t,t Zentrale Klausur am Ende der Einführungsphase l von 6 Mathematik 'f(x) f '(x) zkm (mit CAS) \ ro Aufgabenstellung

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Katarina Böhme
vor 7 Jahren
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1 zkm (mi CAS) Miniserium für Landes Nordrhein-Wesfalen Seie 'les l von 6 Zenrale Klausur am Ende der Einführungsphase 202 Mahemaik Aufgabensellung Aufgabe : Unersuchung ganzraionaler Funkionen Gegeben is die Funkion f mi der Gleichung: f(x)'4= '" -3'* Die Abbildung zeig die Graphen der Funkion 4 f ' und ihrer ersen Ableiung f ' 'f(x) f '(x) / 3-4 r a ro ' ; 'l 2 a -4 Abbildung -3 2 f/ Nur filr den Diensgebrauch! / A

2 Miniserium filr des Landes Nordrhein-Wesfalen zk M (mi CAS) Seie 2 von 6 a') [Jnersuchen Sie anhand des Funkionserms ob der Graph der Funkion f symmeisch is' (2 Punke) b) Aus den Eigenschafen des Graphen der Funkion f ergeben sich Eigenschafen des Graphen der Funkion f' Geben Sie dafür zwei Beispiele an Beziehen Sie sich dabei konkre auf Eigenschafen der beiden Graphen in der Abbildung (4 punke) c) () Weisen Sie rechnerisch nach dass der Graph von f in H(-24) einen lokalen Hochpunk und in r (zl- 4) einen lokalen iefpunk ha (2) Zeichnen Sie in die Abbildung - die Gerade ein die durch die beiden lokalen Exrempunke des Graphen der Funkion f verlöuf und besimmen Sie rechnerisch die Geil""ffi:l?rlr'"""r"ichung der Geraden laue g(") = -2' x l (9 Punke) d) Der Graph der Funkion / ha in zwei Punken P und Q angenen die parallel zu der Geraden aus eilaufgabe c) verlaufen (i) Besrim men Sie die Punke P und P zeichnerisch uner Verwendung des Graphen der Funkion f ' aus der Abbildung Beschreiben Sie lhr Vorgehen (2) Besimmen Sie durch eine Rechnung die genauen Koordinaen der Punke P und Pr (7 Punke) Nur flir den Diensgebrauch!

3 Miniserium für des Landes Nordrhein-Wesfalen zkm (mi CAS) Seie 3 von 6 e) () Der Graph von f wird parallel zu den Koordinaenachsen so verschoben dass der verschobene Graph seinen lokalen Hochpunk im Ursprung ha Zu dem verschobenen Graphen von f gehör eine der drei folgenden Funkionsgleichungen: A f ()=!'*' -2'r' c f(x)=*-'*' rj / 4 4 Überprüfen Sie rechnerisch umwelche Funkionsgleichung es sich handel (2) Ein Schüler ha die Funkionsgleichung g(x) = -2'x D B z f(x)=a'x -9'x' 4 2 (siehe Aufgabeneil c)) uner der Bezeichnung g in seinem CAS abgespeicher und dann die links im Screensho (Abbildung 2) dargeselle Eingabe gemach lr*zi-+*elxj Abbildung 2 rue Erklören Sie anhand der G:eraden die Sie in Abbldung eingezeichne haben warum das CAS des Schülers nach dieser Eingabe die Anwor ue" (also wahr") iefer (6 Punke) Nur für den Diensgebrauch!

4 zkm (mi cas) Miniserium für des Landes Nordrhein-Wesfalen Seie 4 von 6 Aufgabe 2: Kosenfunkion Ein Herseller von Designerleuchen möche ein neues Lampenmodell produzieren Um dami einen Gewinn zu erzielen sell er zunächs Überlegungen zu den Gesamkosen der Produkion und dem Verkaufspreis der Lampen an Die Gesamkosen der Produkion in Abhängigkei von der Sickzahl schäz der Herseller aufgrund seiner bisherigen Erfahrungen mi der Kosenfunkion K ab Der Graph von K is in der Abbildung - dargesell 70 K(x); U(r "/ 60 5noo r / L / x 0 Abbildung ) Die Funkionsgleichung von K is {(x): 05'x - 25'x 'x Dabei bezeichne x' K(x): die Anzahl der produzieren Lampen die Gesamkosen für die Produkion von x Lampen in Euro Mi der Funkion K is es möglich die Aufgabeneile a) bis e) zu beanworen Die Unersu- chungen werden im Folgenden auf den Bereich 0 < x S 0 beschränk d h es sollen nich mehr als 0 Lampen produzier werden Nur flr den Diensgebrauch!

5 ZK M (mi cas) Miniserium für des Landes Nordrhein-Wesfalen Seie 5 von 6 a) Berechnen Sie die Gesamkosen die fr 560 produziere Lampen anfallen (2 Punke) b) Die Kosenfunkion K besiz keine lokalen Exremsellen' [Hinweis: Diese asache sollen Sie nich nachweisen'] Begründen Sie dass diese asache im Sachzusammenhang sinnvoll isf (3 Punke) c) () Besimmen Sie rechnerisch die Wendeselle [Zur Konrolle: x" x* der Kosenfunkion K = 250 ] (2) Fu x > 250 is der Graph der Kosenfunkion K linksgekrümm Erklören Sie die Bedeuung dieser asache im Sochzusammenhang (8 Punke) Aufgrund einer Markanalyse geh der Herseller davon aus dass er jede produziere Lampe zu einem Sückpreis von 450 C verkaufen kann Wenn er x Lampen produzier kann der Herseller also durch die Funkion U mi U(x)= 450x berechnen wie viel Geld er von seinen Kunden insgesam erhäl Dieser Geldberag wird als Umsaz des Hersellers bezeichne d) Der Graph der Umsazfunkion U is in Abbildung dargesell Besimmen Sie aus der Abbildung 7 nöherungsweisebei welchen Produkionsmengen der Herseller einen Gewinn mach und begründen Sie lhr Ergebnis (3 Punke) e) Aus der Umsazfunkion U und der Kosenfunkion K ergib sich die Gewinnfunkion G mi der sich der Gewinn G(x) berechnen läss () Weisen Sie durch eine geeignee Berechnung nach dass für die Funkionsgleichung vön G gil: G("): -05' x3 +25' x2 +752' x -2 (0 < x < 0 G(") in Euro) (2) Ermieln Sie rechnerisch bei welcher Anzahl an produzieren Lampen der moximol Gewinn is' (B Nur fur den Diensgebrauch! Punke)

6 Miniserium für 'des Landes Nordrhein-Wesfalen zkm (mi cas) Seie 6 von 6 Der Lampenherseller denk über den Einsaz anderer Maerialien nach Dies führ zu veränderen Kosen- und Umsazfunkioner Kn" und Unrr Die Graphen dieser veränderen Funkionen sind in der Abbildung 2 dargesell 5noo Kn"u(*) un"r(* Kn"u / 40nn un o 7 x 0 ) 0 20 Abbildung f) 2 Zeichnen Sie in die Abbildung 2 den Verlauf des Graphen der zugehörigen Gewinnfunkion Gn"u im Bereich 0 ( x ( 0 ein Wesenliche Merkmale des Graphen von Gn* sollen in hrer eichnung erkennbar sein (4 Punke) Zugelassene Hilfsmiel : CAS (Compuer-Algebra-Sysem) Mahemaische Formelsammlung Wörerbuch zur deuschen Rechschreibung Nur für den Diensgebrauch!

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