Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2011

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1 Karlsruher Insiu für Technologie KIT) Insiu für Analysis Dr. A. Müller-Rekowski Dipl.-Mah. M. Uhl Sommersemeser Höhere Mahemaik II für die Fachrichungen Elekroingenieurwesen und Physik inklusive Komplee Analysis und Inegralransformaionen Lösungsvorschläge zum 4. Übungsbla Aufgabe a) Den Graphen von f bzw. g ennehmen wir { { für [, ] für [, ] f) = und g) = Die Falung von f und g is nach Definiion gegeben durch fτ)g τ) dτ, R. R). Offenbar is für <. Zur Berechnung von f g)) für unerscheiden wir folgende Fälle:. Fall: Für [, ) ergib sich mi der Subsiuion r := τ, dr = dτ g τ) dτ = gr) dr = dr =.. Fall: Für [, 4) ergib sich abermals mi der Subsiuion r := τ, dr = dτ g τ) dτ +. Fall: Für 4 ergib sich g τ) dτ = g τ) }{{} dτ + =, da τ gr) dr = dr + g τ) dτ =. dr = 8. Insgesam haben wir für [, ) 8 für [, 4) = { 4 für [, 4), R. f g) 4 4

2 b) Hier sind { für [, ] f) = { für [, 4] und g) = R). Wiederum gil für <. Um die Falung fτ)g τ) dτ für zu berechnen, führen wir eine Fallunerscheidung durch:. Fall: Für [, ) gil fτ) g τ) }{{} dτ =. =, da τ <. Fall: Für [, 4) ergib sich mi der Subsiuion r := τ, dr = dτ g τ) dτ = gr) dr = dr =.. Fall: Für [4, 5) ergib sich erneu mi der Subsiuion r := τ, dr = dτ 4. Fall: Für 5 ergib sich g τ) dτ = gr) dr = 4 g τ) }{{} dτ =. =, da τ 4 dr = 5. Zusammenfassend haben wir für [, 4) 5 für [4, 5) f g) = { 4 für [, 5), R. 5 Aufgabe Um eine Funkion f Z mi f) = + fτ) sin τ) dτ für alle anzugeben, schreiben wir die reche Seie mi Hilfe der Falung f) = + f h sin)))

3 und wenden die Falungsregel. an. Für s C mi hinreichend großem Res) gil L f)s) = L h))s) + L f h sin))s) = L h))s) + L f)s) L h sin)s). Hieraus folg wegen h) bzw. äquivalen dazu! s + = 6 s 4 und sin)h) s + L f)s) = 6 s 4 + L f)s) s + L f)s) = s + s 6 s 4 = 6 s s 6. Schließlich erhalen wir mi 5 h) 5! s 6 für Res) > ) für Res) > ) L f)s) ) s = 6 + s 4 L f)s) h) + 6 5! 5 h) = + 5 /) h), also f) = + 5 ) h), R. Somi lös y) := + 5,, die gegebene Gleichung. Aufgabe a) i) Der Ansaz für eine Parialbruchzerlegung riche sich nach den Nullsellen des Nennerpolynoms = ) = + ) ). Diese sind,,. Jede dieser Nullsellen is einfach. Demzufolge laue der Ansaz der Parialbruchzerlegung + = + + ) ) = A + B + + C. Um die Koeffizienen A, B, C zu ermieln, haben wir verschiedene Möglichkeien.. Möglichkei: Wir muliplizieren obige Gleichung mi dem Haupnenner + ) ) + = A + ) ) + B ) + C + ) und sezen die Nullsellen des Nennerpolynoms ein = : = A A = / = : = B B = / = : 5 = 6C C = 5/6. Möglichkei: Um A, den Koeffizienen des zur Nullselle λ = gehörenden Terms, zu ermieln, muliplizier man + +) ) mi λ = und bilde dann den Grenzwer λ, also. Formal ausgedrück bedeue dies ) + A = lim + ) ) + = lim + ) ) = =. Ensprechend kann man für B und C verfahren ) + B = lim + ) + ) ) ) + C = lim ) + ) ) + = lim = ), + = lim = 5 + ) 6. Mi den Koeffizienen A = /, B = / sowie C = 5/6 ergib sich + = + + ) ) = + ) ).

4 ii) Wiederum müssen zunächs die Nullsellen des Nennerpolynoms besimm werden. Durch scharfes Hinsehen erkennen wir, dass eine solche is. Polynomdivision liefer + = ) + ), und wegen ) = ) + ) ergib sich + = ) + ). Dami is eine einfache Nullselle und eine doppele Nullselle des Nennerpolynoms. Der Ansaz für eine Parialbruchzerlegung is daher + = ) + ) = A + Nach Muliplikaion mi ) + ) is B + ) + C + ). = A + ) + B + ) ) + C ) = A + + ) + B ) + C ). Sezen wir die Nullsellen und hierin ein, erhalen wir = : = C C = / = : = 4A A = /4 Um B zu besimmen, können wir einen beliebigen anderen Wer für einsezen. Wir wählen =, weil dann die linke Seie der Gleichung verschwinde: = A B C = 4 B B = 4. Alernaiv können wir zur Besimmung von A, B, C auch einen Koeffizienenvergleich durchführen, der auf ein lineares Gleichungssysem führ : = A + B : = A + C : = A B C beziehungsweise geschrieben mi Hilfe der zugehörigen erweieren Mari /4... /4. / Jedenfalls liefern beide Alernaiven A = /4, B = /4, C = /. Folglich is + = ) + ) = 4 ) 4 + ) + + ). iii) Offenbar is eine Nullselle des Nennerpolynoms 8. Mi Hilfe der Polynomdivision + 8) : ) sehen wir 8 = ) + + 4). Das Polynom ha die beiden nichreellen Nullsellen + i und i. Dami laue der Ansaz für die komplee) Parialbruchzerlegung 8 = ) + i)) i)) = A + B + i) + C i). Nun müssen wir die Koeffizienen A, B, C besimmen. Hierzu muliplizieren wir obige Gleichung mi dem Haupnenner ) + i)) i)) durch = A + i)) i))+b ) i))+c ) + i)). 4

5 Einsezen der Nullsellen des Nennerpolynoms ergib Hieraus folg = : = A i) + i) = A, = + i : i = B + i) i) = 6B + i), = i : + i = C i) i) = 6C i). A = /6, B = 6 i + i = 6 i) + C = 6 + i i = 6 + i) + = + = i, i. Als Endergebnis für die komplee Parialbruchzerlegung erhalen wir 8 = 6 + i + i) + i i). + b) i) Wegen + ) + ) = + ) + ) = + ) + i ) i ) sind eine dreifache Nullselle und + i bzw. i jeweils eine einfache Nullselle des Nennerpolynoms. Deshalb laue der Ansaz für die komplee) Parialbruchzerlegung ii) Aufgabe 4 + ) + ) = A + + B + ) + C + ) + D + i Ergebnis: A = 9, B =, C =, D = 9, E = 9. + E i Es gil: 6 = 4 ) = ) +) = )+) i)+i). Also is eine doppele Nullselle, während die Nullsellen,, i, i jeweils einfach sind. Der Ansaz für die komplee) Parialbruchzerlegung is 6 = A + B + C + D + + E i + Ergebnis: A =, B =, C = 4, D = 4, E = 4 i, F = 4 i. a) Parialbruchzerlegung liefer s = s ). s + F + i. Wegen s = L h)s ) = L e h))s) für Res) > und s+ L e ) h))s) für Res) > erhalen wir für Res) > s e e )h) = sinh)h). Alernaiv: Nach der Falungsregel gil für Res) > s = s s + = L g )s) L g )s) = L g g )s) = L h)s + ) = wobei g ) := e h) und g ) := e h) gesez seien. Also fanden wir mi der Falung g g eine Funkion mi L g g )s) = s. Nun müssen wir nur noch g g berechnen. Für < is g g )) = und für is g g )) = g u)g u) du = = e e u) e u e u du = e e u du u= = e e ) = sinh). 5.

6 b) Mi Hilfe der Parialbruchzerlegung erkennen wir für Res) > s + s = ss + ) = / s / s + s + s = L h)s) L e h))s) = L )h)) e s). Alernaiv: Wir können den b)-teil auch lösen, indem wir die Dämpfungsregel auf das Resula des a)-teils anwenden. Es gil nämlich für alle s C mi Res) > s + s = = L s + ) e e e )h) a) = L sinh)h) ) s + ) = L e sinh)h) ) s) ) ) s) = L e )h) s). c) Der Ansaz s + s + 4s = s + s s + 4) = A s + B s + C s + 4 führ auf A = 6, B = 4, C = 6. Dami gil für alle s C mi Res) > s + s + 4s = 6 s + 4 s 6 s e 4 )h). d) Es sei a > fes gewähl. Der Ansaz einer kompleen) Parialbruchzerlegung laue s + a ss + a ) = s + a ss ia)s + ia) = A s + B s ia + C s + ia bzw. s + a = As ia)s + ia) + Bss + ia) + Css ia). Einsezen der Nullsellen des Nennerpolynoms liefer Demzufolge is für Res) > s = : a = Aa A = a, s = ia : ia + a = Ba B = +i a, s = ia : ia + a = Ca C = i a. s + a ss + a ) = a s + i a s ia i a s + ia = a L h)s) + i a L eia h))s) i a L e ia h))s) = L a h) + i a eia h) i ) a e ia h) s) = L a h) eia + e ia ) + i eia e ia ) )) s) = L a h) cosa) + sina) )) s). 6

7 Aufgabe 5 Wir verwenden Saz aus 9.: Sei f Z eine Funkion mi dem Wachsumskoeffizienen σ. Gil f) F s), dann is F in {s C Res) > σ } holomorph mi F s) = e s f) d, d.h. Deshalb is f) = L F )) für >. f) F s). a) Für s R mi s > a sei F s) := ln s+a s a+a s a ) = ln s a ) = ln + a s a ). Dann is F s) = + a s a Dami erhalen wir für a s a) = a s a) + as a) = a s a)s + a) = s a + s + a e a + e a ) h). f) = L F )) = ea e a ) h) = sinha) b) Für F s) := arcan a s ), s, ), ergib sich F s) = Hieraus folg f) = sina) h),. a + a/s) s = a s + a sina) h). h). c) Is F s) := ln a ) = ln a s s ) + a s )) = ln a s ) + ln + a s ) für s R mi s > a gesez, so erhäl man F s) = a s as a s + as = a ss a) a ss + a) = s + s a s + s + a = s + s a + s + a + e a + e a ) h) = + cosha)) h). Für f) := cosha) h),, gil somi f) ln a s ). Aufgabe 6 a) Aus der Vorlesung kennen wir die Ideniä L f n) )s) = s n L f)s) s n f+) s n f +)... f n ) +) ) = s n L f)s) s n f) s n f )... f n ) ) für eine n-mal seig differenzierbare Funkion f [Insbesondere sind dann f, f,..., f n ) rechsseiig seig in, woraus die Gleichhei in ) folg.], die höchsens von eponeniellem Wachsum is, und s C mi hinreichend großem Res). Speziell für n =, haben wir L f )s) = s L f)s) f) und L f )s) = s L f)s) sf) f ). ) Da die Anfangswere y) und y ) vorgegeben sind, können wir obiges Resula nich direk anwenden. Deshalb besimmen wir zunächs eine Funkion u mi u ) + 4u ) + u) =, u) = 7, u ) =. Dann gewinnen wir eine Lösung y des ursprünglichen Anfangswerproblems durch Verschieben von u, indem wir y) := u ) sezen. Für eine Lösung u des Problems u ) + 4u ) + u) = mi den Anfangsweren u) = 7 und u ) = bedeue ) L u )s) = s L u)s) 7 und L u )s) = s L u)s) 7s. 7

8 Somi ergib sich s = L h)s) = L u + 4u + u)s) = s L u)s) 7s ) + 4s L u)s) 7) + L u)s) = s + 4s + )L u)s) 7s 9, also L u)s) = s 7s ) = 7s + 9s + + 4s + s ss + )s + ). Um eine Funkion anzugeben, deren Laplaceransformiere gleich 7s +9s+ ss+)s+) eine Parialbruchzerlegung durch. Hierzu machen wir den Ansaz is, führen wir 7s + 9s + ss + )s + ) = A s + B s + + C s +. Muliplizieren wir diese Gleichung mi s und sezen s = ein, so folg A = = 4. Muliplikaion mi s + und Einsezen von s = liefer B = = 5, und ganz analog erhäl man schließlich noch C = 6 =. Dami gil und wir haben eine Lösung u gefunden: Es is L u)s) 4 + 5e e ) h), u) = 4 + 5e e,. Somi lös y) := u ) = 4 + 5e + e +9,, das ursprüngliche Problem. b) Wegen y) = y ) = erhäl man hier L y )s) = s L y)s) und L y )s) = s L y)s) für hinreichend große Res), und mi y ) = ergib sich Insgesam ha man also und dies führ auf L y )s) = s L y)s) s y) sy ) y ) = s L y)s). s = L h)s ) = L e h))s) = L y y + y y)s) = s L y)s) ) s L y)s) + s L y)s) L y)s) = s s + s )L y)s) = s ) L y)s), L y)s) = Für jedes n N {} gil bekannlich und mi der Dämpfungsregel folg s ) + ) = s s ) + s ) 4. L n h))s) = n! s n+ Res) > ), s ) n+ = n! L n h))s ) = n! L e n h))s) Res) > ). Hiermi bekommen wir L y)s) = L e h))s) + 6 L e h))s) = L e h) / + /6) ) s), d.h. eine Lösung des Anfangswerproblems is y) = e / + /6),. 8

9 c) Man erhäl mi c := y ) für s C mi hinreichend großem Res) Dami ergib sich L y )s) = s L y)s) 6 und L y )s) = s L y)s) 6s c. 6 s + ) = L 6e h))s) = L y + y + y)s) = s L y)s) 6s c) + s L y)s) 6) + L y)s) = s + s + )L y)s) 6s c. Für eine Lösung y der Differenialgleichung mi y) = 6 und y ) = c ha man also ) 6 6s + ) + c L y)s) = s 6s + c s + s + ) = s + ) + s + ) 4 Uner Verwendung von = 6 s + + c + 6 s + ) + 6 s + ) 4. s + ) n+ = n! L n h))s + ) = n! L e n h))s) Res) >, n N {}) schließ man L y)s) = 6 s + + c + 6 s + ) + 6 s + ) 4 6e + c + 6)e + e )h), d.h. y) = 6 + c + 6) + )e,. Bei dieser Funkion gil y) = + c)e, und für c = wird die Bedingung y) = /e erfüll. Eine Lösung des Problems is demzufolge Aufgabe 7 y) = )e,. Wende man auf die reche und linke Seie der Gleichung y ) 4y ) + 4y) = δ ) + δ ) die Laplaceransformaion an und berücksichig die Were y) =, y ) =, so bekomm man für s C mi hinreichend großem Res) s Y s) s 4sY s) ) + 4Y s) = e s + e s Dabei sei Y s) := L y)s) gesez. Nun is s 4s + 4)Y s) = s + e s + e s Y s) = s s ) + e s s ) + e s s ). s s ) = s s ) s ) e e )h) = )e h). Für f) := e h), R, gil nach der Dämpfungsregel L f)s) = L h))s ) = s ) alle s C mi Res) >. Mi der Verschiebungsregel ergib sich e s s ) = e s L f)s) = L f ))s) bzw. Daher is für e s s ) = e s L f)s) = L f ))s). e s s ) + e s s ) f ) + f ) = )e ) h ) + )e ) h ). Zusammen folg Y s) )e h) + )e ) h ) + )e ) h ). Nach einer Probe sieh man, dass y) := )e h)+ )e ) h )+ )e ) h ), R, das gegebene Problem im Sinne von 4. der Vorlesung lös. 9