Abituraufgaben Grundkurs 2009 Bayern Analysis I. dt mit D F = R.

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Berndt Schräder
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1 Abiuraufgaben Grundkurs 9 Bayern Analysis I I.). Die Abbildung zeig den Graphen G f einer ganzraionalen Funkion f drien Grades mi dem Definiionsbereich D f R. Die in der Abbildung angegebenen Punke P( ), N ( ), N ( ) und N ( ) sind Punke von G f. a) Geben Sie den Funkionserm von f in der Form f() a (-b)(-c)(-d) an, indem Sie passende Were für a, b, c ε R ermieln. Zeigen Sie, dass sich dieser in der Form f() ³ - 6² schreiben läss. b) Weisen Sie nach, dass N Wendepunk von G f is, und ermieln Sie die Gleichung der zugehörigen Wendeangene. [Zur Konrolle: Tangenengleichung y - ] c) Die Wendeangene schließ mi den Koordinaenachsen ein Dreieck ein. Besimmen Sie die Innenwinkel dieses Dreiecks. Berache wird nun die Inegralfunkion F : a f ( ) d mi D F R. d) Berechnen Sie F(). Was folg daraus für die beiden Flächensücke, die der Graph G f mi der - Achse im I. und im IV. Quadranen einschließ? Begründen Sie Ihre Anwor. Besimmen Sie nun die Summe der Inhale dieser beiden Flächensücke. e) Einer der drei abgebildeen Graphen I, II oder III sell den Graphen von F dar. Geben Sie an, welcher dies is, und begründen Sie Ihre Anwor, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nich in Berach kommen. Graph I Graph II Graph III f) Bekannlich is jede Inegralfunkion der Funkion f auch Sammfunkion von f. Begründen Sie, dass jede Inegralfunkion mindesens eine Nullselle ha. Geben Sie den Term einer Sammfunkion von f an, die keine Inegralfunkion von f is.

2 . In der Medizin wird radioakives Jod- zur Unersuchung der Schilddrüse eingesez. Kurze Zei nach der Verabreichung dieser Subsanz an den Paienen wird die von der Subsanz ausgehende Srahlung gemessen, wodurch Rückschlüsse auf den Zusand der Schilddrüse möglich sind. Durch radioakiven Zerfall verringer sich die Subsanzmasse. Die im Körper des Paienen noch vorhandene Masse m des verabreichen Jod läss sich durch den Term k m() m e mi k > beschreiben. Dabei gib m die zum Zei-punk verabreiche Jodmasse an; is die Maßzahl der sei Verabreichung vergangenen Zei in Sunden. a) Nach einer Zei von, Sunden is nur noch die Hälfe der verabreichen Jodmasse vorhanden. Besimmen Sie hieraus den Wer des Parameers k. [Zur Konrolle: k, 55 ] b) Wie viel Prozen der verabreichen Jodmasse sind vier Sunden nach Verab-reichung im Körper des Paienen noch vorhanden? Wie lange dauer es, bis 9 % der verabreichen Jodmasse zerfallen sind?

3 Lösung der Abiuraufgabe Grundkurs 9 Bayern Analysis I (verfass von Reinhard Seidl) I.). Die Abbildung zeig den Graphen G f einer ganzraionalen Funkion f drien Grades mi dem Definiionsbereich D f R. Die in der Abbildung angegebenen Punke P( ), N ( ), N ( ) und N ( ) sind Punke von G f. a) Geben Sie den Funkionserm von f in der Form f() a(b)(-c)(-d) an, indem Sie passende Were für a, b, c ε R ermieln. Zeigen Sie, dass sich dieser in der Form f() ³ - 6² schreiben läss. In der gegebenen Form sind die Nullsellen bei b, c und d, weil dann die jeweilige Klammer gleich, und dami das gesame Produk gleich wird. Sez man die gegebenen Nullsellen ein, so erhäl man: f ( ) a ( ) ( ) ( ) f ( ) a ( ) ( ) f ( ) a ( 6 ) Um den Wer von a zu ermieln, sez man die Koordinaen von P( ) ein: ( 6 ) a a ( 6 ) a a Die gesuche Funkion laue daher: f ( ) 6 (was zu zeigen war) b) Weisen Sie nach, dass N Wendepunk von G f is, und ermieln Sie die Gleichung der zugehörigen Wendeangene. [Zur Konrolle: Tangenengleichung y - ] Um Wendepunke zu besimmen, benöig man die. Ableiung. ( ) 6 ' ( ) '' f f ( ) 6 f ( ) 6 ''' f, also is die hinreichende Bedingung für WP erfüll Sez man nun f (), so ergib sich 6 und dami Der Punk ( ), also N is ein Wendepunk. Für die Wendeangenengleichung benöig man zunächs die Seigung in WP, also bei ( ) ' f vorläufige Tangenengleichung: y - b Zur Besimmung von b sez man die Koordinaen von WP( ) ein: b b Daher laue die Wendeangene: y - (wie angegeben)

4 c) Die Wendeangene schließ mi den Koordinaen-achsen ein Dreieck ein. Besimmen Sie die Innenwinkel dieses Dreiecks. Die Wendeangene bilde mi den Koordinaenachsen ein rechwinkliges Dreieck mi den Kaheenlängen (Nullselle) und (y-achsenabschni). Der Schniwinkel mi der -Achse ergib sich aus der Seigung der Wendeangene y -. Sie ha die Seigung m an(α) -. Daraus ergib sich der Schniwinkel mi der -Achse: an(α) - α 75,76 Da der Winkel beim Ursprung 9 is, is der Schniwinkel mi der y-achse β 9-75,76, also β,. Berache wird nun die Inegralfunkion d f F ) ( : a mi D F R. d) Berechnen Sie F(). Was folg daraus für die beiden Flächensücke, die der Graph G f mi der - Achse im I. und im IV. Quadranen einschließ? Begründen Sie Ihre Anwor. Besimmen Sie nun die Summe der Inhale dieser beiden Flächensücke. () ( ) d F 6 6 Dann is F() 6 F() 6 6 () Wenn das Inegral gleich is, bedeue das, dass die Fläche oberhalb der -Achse ( posiive Fläche ) und die Fläche unerhalb der -Achse ( negaive Fläche ) gleich groß sind, da sich die beiden Flächen wegen der unerschiedlichen Vorzeichen gegeneinander aufheben. Fläche oberhalb der -Achse A : (von bis ) A ( ) E F A Da die Fläche unerhalb der -Achse dann ebenfalls F.E. ha, is die Summe der Inhal der beiden Flächensücke gleich F.E.

5 e) Einer der drei abgebildeen Graphen I, II oder III sell den Graphen von F dar. Geben Sie an, welcher dies is, und begründen Sie Ihre Anwor, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nich in Berach kommen. Graph III Graph I Graph II Graph III Komm nich infrage, weil er eine Funkion 6. Grades darsell (5 Erema). Die Ableiung wäre dann eine Funkion 5. Grades. Da aber f() (die Ableiung von F()) nur. Grades is, komm der Graph III nich infrage. Graph I Komm nich infrage, weil er im Inervall ] - ; [ posiive Seigung ha, der Ableiungsgraph f() zeig aber im Inervall ] - ; [ negaive Seigung an (d.h. er verläuf unerhalb der - Achse) und im Inervall ] ; [ posiive Seigung an, d.h. er verläuf oberhalb der -Achse. Also komm nur der Graph II als Sammfunkion F() infrage. f) Bekannlich is jede Inegralfunkion der Funkion f auch Sammfunkion von f. Begründen Sie, dass jede Inegralfunkion mindesens eine Nullselle ha. Geben Sie den Term einer Sammfunkion von f an, die keine Inegralfunkion von f is. I a ( ) f ( ) d F( ) F( a) a Für a is dieses Inegral also F(a) F(a) ha also bei a eine Nullselle F ( ) Schieb man diese Funkion jez um r nach oben, so ha F() keine Nullsellen mehr und is daher keine Inegralfunkion mehr. Also: F ( ) r is keine Inegralfunkion von f().

6 . In der Medizin wird radioakives Jod- zur Unersuchung der Schilddrüse eingesez. Kurze Zei nach der Verabreichung dieser Subsanz an den Paienen wird die von der Subsanz ausgehende Srahlung gemessen, wodurch Rückschlüsse auf den Zusand der Schilddrüse möglich sind. Durch radioakiven Zerfall verringer sich die Subsanzmasse. Die im Körper des Paienen noch vorhandene Masse m des verabreichen Jod läss sich durch den Term k m() m e mi k > beschreiben. Dabei gib m die zum Zei-punk verabreiche Jodmasse an; is die Maßzahl der sei Verabreichung vergangenen Zei in Sunden. a) Nach einer Zei von, Sunden is nur noch die Hälfe der verabreichen Jodmasse vorhanden. Besimmen Sie hieraus den Wer des Parameers k. [Zur Konrolle: k,55] Es muss gelen: m m e k, beide Seien durch m dividieren k, ln(,5) ln(,5) e beide Seien logarihmieren k, ln( e) da ln(e) is k, : (-, ) ln(,5) k,555,55 (simm mi der angegebenen Lösung überein), b) Wie viel Prozen der verabreichen Jodmasse sind vier Sunden nach Verab-reichung im Körper des Paienen noch vorhanden? Es is gegeben, dass Sd. is. m () m () m e m e,55, m ( ) m,56 Nach Sunden sind also noch ca.,6 % des Jods vorhanden.

7 Wie lange dauer es, bis 9 % der verabreichen Jodmasse zerfallen sind? Wenn 9% zerfallen sind, sind noch % vorhanden.,55, m m e geeil durch m,55, e beide Seien logarihmieren ln(,),55 ln( e) ln(e) ln(,), 55 beide Seien : ( -,55) ln(,), 55,5766,6 Sd ( ca. Sd. 5 min s ) Nach ca. Sunden sind 9 % des Jods zerfallen.

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