Analysis: Exponentialfunktionen Analysis

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1 Analysis: Eponenialfunkionen Analysis Übungsaufgaben u Eponenialfunkionen Pflich- und Wahleil gesames Soffgebie (insbesondere Funkionsscharen) ohne Wachsum Gymnasium ab J Aleander Schwar Februar 4

2 Analysis: Eponenialfunkionen Pflicheil: (ohne GTR und ohne Formelsammlung) P: Besimme die Lösungsmenge der Gleichung: 4 a) e 4e + 3= b) e + + e = P: Das Schaubild der Funkion f mi f() = e, wird um wei Einheien in -Richung nach rechs verschoben, anschließend an der -Achse gespiegel und dann in y-richung um 3 Einheien nach oben verschoben. Skiiere das lee Schaubild und gib einen Funkionserm dau an. P3: Berechne die erse Ableiungsfunkion: a) f() = e + b) f() = e ln P4: Gegeben is die Funkion f mi f() = + e, a) Wie laue die Gleichung der Asympoe des Schaubildes? b) Berechne den Inhal der nach rechs offenen Fläche, die durch das Schaubild von f, der y-achse und der Asympoe im.feld begren wird. P5: Von einer Funkion f is der Graph seiner Ableiungsfunkion f gegeben. Unersuche die folgenden Aussagen auf ihre Richigkei. a) Der Graph von f ha an der Selle = - einen Hochpunk. b) Der Graph von f ha an der Selle = einen Tiefpunk. c) Für > gil f() >. d) Für > seig f sreng monoon. e) Der Graph von f ha genau wei Schnipunke mi der -Achse. f) Der Graph von f ha genau wei Wendesellen.

3 Analysis: Eponenialfunkionen Wahleil: (mi GTR und Formelsammlung) W: Für jedes > is eine Funkion f gegeben durch das Schaubild sei K. = ; f() e e Besimme die Gleichungen der Tangene und der Normalen von K im Schnipunk von K mi der y-achse. Zeichne mi dem GTR K sowie Tangene und Normale. Die Tangene und die Normale im Schnipunk von K mi der y-achse schneiden aus der -Achse eine Srecke aus. Für welches wird diese Srecke eremal? Wie groß is dieser Eremwer? W: Gegeben is eine Funkionsschar durch f() e ( e ) = mi > und a) Auf welcher Kurve liegen alle Erempunke? b) Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunke? c) Unersuche die Schaubilder verschiedener Funkionen auf gemeinsame Punke. d) Zeige, dass F() ( ) = e eine Sammfunkion is. Wie groß is der Flächeninhal A der Fläche, die im 4.Quadranen von den Koordinaenachsen und dem Schaubild von f für > eingeschlossen wird? W3: a) Zu jedem is eine Funkion f gegeben mi der Gleichung =, f() ( ) e Das ugehörige Schaubild is die Kurve K. Skiiere für wei selbs gewähle Were die Schaubilder K in einem Koordinaensysem und selle einige gemeinsame Eigenschafen dieser Kurven usammen. b) Die Kurven K + und K besimmen usammen mi der y-achse eine nach rechs unbeschränke Fläche. Zeige, dass der Inhal dieser Fläche endlich is und nich von abhäng. c) Jede Kurve K besi als einige Erempunk einen Hochpunk H. Berechne seine Koordinaen. Auf welcher Kurve liegen die Hochpunke aller Kurven K? Für welche Were von schneide die Kurve Kdie Gerade y =? 3

4 Analysis: Eponenialfunkionen W4: Gegeben is die Funkion f() = (+ ) e mi Ihr Schaubild sei die Kurve K. a) Unersuche K auf Asympoen. Besimme eak die Schnipunke mi den Koordinaenachsen sowie die Erem- und Wendepunke. Zeichne K für,5 5. b) Zeige, dass die Funkion F() = (+ ) e eine Sammfunkion ur Funkion f is. Die Kurve K und die Normale im Wendepunk schließen eine Fläche ein. Berechne eak deren Inhal A. Die Kurve K und die -Achse beranden eine ins Unendliche reichende Fläche. Berechne deren Inhal A c) Gegeben is die Funkion g() = e. Ihr Schaubild sei die Kurve C. Die Kurven K und C schneiden aus der Geraden mi der Gleichung = u (u > ) eine Sehne aus. Berechne u so, dass die Länge der Sehne maimal wird. 4

5 Analysis: Eponenialfunkionen P: a) 4 e 4e + 3= Subsiuion: u= e Lösungen 4± ± u 4u+ 3= u, = = u = 3 und u = ln(3) Rücksubsiuion: e = 3 = ln(3) = e = = ln() = L = { ; ln(3) } b) + + = e e L = { ln } + e e e+ e = e (e+ ) = e = = + e ln + e P: Ausgangsfunkion: f() = e Verschiebung um nach rechs: Spiegelung an der -Achse: g() = e h() = e Verschiebung um 3 nach oben: k() = e + 3 P3: a) b) f() = e + f() = e + e (Produk- und Keenregel) f() = e ln f() = e ln() + e = e (ln() + ) (Produk- und Keenregel) 5

6 Analysis: Eponenialfunkionen P4: a) Für sreb e ; folglich sreb f() Die waagreche Asympoe is y = für b) Skie des Schaubildes und der gesuchen Fläche: A() = (f() )d = (+ e )d = e d= e = e + Für sreb A(). Die gesuche Fläche ha den Inhal,5. P5: a) Die Aussage is richig. An der Selle = - besi die Ableiungsfunkion eine Nullselle mi einem Voreichenwechsel von + nach -, also Hochpunk von f. b) Die Aussage is richig. An der Selle = besi die Ableiungsfunkion eine Nullselle mi einem Voreichenwechsel von nach +, also Tiefpunk von f. c) Diese Aussage kann richig oder falsch sein. Da es unendlich viele Sammfunkionen f() gib, is diese Aussage unenscheidbar. d) Für > gil f () > und daraus folg, dass f für > sreng monoon wächs. Die Aussage is richig. e) Diese Aussage kann richig oder falsch sein. Da es unendlich viele Sammfunkionen f() gib, is diese Aussage unenscheidbar. f) Diese Aussage is richig, da das Schaubild der Ableiungsfunkion wei Eremsellen besi. Diese Eremsellen von f () sind die Wendesellen des Schaubildes von f(). 6

7 Analysis: Eponenialfunkionen W: Schnipunk mi der y-achse: f () = e e = e, also S y (/ e ). Es gil f () = e. Allgemeine Tangenengleichung: y= f(u) ( u) + f(u) Die Berührselle der Tangene is u = : y= f() ( ) + f() Es is () = f Die Tangenengleichung laue y= ( ) + e y= + e Allgemeine Normalengleichung an der Selle u = : y = ( ) + f() f() Die Normalengleichung laue y = ( ) e y e + = + GTR: Für die Berechnung der Srecke der -Achse werden die Schnisellen der Tangene und der Normale mi der -Achse benöig. e Schniselle der Tangene mi der -Achse: + e = = Schniselle der Normale mi der -Achse: + e = = ( e) Srecke auf der -Achse = reche Schniselle linke Schniselle: e s() = ( e) Gesuch is der Eremwer von s() für >. Besimmung mi dem GTR: Die Sreckenfunkion s() wird minimal für = und die minimale Srecke ha eine Länge von 3,44 LE. 7

8 Analysis: Eponenialfunkionen W: f () = e ( e ) = e e Ableiungen: f () = e e und f () = 4e e und f () = 8e e a) Erempunke: Hinreichende Bedingung f() = und f () f () = e e = e (e ) Lösung mi Sa vom Nullproduk: ) ) = e = is nich lösbar e = = ln ln ln ln f 4 (ln ) = 4e e = 4e = 4 = > also relaives Minimum 4 Es is f(ln ) = ( ) = ; Tiefpunk T( ln / ) 4 4 Kurve, auf der alle Tiefpunke liegen (=Orskurve der Tiefpunke): = ln e = = e (e ) y= y= = e is die Orskurve der Erempunke. 4 4 b) Wendepunke: Hinreichende Bedingung f () = und f () f () = e (4e ) Lösung mi Sa vom Nullproduk ) ) = e = is nich lösbar 4e = = ln 4 4 ln 4 ln ln f 6 (ln ) = 8e e = 8e = 8 =, also Wendeselle f(ln ) = ( ) = ; Wendepunk W( ln / ) Kurve, auf der alle Wendepunke liegen (=Orskurve der Wendepunke): = ln e = = 4e y= y= 6e = 3 e Orskurve der Wendepunke. 6 6 c) Schnipunk weier Scharkurven: f () = f* () mi * : e (e ) = e (e *) e (e e + *) = e (* ) = Da sowohl e als auch * is, is die Gleichung nich lösbar. Somi besien wei verschiedene Scharkurven keine gemeinsamen Punke. d) Es gil F () = (e ) e = (e ) e = f(). Dami is F eine Sammfunkion von f. 8

9 Analysis: Eponenialfunkionen Schnipunk von f mi der -Achse: e (e ) = = ln() Um das Inegral richig aufusellen, solle man das Schaubild von f für einen konkreen Parameerwer veranschaulichen: GTR-Schaubild für = : ln ln A = f()d = [ F() ] = (e ) = ( ) + ( ) = ( ) ln W3: a) Skie für = und = und = -: gemeinsame Eigenschafen der Kurven: Jedes Schaubild besi genau einen Hochpunk Jedes Schaubild besi genau einen Wendepunk Jedes Schaubild besi die waagreche Asympoe y = für 9

10 Analysis: Eponenialfunkionen b) Skie der gesuchen Fläche am Beispiel K und K + A() = (f() f ())d = (( )e ( (+ ))e )d = (e e e + e + e )d = e d= e = e + Für sreb A() Dami is geeig, dass der Flächeninhal unabhängig von und endlich is. c) Bedingung für einen Hochpunk: f() = und f () Es gil = + = + f() e ( ) ( e ) e ( ) = + = f() e ( ) Mi dem Sa vom Nullproduk folg + = = + Da in der Aufgabensellung bereis beschrieben is, dass jedes Schaubild genau einen Hochpunk besi, muss der Nachweis mi der.ableiung nich mehr geführ werden. Koordinaen des Hochpunkes: (+ ) f(+ ) = (+ )e = e also H(+ /e ) Orskurve der Hochpunke: = + = ( ) y= e y= e y= e is die gesuche Orskurve Das Schaubild K schneide die Gerade y =, wenn der Hochpunk einen y-wer besi, der is. e e, ln(,) ln(,),69

11 Analysis: Eponenialfunkionen W4: a) Waagereche Asympoe: Für sreb f(), dami is y = die waagreche Asympoe. Schnipunk mi -Achse: f() = (+ ) e = =, also N(-/) Schnipunk mi y-achse: f () = e, also S(/e) Ableiungen: f () = e + (+ ) e ( ) = e f () = e e ( ) = e ( ) = e ( + ) Erempunke: Wendepunke: = = = (Sa vom Nullproduk) f() e f () < H(/e) = + = = (Sa vom Nullproduk)( f () e ( ) Hinreichende Bedingung mi VZW: f (,9) < und f (,) > Beim Durchgang durch = eisier bei f () ein Voreichenwechsel. Dami eisier bei = eine Wendeselle. Wendepunk W(/). Schaubild: b) F() = (+ ) e Nachweis der Sammfunkion erfolg mi Hilfe der Ableiung: F() = e (+ ) e ( ) = e ( + + ) = f() Sammfunkion. und somi is F() die Für die Berechnung der Fläche A wird die Gleichung der Normalen im Wendepunk benöig: Allgemeine Normalengleichung an der Selle u = : y = ( ) + f() f() Es gil: f() = und f() =.

12 Analysis: Eponenialfunkionen Normalengleichung: y = ( ) + y= + A = [(+ ) e (+ )]d = (+ ) e = 3,5 ( e,5+ ) = e 5 c) A () = (+ )e d = ( )e + = (+ )e + e Für sreb A () e A = Berechnung der Sehnenlänge d(u): u u u d(u) = f(u) g(u) = (u+ ) e e = u e mi <u<. Gesuch is das Maimum von d(u): Lösung mi dem GTR: d(u) ha ein lokales Maimum für u = mi d() =. Unersuchung der Randwere: Es is d() = Für u sreb d(u) Da die Randwere keine höheren Were als das lokale Maimum liefern, is bei u = mi d() = auch das absolue Maimum.