahres gerade auszugleichen? Aufgabe Berechnen Sie für folgende Funkionen jeweils '. Sellen Sie das Ergebnis in möglichs einfacher Form dar. a sin + ln(cos b cosh( c ( sinh( d ln (cos (e e e f ln + g ln ln h a a i arcan
2 Aufgabe Beweisen Sie durch Differenzieren: + a a + + a ln a mi a R, konsan Aufgabe 4 Differenzieren Sie die folgenden Funkionen mi Hilfe der logarihmischen Ableiung. a ( + (>0 b c (>0 (>0 d an (sin für π 0 < < Aufgabe 5 Berechnen Sie für folgende Funkionen jeweils a ( + b r(ϕ ϕ e ϕ Aufgabe 6 ( + ' Berechnen Sie für die folgenden implizien Funkionen jeweils 4 a F (, sin 0 0; b F(, e ; c F (, ln( + 0 : d F (, sin 0; '
3 Aufgabe 7 Besimmen Sie durch Anwendung der Regel von L Hospial die Grenzwere a ln + b (co 0 sin c d ( + ln + sin( 0 cos e (ln an 0 Aufgabe 8 a Warum führ die folgende Anwendung der Regel von L Hospial zu einem falschen Ergebnis? b Wie laue der richige Grenzwer für das obige Problem? Aufgabe 9 In einem Reihenschwingkreis kann uner Umsänden die Spannung U L an der Indukiviä größer werden als die Gesamspannung U. Dieses Phänomen wird als Spannungsüberhöhung bezeichne und die zugehörige Ampliude wird durch folgende Funkion beschrieben: ω f ( ω mi ω 0 ω + ( ω ( Hier wurde L C R gesez. a Besimmen Sie den Definiionsbereich von f (ω. b Besimmen Sie die Nullsellen von f (ω. c Ha f (ω Polsellen? d Berechnen Sie f ( ω. ω + e Besimmen Sie die relaiven Erema von f (ω. Prüfen Sie dabei nur die nowendige Bedingung für ein relaives Eremum. f Skizzieren Sie den Graphen von f (ω.
4 Aufgabe 0 Uner welchem Winkel schneiden sich die beiden Funkionen f( cos und 0,π? g( sin im Inervall [ ] Aufgabe + Berechnen Sie die ersen drei Ableiungen der Funkion f (. Leien Sie daraus eine allgemeine Formel zur Besimmung der n-en Ableiung Aufgabe Vorgeleg sei die folgende reelle Funkion in ebener Polarkoordinaendarsellung: (n ab. r r( ϕ cosϕ + sinϕ mi π π ϕ < 4 4 a Besimmen Sie die karesische Ableiung cos(ϕ + sin(ϕ (Ergebnis: ' cos(ϕ sin(ϕ ' als Funkion von ϕ. b Für welche Were von ϕ, besiz die Funkion waagreche bzw. senkreche Tangenen? c Besimmen Sie den allgemeinen Ausdruck für die Krümmung κ κ (ϕ. Was folg daraus für die angegebene Kurve? Aufgabe Gegeben sei die implizie Funkion 4 F (, ( + ( + C; a Besimmen Sie die Konsane C so, dass die Kurve durch den Punk P(, geh. b Berechnen Sie die Ableiung '. c Besimmen Sie die Gleichung der Tangenen im Punk P.
5 Aufgabe 4 Berechnen Sie die Krümmung κ ( der Keenlinie ( a cosh. a Zeigen Sie außerdem, dass für den zugehörigen Krümmungsradius gil: ρ a Aufgabe 5 Bei der Diskussion um eine große Seuerreform wird auch ein sogenannes Sufenmodell in Berach gezogen. Konkre heiß dies: Wer bis 8000 jährlich verdien, zahl keine Seuern. Wer sich mi seinem Einkommen zwischen 8000 und befinde, zahl für den 8000 überseigenden Berag % Seuern. Für Einkommensaneile zwischen und sollen 4 % Seuern bezahl werden, für Einkommenaneile ab soll der Seuersaz 6 % beragen. a Geben Sie die abschnisweise definiere Funkion S( der zu zahlenden Seuern in Abhängigkei vom Einkommen an. b Skizzieren Sie S(. c Berechnen Sie den Durchschnisseuersaz D( in Abhängigkei vom Einkommen und skizzieren Sie D(. Aufgabe 6 Vorgeleg is die Funkion 5 5a mi R a, konsan. In welchen Punken P i ( i, i besiz die zugehörige Kurve Minima bzw. Maima? Wo liegen Wendepunke? Aufgabe 7 Gegeben sei die gebrochenraionale Funkion f ( + 4 a Wo ha f( Nullsellen bzw. Polsellen? b Welche Asmpoe ha f(? c Besimmen Sie die relaiven Erema von f(. d Skizzieren Sie den Graphen von f(. e Geben Sie eine Sammfunkion F( zu f( an
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