Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen"

Kai Waldfogel
vor 7 Jahren
Abrufe

1 Physikdeparmen E13 WS 211/12 Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Prof. Dr. Peer Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körsgens, David Magerl, Markus Schindler, Moriz v. Sivers Vorlesung , Übungswoche Bla 4 1. Billard Beim Billard-Spiel riff die weiße Kugel mi v = 4,5 m/s auf die schwarze Kugel, die sich in Ruhe befinde. Beide Kugeln haben die gleiche Masse und soßen elasisch. Reibungseffeke werden vernachlässig. Nach dem Soß bewege sich die schwarze Kugel uner einem Winkel von φ s = 36, zur Einfallsrichung der weißen Kugel (s. Abb.). a) Besimmen Sie die Bewegungsrichung der weißen Kugel nach dem Soß, d. h. besimmen Sie die Winkelablenkung φ w der weißen Kugel gegenüber der Einfallsrichung!

2 Impulserhalung: Energieerhalung: p = p s + p w m v = m v s +m v w v = v s + v w 1 2 mv2 = 1 2 mv2 s mv2 w Pyhagoras: a 2 = b 2 + c 2 9, Winkel zwischen v s und v w v 2 = v 2 s + v 2 w Winkelsumme im Dreieck: φ s + φ w + 9, = 18 φ s + φ w = 9, φ w = 9, 36, = 54, Die weiße Kugel wird um φ w = 54, in die engegengeseze Richung abgelenk wie die schwarze Kugel. b) Besimmen Sie die Geschwindigkeien v s und v w beider Kugeln nach dem Soß durch Nuzung der Impuls- und Energieerhalung. Gesuch: v s = v s und v w = v w Impulserhalungssaz: x-richung: mv = mv sx + mv wx y-richung: = v sy + v wy v sy = sin φ s v s ; v wy = sin φ w v w v s = v sin φ w w sin φ s ( ) v 2 = v 2 w sin2 φ w sin 2 + v 2 w = v 2 w 1+ sin2 φ w φ s sin 2 φ s v w = v 1+ sin2 φ w sin 2 φ s v 2 = v 2 s sin2 φ s sin 2 φ w + v 2 s = v 2 s v s = v 1+ sin2 φ s sin 2 φ w = 2,65 m/s ( ) 1+ sin2 φ s sin 2 φ w = 3,64 m/s 2

3 c) Besimmen Sie die Geschwindigkeien v s und v w geomerisch mi den Winkeln φ s und φ w. Aus a) und b) is bekann: v = v s + v w sin φ w = v s v ; v s = v sin φ w = 3,64 m/s sin φ s = v w v ; v w = v sin φ s = 2,65 m/s 3

4 2. Zusammensoß mi Feder Ein zunächs ruhender Gegensand der Masse m 1 = 2, kg befinde sich auf einer horizonalen Oberfläche und is an einer enspannen Feder mi der Federkonsanen k = 6 N m befesig. Auf dieser Oberfläche kann der Gegensand reibungsfrei gleien. Ein zweier Gegensand der Masse m 2 = 1, kg gleie ebenfalls reibungsfrei mi einer Geschwindigkei von v = 6, m s uner einem Winkel von, auf den ersen zu. a) Besimmen Sie die Ampliude der Schwingung, wenn die Gegensände einen idealen inelasischen Soß ausführen. Das bedeue, dass die beiden Massen nach dem Soß aneinanderhafen. Ein Teil der kineischen Energie der Massen is dabei in Verformungsarbei umgewandel worden, Impulserhalung gil aber rozdem. Wie groß is die Schwingungsdauer? Körper hafen aneinander = eine gemeinsame Geschwindigkei beider Körper nach dem Soß: v e Impulserhalung: m 2 v = (m 1 + m 2 )v e = v e = m 2v m 1 + m 2 Dies is gleichzeiig die Maximalgeschwindigkei, da es die Geschwindigkei im Gleichgewichspunk der Feder is: E kin = E po 1 2 (m 1+ m 2 )v 2 e = 1 2 ka2 1 mi A 1 Maximalauslenkung der Feder (m1 + m 2 )v = A 1 = 2 e m 2 2 = v2 (1, kg)2 (6, m k (m 1 + m 2 )k = s )2 3, kg 6 N m =,141 m Nach Vorlesung: ω 2 = k m = Schwingungsdauer T 1 = 1 f = 2π ω = 2π m1 +m 2 k 3, kg = 2π =,444 s 6 m N b) Besimmen Sie Ampliude und Schwingungsdauer im Falle eines elasischen Soßes. Geschwindigkeien nach dem Soß: v 1 bzw. v 2 Impulserhalung: m 2 v = m 1 v 1 + m 2 v 2 Energieerhalung: 1 2 m 2v 2 = 1 2 m 1v m 2v 2 2 Formeln für v 1 und v 2 : siehe Aufgabe Pendelkee (Vorsich mi den Indices) v 1 = 2v 1+ m 1 = 2vm 2 m 2 +m 1 ( = wieder Maximalgeschwindigkei der schwingenden Feder) m 2 = A 2 = m 1 v 2 1 k = E kin = E po 1 2 m 1v 2 1 = 1 2 ka2 2 4m 1 v 2 m 2 2 k(m 2 + m 1 ) 2 = m1 T 2 = 2π k 4 2, kg (6, m s )2 (1, kg) 2 6 N m (3, kg)2 =,231 m = 2π 2, kg 6 N =,363 s m 4

5 c) Beschreiben Sie die Auslenkung des an der Feder befesigen Gegensandes für beide Soßaren als Funkion der Zei, uner der Annahme, der Soß erfolge zur Zei =. Skizzieren Sie die beiden Funkionen. In beiden Fällen harmonische Schwingung mi x() = = x() = A i sin(ω i ) = A i sin( 2π T i ) d) Wo besiz das Sysem nach dem Soß die höchse poenielle Energie und wo die höchse kineische Energie? Poenielle Energie: Bei x = ±A is F maximal, d.h. am Umkehrpunk is die Feder maximal gespann und die Kugel is in Ruhe Geschwindigkei v = = E kin = Wegen Energieerhalung besiz das Sysem an der Selle x = ±A die höchse poenielle Energie. Kineische Energie: Bei x = is F =, d.h. die Feder is enspann Auslenkung x = = E Feder = Wegen Energieerhalung besiz das Sysem an der Selle x = die höchse kineische Energie. 5

6 3. Inerferenz Zwei gleicharige sinusförmige Schwingungen inerferieren mieinander. a) Zeigen Sie anhand von zwei skizzieren Beispielen welche Phasenverschiebungen zu konsrukiver und desrukiver Inerferenz führen können. ϕ = A Ampliude 1. Welle A Ampliude 1. Welle A Ampliude 2 Inerferenz = konsrukive Inerferenz 6

7 ϕ = π A Ampliude 1. Welle A Ampliude 1. Welle A Ampliude 1. Inerferenz = desrukive Inerferenz 7

8 b) Berechnen Sie die Überlagerung dieser beiden Schwingungen für einen Phasenunerschied ϕ. x 1 () = A 1 sin(ω 1 ) x 2 () = A 2 sin(ω 2 + ϕ ) gleicharig = A 1 = A 2 = A ; ω 1 = ω 2 = ω Superposiionsprinzip x 1 () = A sin(ω) x 2 () = A sin(ω+ ϕ ) = Summe Summe zweier Sinusfunkionen: x() = x 1 ()+x 2 () = A[sin(ω)+sin(ω+ ϕ )] sin α+sin β = 2 sin 1 2 (α+ β)cos1 (α β) 2 x() = 2A sin[ 1 2 (2ω+ ϕ )] cos[ 1 2 ( ϕ )] = 2A cos( ϕ 2 ) sin(ω+ ϕ }{{} 2 ) Ampliude c) Für eine Ampliude beider Schwingungen von 9,8 mm und einer Phasenverschiebung von 1, welche Ampliude ha die resulierende Schwingung? A = 2A cos( ϕ ) = 13 mm 2 d) Bei welcher Phasenverschiebung ϕ in rad ha die Schwingung eine Ampliude von 4,9 mm? Wieviel Wellenlängen Unerschied ensprich das? 2 Lösungen möglich! In Wellenlängen: φ = 2 arccos( A ) = 2,6 rad 2A Φ 2π/Wellenlänge = ±,42 Wellenlänge 8

9 4. Rakee Eine voll beanke Rakee des Typs Ariane 5 habe eine Masse von 75, von denen 65 Treibsoff sind. Der verbranne Treibsoff verläss die Rakee mi einer Aussrömgeschwindigkei von v g = 55 m/s und einer Rae von 15 kg/s. Die Rakee befinde sich im Welall, so dass weder Schwerkraf noch Lufwidersand auf sie wirken. Beim Sar ha sie die Geschwindigkei v =, m/s. Für diese Aufgabe wird angenommen, dass die Rakee aus nur einer Sufe beseh, die gleichmäßig verbrann wird. a) Besimmen Sie den Schub der Rakee. Schub: Kraf, die ausgesoßenes Gas durch Impulsüberrag auf Rakee ausüb. F = dp = d(m v) dm = v g + m dv g }{{} = = v g dm b) Besimmen Sie die Brenndauer T der Rakee. = = 55 m/s 15 kg/s = 8,25 MN 65 kg Treibsoff; verlier pro Sekunde 15 kg m(t) = kg s T = 1 T = 65 kg 15 kg s = 433 s c) Leien Sie her, wie sich die Geschwindigkei v() als Funkion der Zei verhäl! (Formel und Skizze) Hinweis: Aus dem 2. Newonschen Axiom erhalen Sie mi dem allgemeinen Ausdruck für die Kraf eine Gleichung, die die zeilichen Ableiungen dm Seien nach der Zei! Newon: F = dp und dv enhäl. Inegrieren Sie beide 9

10 infiniesimale Änderung des Gesamimpuls im Inerialsysem: dp = P( = ) P( = ) P( = ) = (m+dm)v Ri ; P( = ) = m(v Ri + dv Ri )+dm v gi dp = mdv Ri + dm(v gi v Ri ) = mdv Ri + v g dm wobei v Ri = v und v gi relaiv zum Inerialsysem, v g relaiv zur Rakee gemessen; keine äußere Kraf: F = Achung: Inegral: dp = m dv Ri dm + v g = v g dm m = m() = M = m dv }{{} 75 dm }{{} 15 kg/s dv = v g v() v() dv = v g m() 1 dm m m() dm m v() v() = v g (ln(m()) ln(m( = ) }{{}}{{} ( ) v() = v g ln m() M = v g ln 1 M ) dm M Skizze siehe e). d) Wie hoch is die Endgeschwindigkei v end der Rakee? Brennschluss: m(t) = = 1 = v(t) = v g ln m(t) M = 55 m/s ln 1 75 v(t) = 1181,96... m/s = 11,1 1 3 m/s oder 11,1 km/s 1

11 e) Wie hoch wäre die Endgeschwindigkei v g, wenn auf die Rakee während der Brenndauer eine rückreibende Kraf wirken würde, die der Fallbeschleunigung von g = 9,81 m/s 2 auf der Erde ensprich? dp = mg Zusäzliche Kraf ( m g), die der Rakee engegen wirk. Sar von der Erde m dv + v dm g = mg dv = v() = v g ln m() M 1 dm v g m g g v(t) = 683,96... m/s = 6, m/s oder 6,83 km/s 11

Ähnliche Dokumente

Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE

Physik-Department LS für Funktionelle Materialien WS 214/15 Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Volker Körstgens, Daniel Moseguí González, Pascal Neibecker, Nitin