Sinus und Cosinus im rechtwinkligen Dreieck ( )

Transkript

1 Sinus und Cosinus im rechwinkligen Dreieck (6.8.8) Ankahee. Hpoenuse Gegenkahee sin = cos = an = Gegenkahee Hpoenuse Ankahee Hpoenuse Gegenkahee Ankahee Was ha das rechwinklige Dreieck mi Schwingungen zu un? Wenn man im Phsikunerrich mi dem Thema Schwingungen sare, wird meis als erses ein Versuch gemach, bei dem der Schaen einer Kreisbewegung und einer schwingenden Feder an die Wand projizier werden. Dann sieh man, dass die Schaenbewegungen idenisch sind. Jede Schwingung kann also beschrieben werden durch die Höhe eines kreisenden Körpers, der sich um einen Winkel φ gedreh ha. Winkel im Bogenmaß Wenn es um Schwingungen und Wellen geh, werden Winkel immer im Bogenmaß gemessen. Eine komplee Umdrehung ha dann nich 36. Hier is der Drehwinkel π. Eine halbe Drehung (8 ) ha dann den Drehwinkel π. Man kann für jeden Drehwinkel in Grad den Drehwinkel im Bogenmaß ausrechnen: Wichige Winkel im Bogenmaß Drehung um Bogenmaß Grad ¼ ½ π 9 ½ π 8 ¾ 3/ π 7 π 36 Winkel in Grad 36 = Winkel im Bogenmaß π Der Taschenrechner kann Winkel im Bogenmaß angeben, er muss allerdings dafür eingesell werden. Das geschieh beim TInspire uner Menü/Einsellungen/Grafik Winkel. Wenn du esen wills, ob dein Taschenrechner die Winkel im Bogenmaß oder im Gradmaß rechnes, gib es einen einfachen Trick: Im Gradmaß is sin(9 ) = Im Bogenmaß is sin( ) = Du kanns also beides in den Taschenrechner einippen und schauen, wo herauskomm.

2 Schwingungen Allgemein: Jede Schwingung kann mihilfe der Funkion = sin(ω + φ) beschrieben werden. is die Ampliude. ω = π heiß Winkelgeschwindigkei. T T is die Schwingungsdauer. is die Sarzei. Aus der Phasenverschiebung φ kann man die Sarzei ausrechnen: = φ. T π Einfluss der Phasenverschiebung φ: = sin( + φ) () Der Graph zu = sin( + φ) enseh aus dem Graphen zu =sin(x) durch Verschieben um φ engegen der x-achse.anschaulich heiß das, die Funkion sare um eine Zei = φt π früher. Wenn φ>, wird nach links verschoben.,5,5 φ sin(x),5 Wenn φ<, wird nach rechs verschoben. φ sin( + φ) sin( + φ),5,5,5 - -,5 Sarzei Schwingungsdauer T Ampliude 4,5 9,5 4,5 4,5 9,5 4,5 - -,5 - -,5 sin(x) () Die Periode is π, weil ω=.das ensprich anschaulich der Schwingungsdauer T=π. (3) Die Funkion ha den Werebereich [-;], weil die Ampliude = is. (4) Die Funkion ha Nullsellen bei k π φ für alle ganzzahligen k. Einfluss der Winkelgeschwindigkei ω: = sin(ω) () Der Graph zu = sin(ω) enseh aus dem Graphen zu = sin() durch Srecken mi dem Fakor in Richung der Zeiachse. Anschaulich änder sich dabei die Schwingungsdauer ω,5 Für ω> sin(),5 Für <ω< sin(ω) sin(),5,5 4,5 9,5 4,5 4,5 9,5 4,5 - -,5 sin(ω) () Die Schwingungsdauer is T= π ω. (3) Die Funkion ha den Werebereich [-;]. (4) Die Funkion ha die Nullsellen: k π für ganzzahlige k. ω - -,5

3 Wellen Wellen sind sehr komplexe Gebilde, weil sie sich mi der Zei verändern und dazu noch im Raum forbewegen. Man kann aber mi einer Kamera ein Foo von einer Welle machen und dann die Form der Welle auf dem Foo berachen. Dabei muss man drei Größen im Auge behalen: Wellenlänge λ Gangunerschied δ Ampliude Die Funkionsgleichung der Welle laue dann (x) = sin( π λ x + πδ λ ) Der Gangunerschied δ gib die Verschiebung der Welle in x-richung an. Wenn man den Phasenwinkel φ kenn, kann man ihn ausrechnen: φ π = δ λ,5,5 Ampliude Gangunerschied ,5 Wellenlänge x

4 Wellen und Schwingungen zeichnen Meisens muss man nur einzelne Wellen und Schwingungen zeichnen. Dann kann man die Achsen so wählen, dass sie passen. Das funkionier sogar, wenn man für die Wellenlänge, Schwingungsdauer und die Ampliude keine konkreen Zahlen ha. Beispiel Schwingung: Für das Diagramm sind Schwingungsdauer, Anfangszei und Ampliude wichig. Da die Schwingung periodisch is, reich es ers mal, wenn man die Längsachse (-Achse) und die Ampliude aufzeichne. Die Hochachse (-Achse) kann späer kommen. Sie veränder die Schwingung nich, sondern leg nur die Sarzei fes. Schri : Eine Sinusschwingung ha jede halbe Schwingungsdauer einen Nulldurchgang. Außerdem is die Ampliude konsan. Zeichnen Sie zuers die -Achse und markieren Sie die Nullsellen. Zeichnen Sie zwei gesrichele Linien, die die Ampliude markieren. Schwingungsdauer T Ampliude Schri : Zeichnen Sie die Sinusschwingung so, dass sie durch die markieren Nullsellen geh und die gegebene Ampliude ha. Schri 3: Der Sarzeipunk gib an, um wieviel die Sinusschwingung verschoben is. Für = is die Sinusfunkion nich verschoben. Zeichnen Sie die -Achse so ein, dass der Sarzeipunk pass. Schri 3: Will man weiere Wellen in das Diagramm zeichnen, so muss man sich sofor über den Sarzeipunk Gedanken machen. Außerdem kann sich die Wellenlänge ändern. Fall : Der Sarzeipunk is anders. Berechnen Sie aus φ den Sarzeipunk. Für φ = π zum Beispiel is die Welle um eine halbe Periode verschoben. = T Zeichnen Sie die verschobene Welle ein. Fall : Die Schwingungsdauer is anders. Zeichnen Sie die Nullsellen für die geändere Schwingungsdauer ein. Ha sich die Schwingungsdauer zum Beispiel verdoppel, so sind die Nullsellen doppel so wei auseinander.

5 Aufgaben zu Schwingungen und Wellen Aufgabe : Berechnen Sie für die folgenden Dreiecke die fehlende Seie und den eingezeichneen Winkel φ ) 7cm 4,5cm ) cm 4,5cm 3),5cm 5cm 4) 4cm 7cm 5) 5cm cm 6) 3cm,5cm 7) 3cm cm Aufgabe : Winkel im Bogenmaß a) Füllen Sie die folgende Tabelle vollsändig aus. Rechnen Sie dazu die Winkel um. φ in Grad 3 5 φ im Bogenmaß, 5 3 b) Berechnen Sie für alle Winkel einmal den Sinus und den Cosinus im Bogenmaß und einmal in Grad. Wenn Sie es richig machen, muss dasselbe herauskommen. Aufgabe 3: Schwingungen mi dem GTR zeichnen. Definieren Sie am GTR die Variable φ:= und omega:= a) Zeichnen Sie die Funkion der Schwingung = sin(omega x + φ). Geben Sie Ampliude und Schwingungsdauer an. b) Verändern Sie omega so, dass T=s. Überprüfen Sie die neue Schwingungsdauer am GTR. c) Verschieben Sie die Schwingung, indem Sie φ:= ; φ:= ; φ:=4 ; φ:=6 sezen. Beobachen Sie das Resula am GTR. Dann sezen Sie φ:= ; und vergleichen Sie. d) Finden Sie das φ, für das die Welle um eine Vierel / eine halbe / eine dreivierel und eine ganze Schwingung verschoben is. Es gib für jede Frage eine exake Anwor! Nich schäzen.

6 Aufgabe 4: Schwingungen von Hand zeichnen. Hier den GTR nich benuzen. Für alle Schwingungen sei die Ampliude =. a) Zeichnen Sie eine Schwingung mi Schwingungsdauer 5s und Sarzeipunk =. b) Zeichnen Sie ins selbe Diagramm eine Schwingung mi der gleichen Schwingungsdauer, die aber um eine halbe/eine vierel/drei vierel Schwingungsdauer nach rechs verschoben sind. c) Geben Sie für alle Schwingung aus b) den Sarzeipunk und den Phasenwinkel φ an. d) Zeichnen Sie eine Schwingung, die gegen die aus a) um φ= - π / π / π verschoben is. Geben Sie jeweils an. Aufgabe 5: Wellen von Hand zeichnen. Hier den GTR nich benuzen. Für alle Wellen sei die Ampliude =. a) Zeichnen Sie die Momenaufnahme einer Welle mi Wellenlänge cm, die im Nullpunk sare. b) Zeichnen Sie ins selbe Diagramm eine Welle mi Wellenlänge cm, die um eine Vierel/eine halbe/eine ganze Wellenlänge nach rechs verschoben is. Geben Sie jeweils δ und φ an. Lösungen zu den Aufgaben: Aufgabe : Dreieck Winkel/ 5 6,4 6 34,8 66,4 48, 56,3 Seie/cm 5,3 4 4,3 5,8 4,6, 3,6 Aufgabe : φ in Grad ,3 4,6 3 φ im,7 Bogenmaß sin φ,7,5 -,34,5,3,84,9,5 cos φ,98,87 -,93 -,87,95,54 -,4,87 Aufgabe 3: a) = ; T=π b) omega:=π c)φ = π / π / 3 π / π

7 Aufgabe 4: a) b) c) Verschiebung um eine Vierel Schwingungsdauer: φ= π =,5s Verschiebung um eine halbe Schwingungsdauer: φ= π =,5s Verschiebung um eine dreivierel Schwingungsdauer: φ= 3 π = 3,75s d) φ= - π =,5s = -,5s φ= π φ = π = -,5s Die Zeichnung is in b) zu finden, da eine Schwingung, mi Verschiebung um π und 3 π, idenisch is. Aufgabe 5: Verschiebung um eine vierel Wellenlänge: φ= π δ=,5cm Verschiebung um eine halbe Wellenlänge: φ= π δ=cm Verschiebung um eine ganze Wellenlänge: φ= π δ=cm Wellen, die um eine ganze Wellenlänge oder ein Vielfaches davon verschoben sind, liegen übereinander.