7 Das lokale Ito-Integral

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1 7 Das lokale Io-Inegral 7.3 Ein lokales L p -Maringal is uner einer gleichgradigen Inegrierbarkeisbedingung ein L p -Maringal 7.4 Rechsseiig seiges (seiges), lokales L p -Maringal 7.5 Seige, lokale Maringale sind lokale L p -Maringale 7.7 Λ(M) enhäl die seigen, adapieren Prozesse für seiges M 7.8 Geeignee Folgen von Soppzeien für lokale Maringale ]0,τ] X dm = 1 ]0,τ] X dm τ 7.12 Gleichhei von Inegralprozessen bzgl. M τ und M σ 7.14 τ n σ n is eine lokalisierende Folge für (X, M) und (Y, N) 7.16 Einfache Eigenschafen des lokalen Io-Inegrals 7.17 Subsiuion beim lokalen Io-Inegral 7.18 Lokalbeschränke, previsible Prozesse sind lokal Io-inegrierbar 7.23 Das sochasische Inegral als Limes von Zwischensummen 7.24 Lokale Io-Inegrale bzgl. αm + βn In diesem Paragrafen werden wir das Io-Inegral von Λ 2 (µ M ) auf eine größere Klasse von Sochasischen Prozessen ausdehnen. Gleichzeiig werden wir die Voraussezung, dass (M ) 0 ein rechsseiig seiges L 2 (P )-Maringal is, abschwächen können. Wir benöigen nur ein rechsseiig seiges, lokales L 2 (P )-Maringal. Hierzu definieren wir 7.1 Lokalisierende Folge von Soppzeien Eine aufseigende Folge von Soppzeien (τ n ) n N heiß eine lokalisierende Folge von Soppzeien, wenn τ n (ω) n für ω Ω. Sind (τ n ) n N und(σ n ) n N zwei lokalisierende Folgen, so is auch (τ n σ n ) n N eine lokalisierende Folge. Wir kommen nun zum Begriff des lokalen Maringals. C3NEU 1

2 Finanzmahemaik II 7.2 Lokale L p -Maringale Sei (Ω, A, P ) ein W-Raum, p 1 und (A ) 0 eine Filraion. Ein reellweriger Prozess (M ) 0 heiß ein lokales L p -Maringal bzgl. (A ) 0, wenn gil: M 0 is A 0 -messbar. (ii) Es exisier eine lokalisierende Folge von Soppzeien (τ n ) n N, so dass M (τn) := (M τn M 0 ) 0 ein L p -Maringal bzgl. (A ) 0 für jedes n N is. Hierbei is M τn := M τn. Eine solche lokalisierende Folge von Soppzeien, nennen wir eine für das lokale L p -Maringal (M ) 0, geeignee Folge von Soppzeien. Ein lokales L 1 -Maringal, nenn man auch einfach lokales Maringal. Is 1 q < p, so is jedes lokale L p -Maringal ein lokales L q -Maringal, insbesondere also ein lokales Maringal. Man beache, dass ein lokales L p -Maringal (M ) 0 ein bzgl. (A ) 0 adapierer Prozess is. Zunächs is M 0 A 0 -messbar nach 7.2. Is > 0, so gil wegen τ n (ω) für n ω Ω M M 0 = lim τ n n M 0 ]. Da M τn M 0 A -messbar is, is auch M M 0 und somi M A -messbar. Es is nach Definiion M (τn) = (M τn M 0 ) 0 = (M τn M 0 ) 0. Is M 0 A 0 -messbar und M M 0 für > 0, so is nach Definiion (M ) 0 ein lokales L p -Maringal für jedes p 1. Die obige Definiion mi M (τn) an Selle von M τn = (M τn ) 0 is dadurch moivier, dass man z.b. bei sochasischen Differenialgleichungen keine Inegrierbarkeisvoraussezung an die Variable M 0 sellen möche. Außerdem zeig Saz 6.22 (iii), dass es für die sochasische Inegraion sowieso nur auf (M M 0 ) 0 ankomm. Is (M ) 0 ein L p -Maringal bzw. (A ) 0, so is (M M 0 ) 0 ein L p -Maringal bzgl. (A ) 0 und M 0 A 0 -messbar. Durch Wahl der lokalisierenden Folge τ n n erkenn man, dass somi (M ) 0 auch ein lokales L p -Maringal bzgl. (A ) 0 is. Bei der Definiion eines lokalen L 1 -Maringals darf man auch fordern, es gib eine lokalisierende Folge von Soppzeien, so dass M (τn) für jedes n ein gleichgradig inegrierbares Maringal bzgl. (A ) 0 is: Sei nämlich (τ n ) n N eine lokalisierende Folge, so dass für jedes n N (M τn M 0 ) 0 ein L 1 -Maringal bzgl. (A ) 0 is. Man berache nun die lokalisierende Folge σ n := τ n n, dann is (M σn M 0 ) 0 ein L 1 - Maringal bzgl. (A ) 0 für jedes n N. Es gil nämlich M σn M 0 = M τ n n M 0 L 1 und (1) M σn M 0 = E(M σn M 0 A ). Zu (1): Is n, so is wegen σ n = τ n, σ n = τ n n und der Maringalgeigenschaf von (M τn M 0 ) 0 2 C3NEU

3 Die Brownsche Bewegung M σn M 0 = M τn M 0 = E(Mn τn M 0 A ) = E(M σn M 0 A ). Is > n, so is σ n = (τ n n) = τ n n = σ n und daher is M σn M 0 = Mn τn M 0 A n messbar und daher auch A -messbar. Also is M σn M 0 = E(M σn M 0 A ) = E(M σn M 0 A ). Nach 4.5 is daher (M σn M 0 ) 0 wegen (1) auch gleichgradig inegrierbar. 7.3 Ein lokales L p -Maringal is uner einer gleichgradigen Inegrierbarkeisbedingung ein L p -Maringal (ii) (iii) Sei (M ) 0 ein lokales L p -Maringal bzgl. (A ) 0 mi geeigneer lokalisierender Folge (τ n ) n N. Is dann für jedes 0 (G) { M τn p : n N} gleichgradig inegrierbar, so is (M ) 0 ein L p - Maringal bzgl. (A ) 0. Is (M ) 0 ein rechsseiig seiges L p -Maringal bzgl. (A ) 0, so is für jedes 0 und jede lokalisierende Folge(τ n ) n N { M τn p : n N} gleichgradig inegrierbar. Is (M ) 0 ein rechsseiig seiges, lokales L p -Maringal bzgl. (A ) 0, so is für jede Soppzei τ auch (M τ ) 0 (und dami auch (M τ M 0) 0 ) ein rechsseiig seiges, lokales L p -Maringal bzgl. (A ) 0. Beweis. Für = 0, erhalen wir aus (G), dass M 0 L p is. Da (M τn M 0 ) 0 ein L p -Maringal bzgl. (A ) 0 is, is wegen M 0 L p somi auch (M τn ) 0 ein L p -Maringal bzgl. (A ) 0. Nun gil für jedes 0 (1) M τn n M, da τ n (ω) = für genügend große n is. Aus (1) und (G) folg daher nach 4.20 (2) M L p, E( M τn M p ) n 0. Sei nun A A s und s <, dann gil, da (M τn ) 0 ein Maringal bzgl. (A ) 0 is: (3) A M τ n dp = A M τ n sdp. Aus (2) folg (4) 1 A (M τn M ) 1 1 A (M τn M ) p (2) n 0, (2) (5) 1 A (M τn s M s ) 1 1 A (M τn s M s ) p 0. n Aus (4) und (5) folgen A M τ n τ dp n A M dp und A M τ n sdp n A M sdp. Zusammen mi (3) ergib sich (6) A M dp = A M sdp für A A s. Da M A -messbar und M L p nach (2) is, folg mi (6), dass (M ) 0 ein L p - Maringal bzgl. (A ) 0 is. C3NEU 3

4 Finanzmahemaik II (ii) Berache für feses das Sysem {τ i : i N} der aufseigenden Soppzeien. Dann is { M τi p : i N} nach 4.39 gleichgradig inegrierbar. (iii) Sei (τ n ) n N eine lokalisierende Folge für das lokale L p -Maringal M. Wir zeigen (τ n ) n N is auch eine lokalisierende Folge für M τ. Hierzu bleib nach Definiion 7.2 (wegen (M τ ) (τn) = [M (τn) ] τ ) zu zeigen: Is M ein rechsseiig seiges L p -Maringal bzgl. (A ) 0, so is auch M τ = (M τ ) 0 ein L p -Maringal bzgl. (A ) 0. Dies folg nach 4.39 (ii). In 7.3 (iii) haen wir schon den folgenden Begriff benuz 7.4 Rechsseiig seiges (seiges), lokales L p -Maringal Ein lokales L p -Maringal heiß rechsseiig seig (seig), wenn für alle ω Ω [0, [ M (ω) rechsseiig seig (seig) is. Is (M ) 0 ein seiges, lokales Maringal, dann gib es eine lokalisierende Folge für M = (M ) 0, so dass M ein lokales L p -Maringal für jedes p 1 is. Genauer gil 7.5 Seige, lokale Maringale sind lokale L p -Maringale Es sei (M ) 0 ein seiges, lokales Maringal bzgl. (A ) 0. Seze τ n := inf{ 0 : M M 0 n} für n N. Dann is (τ n ) n N eine geeignee, lokalisierende Folge für das lokale Maringal (M ) 0 und (M τn M 0 ) 0 is für jedes n N gleichmäßig beschränk und insbesondere also ein seiges L p -Maringal für jedes p 1. Daher is (M ) 0 ein seiges, lokales L p -Maringal bzgl. (A ) 0 für jedes p 1. Beweis. Nach 4.27, angewand auf die abgeschlossene Menge A := [n, [ undx := M M 0, sind τ n für alle n N Soppzeien mi τ n (ω) τ n+1 (ω). Da [0, [ M (ω) M 0 (ω) seig is, und daher auf beschränken Inervallen beschränk is, gil τ n (ω). Die gleichmäßige Beschränkhei folg, da wegen der linksseiigen Seigkei von M gil (1) M (ω) M 0 (ω) n für alle τ n (ω). Zu zeigen bleib wegen (1), für jedes n N gil: (2) (M τn M 0 ) 0 is ein Maringal bzgl. (A ) 0. Nach 4.29 is M τn A τn -messbar, und daher, wegen A τn A, auch A -messbar. Somi is (M τn M 0 ) 0 bzgl. (A ) 0 adapier und wegen (1) auch inegrierbar. Nach 4.30 reich es für jede beschränke Soppzei τ zu zeigen (3) E(M τn τ M 0 ) = 0. Sei nun (σ n ) n N eine geeignee lokalisierende Folge für (M ) 0. Es is also nach Definiion (M σk M 0 ) 0 ein (seiges) Maringal bzgl. (A ) 0, und nach 4.30 gil daher, da τ n τ eine beschränke Soppzei bzgl. (A ) 0 is: 4 C3NEU

5 (4) E(M σk τ n τ M 0 ) = 0. Die Brownsche Bewegung Nun gil M σk τ n τ M 0 k M τn τ M 0, und wegen (1) is auch M σk τ n τ M 0 n. Hieraus folg mi (4) und dem Saz von der beschränken Konvergenz (3). Das sochasische Inegral soll nun bzgl. rechsseiig seiger, lokaler L 2 -Maringale eingeführ werden; nach 7.5 können wir dami insbesondere bzgl. seiger, lokaler Maringale inegrieren. Genauer gesag, haben wir bisher sochasische Inegrale der Form 0 X dm berache, wobei der Inegraor M ein rechsseiig seiges L 2 -Maringal und X Λ 2 (µ M ) is. Als abschließende Ausdehnung berachen wir ein sochasisches Inegral für den Fall wo Inegraor und Inegral diese Eigenschaf nur lokal besizen. Sa also (M ) 0 als rechsseiig seiges, L 2 -Maringal voraussezen, nehmen wir nun ab jez nur an, dass (M ) 0 ein rechsseiig seiges, lokales L 2 -Maringal is. Is (τ n ) n N eine geeignee, lokalisierende Folge für M, so schreiben wir wieder M (τn) := (M τn M 0 ) 0. Wir definieren nun die zu M gehörige Klasse der Inegranden: 7.6 Die Klasse Λ(M) Sei (M ) 0 rechsseiig seig. Es bezeichne Λ(M) die Klasse aller (X ) >0 für die es eine lokalisierende Folge (τ n ) n N von Soppzeien gib, so dass für jedes n N gil: M (τn) = (M τn M 0 ) 0 is ein L 2 -Maringal bzgl. (A ) 0 ; 1 ]0,τn]X Λ 2 (µ M (τn)). Eine solche Folge von Soppzeien, heiß eine lokalisierende Folge für (X, M). Is X Λ(M), so is wegen τ n (ω) und 1 ]0,τn]X P 0 -messbar, auch X = lim 1 ]0,τ n n]x P 0 -messbar. Ferner is in 7.6 nach Definiion (M ) 0 ein rechsseiig seiges lokales L 2 -Maringal. Im Folgenden zeigen wir, dass seige, adapiere Prozesse zu Λ(M) gehören, wenn M ein seiges, lokales Maringal is. 7.7 Λ(M) enhäl die seigen, adapieren Prozesse für seiges M Sei (M ) 0 ein seiges, lokales Maringal bzgl. (A ) 0 und (X ) 0 ein seiger, adapierer Prozess. Dann gil (X ) >0 Λ(M). Beweis. Nach 6.4 is (X ) >0 previsibel. Also is für jede Soppzei τ insbesondere 1 ]0,τ] X P 0 -messbar nach 6.5. Analog zu 7.5 sezen wir τ n := inf{ 0 : max{ X, M M 0 } n}. C3NEU 5

6 Finanzmahemaik II Dann sind τ n nach 4.27 Soppzeien mi τ n (ω) τ n+1 (ω). Wegen der Seigkei von [0, [ max{ X (ω), M (ω) M 0 (ω) } gil τ n (ω) n. Bezeichnen wir die Soppzeien in 7.5 mi σ n, so is nach 7.5 (M σn M 0 ) 0 ein (rechsseiig) seiges L 2 Maringal bzgl. (A ) 0. Nach 4.39 (ii) folg daher wegen τ n σ n, dass (1) M (τn) = (M τn M 0 ) 0 ein seiges L 2 -Maringal bzgl. (A ) 0 is. Nun gil für feses n (2) X s (ω) n für 0 < s τ n (ω). Ferner gil M τn M 0 n und somi (3) 1]0,] dµ M (τn) = 6.10 Ω (M (τn) M (τn) 0 ) 2 dp = Ω(M τn M 0 ) 2 dp n 2. Aus (2) und (3) folgen nun 1]0,] 1 ]0,τn]X 2 dµ M (τn) n 2 1 ]0,] dµ M (τn) n 4. (2) (3) Somi is 1 ]0,τn]X Λ 2 (µ M (τn)). Zusammen mi (1) folg (X ) >0 Λ(M) nach Definiion. Is also (M ) 0 ein seiges, lokales Maringal, so is insbesondere (M ) >0 Λ(M). Als echnisch nüzlich erweis sich 7.8 Geeignee Folgen von Soppzeien für lokale Maringale Sei (τ n ) n N eine geeignee lokalisierende Folge für das rechsseiig seige, lokale L p -Maringal (M ) 0 bzgl. (A ) 0. Sei (σ n ) n N eine beliebige lokalisierende Folge. Dann is (τ n σ n ) n N ebenfalls eine geeignee lokalisierende Folge von Soppzeien für das lokale L p -Maringal (M ) 0. Beweis. Es is (τ n σ n ) n N eine lokalisierende Folge von Soppzeien. Es is für feses n N zu zeigen (1) (M τn σ n M 0 ) 0 is ein L p -Maringal bzgl. (A ) 0. Nach Voraussezung is für jedes n N (2) (M τn M 0 ) 0 ein rechsseiig seiges, L p -Maringal bzgl. (A ) 0. Nach 4.39 (ii) angewand auf τ := σ n, folg (1). Hieraus folg insbesondere, dass eine Linearkombinaion von rechsseiig seigen, lokalen L p -Maringalen ein rechsseiig seiges, lokales L p -Maringal is. Wir wollen nun das lokale sochasische Inegral einführen. Wir erinnern, dass wir annehmen (siehe 6.32) (A ) 0 is eine augmeniere Filraion; (M ) 0 is ein rechsseiig seiges, lokales L 2 -Maringal bzgl. (A ) 0. 6 C3NEU

7 Die Brownsche Bewegung Sei (X ) >0 Λ(M) gegeben, und wähle eine lokalisierende Folge (τ n ) n N für (X, M). Dann is also M (τn) ein rechsseiig seiges L 2 -Maringal bzgl. (A ) und 1 ]0,τn]X Λ 2 (µ M (τn)), und daher is für jedes n N Y [τn] := ( 0 1 ]0,τ n]x dm (τn) ) 0 als rechsseiig seiges (bzw. seiges, wenn (M ) 0 seig is) L 2 -Maringal bzgl. (A ) 0 wählbar. (Benuze 6.28 und 6.29, (iii) sowie 5.11 (ii) und beache, dass die Filraion augmenier is). Das lokale sochasische Inegral Y = ( X dm) 0 0 werden wir als den P -f.s. exisierenden Grenzwer von lim n Y [τn] (ω) einführen. Hierzu zeigen wir (7.9) Für jedes n und m n gil für P -f.a. ω, dass Y [τm] (ω) = Y [τn] (ω) für 0 τ n (ω). (7.10) Die Definiion von Y is bis auf Ununerscheidbarkei unabhängig von der lokaliserenden Folge (τ n ) n N für (X, M). Wir beweisen zunächs zwei Hilfssäze ]0,τ ] X dm = 1 ]0,τ ] X dm τ Sei (M ) 0 ein rechsseiig seiges L 2 -Maringal und τ eine Soppzei bzgl. (A ) 0. Is X L 2 (µ M ), so is 1 ]0,τ] X L 2 (µ M τ ), und es gil: 1]0,τ] X dm = 1 ]0,τ] X dm τ. (ii) Is X Λ 2 (µ M ), so is 1 ]0,τ] X Λ 2 (µ M τ ), und es gil: 1]0,] 1 ]0,τ] X dm = 1 ]0,] 1 ]0,τ] X dm τ für jedes 0. Beweis. (ii) folg aus, da X Λ 2 (µ M ) nach Definiion bedeue 1 ]0,] X L 2 (µ M ) für alle 0. Übungsaufgabe Gleichhei von Inegralprozessen bzgl. M (τ ) und M (σ) Es seien τ und σ zwei Soppzeien, so dass M (τ) = (M τ M 0 ) 0 und M (σ) = (M σ M 0 ) 0 zwei rechsseiig seige (bzw. seige) L 2 -Maringale sind, mi 1 ]0,τ] X Λ 2 (M (τ) ) und 1 ]0,σ] X Λ 2 (M (σ) ). Es bezeichne Y [τ] bzw. Y [σ] die rechsseiig seigen (bzw. seigen) L 2 -Maringale ( 0 1 ]0,τ]XdM (τ) ) 0 bzw. ( 0 1 ]0,σ]X dm (σ) ) 0. Dann gil P {ω : Y [τ] (ω) = Y [σ] (ω) für 0 τ(ω) σ(ω)} = 1. C3NEU 7

8 Finanzmahemaik II Beweis. Da Y [τ] τ = 6.31 Übungsaufgabe 8. (1]0, τ] 1 ]0,τ] X) dm (τ) = Y [τ] P -f.s. für jedes 0 is, folg aus der rechsseiigen Seigkei von Y [τ] und Y [τ] τ (7.13) (Y [τ] τ ) 0 = P (Y [τ] ) 0. Aus 7.11 folg ferner 7.14 τ n σ n is eine lokalisierende Folge von (X, M) und (Y, N) Sei (τ n ) n N eine lokalisierende Folge für (X, M) und (σ n ) n N eine lokalisierende Folge für (Y, N). Dann is (τ n σ n ) n N eine gemeinsame lokalisierende Folge für(x, M) und(y, N). Beweis. Es is (τ n σ n ) n N eine lokalisierende Folge von Soppzeien. Nach 7.8 angewand auf τ n, σ n und (M ) 0 bzw. σ n, τ n und (N ) 0 folg: (1) (M (τn) ) σn = (M τn σ n M 0 ) 0 is ein L 2 -Maringal bzgl. (A ) 0, (2) (N (σn) ) τn = (N σn τ n N 0 ) 0 is ein L 2 -Maringal bzgl. (A ) 0. Ferner gil, da τ n eine lokalisierende Folge für (X, M) und σ n für (Y, N) is (3) 1 ]0,τn]X Λ 2 (µ M (τn)), (4) 1 ]0,σn]Y Λ 2 (µ N (σn)). Nach 7.11 (ii) angewand auf das rechsseiig seige L 2 -Maringal M (τn) bzw. N (σn) folg daher aus (3) und (4) (5) 1 ]0,σn τ n]x = 1 ]0,σn]1 ]0,τn]X Λ 2 (µ (M (τn) ) σn ), (6) 1 ]0,σn τ n]y = 1 ]0,τn]1 ]0,σn]Y Λ 2 (µ (N (σn) ) τn ). Aus (1) und (5) sowie (2) und (6) folg die Behaupung. Zur Definiion des lokalen Io-Inegrals Sei X Λ(M) und (τ n ) n N eine lokalisierende Folge für (X, M). Wenden wir nun 7.12 an auf τ := τ n und σ := τ m für m n, so folg 7.9. Somi gib es eine Menge Ω 1, vom Maße 1, so dass lim (ω) für ω Ω 1 exisier und endlich für jedes 0 is, wobei Y [τm] m Y [τn] (ω) = Y [τm] (ω) für 0 τ n (ω) und m n gil. Wir bezeichnen diesen Grenzwer mi Y (ω). Es gil für ω Ω 1 : (L) Y (ω) = Y [τn] (ω) für alle τ n (ω). Wegen τ n (ω) und (L) is Y (, ω) rechsseiig seig (seig) für ω Ω 1. Sezen wir Y (, ω) 0 für 0 und ω Ω 1, so is Y (, ω) für alle ω Ω rechsseiig seig (seig). Somi gil wegen (L) und 7.13 Y τn = Y [τn] für alle 0 P -f.s.. 8 C3NEU

9 Die Brownsche Bewegung Also is (Y ) 0 ein rechsseiig seiges (seiges), lokales L 2 -Maringal, mi lokalisierender Folge (τ n ) n N (beache, dass die Filraion augmenier is, und benuze 5.11). Für diesen Prozess (Y ) 0 schreiben wir (Y ) 0 = ( 0 X dm) 0. Die Definiion von Y = (Y ) 0 is bis auf die Ununerscheidbarkei der ensprechenden Sochasischen Prozesse von der Wahl der lokalisierenden Folge für (X, M) unabhängig: Zum Nachweis dieser Aussage, wähle eine weiere lokalisierende Folge(σ n ) n N für (X, M). Nach Definiion des sochasischen Inegrals reich es zu zeigen, es gil P -f.s. für jedes n N und für τ n (ω) σ n (ω) : (G) mi Y [τn] = Y [σn] := 0 1 ]0,σ n]x dm (σn), Y [τn] = 0 1 ]0,τ n]x dm (τn). Es folg (G) mi 7.12 angewand auf τ := τ n und σ := σ n. Zusammenfassend erhalen wir 7.15 Das lokale Io-Inegral Es sei(m ) 0 ein rechsseiig seiges, lokales L 2 -Maringal bzgl. der augmenieren Filraion (A ) 0. Es sei X Λ(M) und (τ n ) n N eine beliebige lokalisierende Folge für (X, M). Dann heiß (Y ) 0 = ( 0 X dm) 0das lokale Io-Inegral von X bzgl. M. Das lokale Io-Inegral is ein rechsseiig seiges, lokales L 2 -Maringal bzgl. (A ) 0 mi lokalisierender Folge (τ n ) n N. Hierbei gil 0 X dm = 0 1 ]0,τ n]x dm (τn) für τ n (ω) P -f.s. Is (M ) 0 sogar ein seiges, lokales Maringal, so is das lokale Inegral ( 0 X dm) 0 ebenfalls seig. Für 0 s < sez man s X dm := Y Y s. Ferner is Y τn = 0 1 ]0,τ n]xdm (τn) für alle 0 P -f.s. Wegen Y 0 = 0 is die Definiion von s XdM für s = 0 widerspruchsfrei, und es gil s 0 X dm + s X dm = 0 X dm. Mi X Λ(M) is αx Λ(M) mi ( 0 αxdm) 0 = P α( 0 XdM) 0. Sind X, Y Λ(M), so folg nach 7.14 (N := M), dass es eine gemeinsame lokalisiernde Folge (τ n ) n N für (X, M) und (Y, M) gib. Dann is (τ n ) n N auch eine lokalisierende Folge für (X + Y, M). Also is X + Y Λ(M) und es gil 0 1 ]0,τ n](x + Y )dm (τn) = 0 1 ]0,τ n]x dm (τn) ]0,τ n]y dm (τn) und daher is auch bis auf Ununerscheidbarkei 0 (X + Y )dm = 0 X dm + 0 Y dm. C3NEU 9

10 Finanzmahemaik II 7.16 Einfache Eigenschafen des lokalen Io-Inegrals (ii) Es sei (M ) 0 ein rechsseiig seiges, lokales L 2 -Maringal. Dann is α) Λ(M) ein R-linearer Raum; β) Λ(M) X Y = ( 0 X dm) 0 eine R-lineare Abbildung in die rechsseiig seigen, lokalen L 2 -Maringale bzgl. (A ) 0. γ) Für 0 s < gil 0 X dm = s 0 X dm + s X dm. Sei (M ) 0 ein seiges, lokales Maringal. α) Dann is für X Λ(M) Y = ( 0 X dm) 0 ein seiges, lokales Maringal. β) Is(X ) 0 ein seiger, adapierer Prozess, dann is (X ) >0 Λ(M), und somi Y = ( 0 X dm) 0 ein seiges, lokales Maringal. Insbesondere is also ( 0 M dm) 0 ein seiges, lokales Maringal. (iii) Is M ein rechsseiig seiges, L 2 -Maringal bzgl. (A ) 0, dann is Λ 2 (µ M ) Λ(µ M ) und für X Λ 2 (µ M ) is das in 6.28 und 6.29 definiere ( 0 X dm) 0 gleich dem lokalen Io-Inegral. (iv) Seien (M ) 0 und (M ) 0 zwei rechsseiig seige, lokale L 2 -Maringale mi M M 0 = M M 0 P -f.s. für jedes 0. Dann gil Λ(M) = Λ(M ) und für X Λ(M) is ( 0 X dm) 0 = P ( 0 X dm ) 0. Beweis. α), β) und γ) sind schon bewiesen. (ii) α) is in 7.15 noier. Beache, dass ein seiges, lokales Maringal auch ein lokales L 2 -Maringal is (siehe 7.5). β) folg aus 7.7 und α). (iii) τ n für alle n liefer eine lokalisierende Folge für (X, M), denn es is (M (τn) ) 0 mi M (τn) = M M 0 ein L 2 -Maringal bzgl. (A ) 0 und für X Λ 2 (µ M ) gil 1 ]0,τn]X = X Λ 2 (µ M ) = Λ 2 (µ (τn) 6.22 (M ). ) 0 Also is X Λ(M). Das lokale Io-Inegral is nach 7.15 gegeben durch 0 1 ]0,τ n]xdm (τn) = 0 X dm. 6.22(iii) (iv) Wegen der rechsseiigen Seigkei sind (M M 0 ) 0 und (M M 0 ) 0 ununerscheidbar. Für eine lokalisierende Folge τ n sind M (τn) und M (τn) gleichzeiig L 2 - Maringale mi µ M (τn) = µ M (τn) nach Also gil auch L 2 (µ M (τn)) = L 2 (µ M (τn)) und somi Λ 2 (µ M (τn)) = Λ 2 (µ M (τn)). Daher is Λ(M) = Λ(M ) nach Definiion 7.6. Wegen der rechsseiigen Seigkei des lokalen Io-Inegrals bleib noch zu zeigen 1]0,] X dm = 1 ]0,] X dm P -f.s.. 10 C3NEU

11 Die Brownsche Bewegung Dies folg aus der Definiion des lokalen Io-Inegrals, und da nach 6.22(ii) P -f.s. für jedes 0 gil wegen 1 ]0,] 1 ]0,τn]X L 2 (µ M (τn) ) 1]0,] 1 ]0,τn]X dm (τn) = 1 ]0,] 1 ]0,τn] X dm (τn) Subsiuion beim lokalen Io-Inegral Es sei (M ) 0 ein rechsseiig seiges, lokales L 2 -Maringal bzgl. (A ) 0. Es sei X = (X ) >0 Λ(M) und Y = (Y ) 0 = ( 0 X dm) 0 das lokale Io-Inegral von X bzgl. M. Also is (Y ) 0 ein rechsseiig seiges, lokales L 2 -Maringal bzgl. (A ) 0. Sei nun Z = (Z ) >0 P 0 -messbar. Dann gil (ii) Z Λ(Y ) ZX Λ(M); ( 0 Z dy ) 0 = P ( 0 ZX dm) 0 für Z Λ(Y ). Beweis. und (ii) Nach 7.14 gib es eine gemeinsame lokalisierende Folge (τ n ) n N für (X, M) und (Z, Y ). Dann gil für alle n 1 ]0,τn]X Λ 2 (µ M (τn)) 1 ]0,τn]Z Λ 2 (µ Y (τn)). Wegen Y 0 = 0 is Y (τn) = Y τn = ( ]0,τ n]x dm (τn) ) 0. Somi folg für alle n nach 6.33 (iii), dass 1 ]0,τn]X Z Λ 2 (µ M (τn)) is, und 0 1 ]0,τ n]z dy (τn) = 0 1 ]0,τ n]zx dm (τn). Aus Erserem folg, aus der Gleichung folg (ii) nach Definiion des lokalen Io- Inegrals, da (τ n ) n N eine lokalisierende Folge für (Z, Y ) und (XZ, M) is. Zu : mi Da X, ZX Λ(M) sind, gib es nach 7.14 eine lokalisierende Folge (τ n) n N M (τn) is ein rechsseiig seiges L 2 -Maringal für jedes n N 1 ]0,τn]X, (1 ]0,τn]Z)(1 ]0,τn]X) Λ 2 (µ M (τn)). Wegen Y 0 = 0 is für feses n nun Y (τn) = Y τn = ( 0 (1 ]0,τ n]x)dm (τn) ) 0. Nach 6.33 (iii) folg dann 1 ]0,τn]Z Λ 2 (µ Y (τn)). Somi is Z Λ(Y ), da τ n auch eine lokalisierende Folge für das lokale L 2 -Maringal Y is Lokalbeschränke, previsible Prozesse sind lokal Io-inegrierbar Sei (X ) >0 previsibel, (M ) 0 ein rechsseiig seiges, lokales L 2 -Maringal. Is (X ) >0 lokal beschränk, d.h. gib es eine lokalisierende Folge (σ n ) n N und K n R + mi X (ω) K n für 0 < σ n (ω), dann is X Λ(M). C3NEU 11

12 Finanzmahemaik II Beweis. Sei (τ n ) n N eine lokalisierende Folge für (M ) 0. Nach 7.8 is dann (τ n σ n n) n N eine lokalisierende Folge für das rechsseiig seige, lokale L 2 -Maringal (M ) 0. Nun is 1 ]0,τn σ n n]x P 0 -messbar und 1 ]0,τn σ n n]x 2 K 2 n 1 ]0,n] Ω. Also is 1 ]0,τn σ n n]x L 2 (µ (M τn σn n M 0 )), und daher is X Λ(M) nach Definiion 7.6. Is M ein rechsseiig seiges, lokales L 2 -Maringal so is offenbar M M 0 ebenfalls ein rechsseiig seiges, lokales L 2 -Maringal mi Λ(M) = Λ(M M 0 ) und 0 X dm = 0 X d(m M 0) für X Λ(M) nach 7.16 (iv). Is nun M sogar ein seiges, lokales Maringal so zeigen wir (7.19) 0 M dm = 0 (M M 0)dM + M 0 (M M 0 ) = 0 (M M 0)d(M M 0 ) + M 0 (M M 0 ) Da wir die zweie Gleichhei schon nachgewiesen haben, reich es die erse Gleichhei zu beweisen. Nach 7.16 (ii) β) exisier sowohl 0 M dm als auch 0 (M M 0)dM. Nach 7.16 gil dann 0 M dm 0 (M M 0)dM = 0 M 0dM. Es bleib also 0 M 0dM = M 0 (M M 0 ) zu zeigen. Wir zeigen in Übungsaufgabe 9 ewas allgemeiner: is X 0 A 0 -messbar, so gil (7.19) B X 0 Λ(M) und 0 X 0dM = X 0 (M M 0 ) Andere Definiion von Λ(M) In der Definiion 7.6 von Λ(M) kann die Bedingung 1 ]0,τn]X Λ 2 (µ M (τn)) zu 1 ]0,τn]X L 2 (µ M (τn)) verschärf werden. Beweis. Sei τ n die lokalisierende Folge die in 7.6 vorkomm. Nach 7.8 is dann (τ n) n N := (τ n n) n N ebenfalls eine geeignee lokalisierende Folge von Soppzeien für (M ) 0. Da 1 ]0,τn]X Λ 2 (µ M (τn)) is, is 1 ]0,τn n]x = 1 ]0,n] 1 ]0,τn]X L 2 (µ M (τn)). Wende man nun 7.11 an auf M := M (τn), τ n und X := 1 ]0,τn n], X dann is wegen (M (τn) ) n = M (τn n) dann 1 ]0,τn n]x L 2 (µ M (τn n)). Also is 1 ]0,τ n ]X L 2 (µ M (τ n ) ) für alle n N und (τ n) n N is die geeignee lokalisierende Folge Lokalisierende Folgen für (X, M) Sei (τ n ) n N eine lokalisierende Folge für (X, M) und (σ n ) n N eine beliebige lokalisierende Folge. Dann is (τ n σ n ) n N eine lokalisierende Folge für (X, M). Beweis. Wende Saz 7.14 an auf die (0, 0) lokalisierende Folge (σ n ) n N. 12 C3NEU

13 Die Brownsche Bewegung 7.22 Definiionsmöglichkei von Λ(M) für seige, lokale Maringale Sei M ein seiges, lokales Maringal und X Λ(M), dann gib es eine lokalisierende Folge von Soppzeien (τ n ) n N, so dass M (τn) für jedes n N ein seiges, beschränkes Maringal is, und 1 ]0,τn]X L 2 (µ M (τn)) für jedes n N is. Beweis. Wähle nach 7.20 eine lokalisierende Folge (τ n ) n N, so dass M (τn) für jedes n N ein seiges L 2 -Maringal mi 1 ]0,τn]X L 2 (µ M (τn)) is. Sei nun σ n die lokalisierende Folge aus 7.5, so dass also M (σn) für feses n N ein beschränkes Maringal is. Nach 7.8 is dann (τ n σ n ) n N ebenfalls eine lokalisierende Folge für M, so dass auch M (τn σn) = (M (τn) ) σn ein seiges, beschränkes Maringal is. Da 1 ]0,τn]X L 2 (µ M (τn)) is, is nach 7.11 auch 1 ]0,τn σ n]x = 1 ]0,σn]1 ]0,τn]X L 2 (µ [M (τn) ] σn ) = L 2 (µ M (τn σn)). Die Aussage folg daher mi der lokalisierenden Folge (τ n σ n ) n N Das sochasische Inegral als Limes von Zwischensummen Es sei (M ) 0 ein seiges, lokales Maringal und (X ) 0 ein seiger, adapierer Prozess. Sei > 0, dann gil für jede reguläre Zerlegungsfolge Z n = ( n 0,..., n k n ) von [0, ], dass (ii) k n ν=1 X n (M n ν M n ) für n sochasisch gegen 0 X dm konvergier. Sind X und M beschränk, so konvergier kn X n (M n ν M n ) für n sogar im L 2 (P ) gegen 0 X dm. ν=1 Wir zeigen zunächs (ii) : Nach Saz 6.4 is (X ) >0 P 0 -messbar. Seze X n (s, ω) := kn X n (ω)1 ] n, n ν ](s). ν=1 Dann gil nach 6.35 (iii) angewand auf τ := (1) X n dm = kn X n (M n ν M n ), ν=1 da M ein seiges L 2 -Maringal nach 7.3 is. Da X linksseiig seig is, konvergier X n für n punkweise gegen 1 ]0,] X. Wegen µ M (]0, [ Ω) = lim (Mn M 0 ) 2 dp < n is X L 2 (µ M ), und die Konvergenz von X n gegen 1 ]0,] X finde auch im L 2 (µ M ) sa. Auf Grund der Io-Isomerie gil somi X n dm n 0 X dm. L 2 (P ) C3NEU 13

14 Finanzmahemaik II Zusammen mi (1) folg hieraus (ii). Wir berachen nun den Fall eines seigen, lokalen Maringals. Nach 7.16 (iv) dürfen wir M 0 = 0 annehmen. Nach 7.19 (B) gil 0 X 0dM = X 0 (M M 0 ) = kn X 0 (M n ν M n ). Wir dürfen daher auch X 0 = 0 annehmen. Dieser Fall folg nun mi Hilfe des Lokalisaionsprinzips aus. Siehe Übungsaufgabe 10. Wegen P {τ k < } k 0 und (5) folg die Behaupung. Wir erhalen nun aus 6.37 mi 7.14 nach Definiion des lokalen Io-Inegrals ν= Lokale Io-Inegrale bzgl. αm + βn Seien M, N rechsseiig seige, lokale L 2 -Maringale. Dann sind αm und M + N rechsseiig seige, lokale L 2 -Maringale. (ii) Is X Λ(M) und α R so is X Λ(αM), und es gil ( 0 Xd(αM)) 0 = P (α 0 XdM) 0. Is X Λ(M) und X Λ(N), so is X Λ(M + N), und es gil ( 0 Xd(M + N)) 0 = P ( 0 XdM) 0 + ( 0 XdN) 0. Beweis. Übungsaufgabe 11. In der Regel wird schon bei der Einführung von lokalisierenden Folgen eine augmeniere Filraion vorausgesez. Is dann (τ n ) n N eine Folge von Soppzeien mi τ n τ n+1 und τ n (ω) P -f.s., so is τ n := τ n 1 {lim τn= } + n1 {lim τn< } eine lokalisierende Folge von Soppzeien mi τ n : τ n is nämlich eine Soppzei wegen der Augmenierhei der Filraion und τ n = τ n P -f.s.. Hieraus folg X Λ(M) genau dann, wenn X previsibel is, und es eine Folge τ n von Soppzeien gib mi τ n τ n+1 sowie τ n P -f.s., so dass gil (M τn M 0 ) 0 is ein L 2 (P )-Maringal bzgl. (A ) 0, 1 ]0,τn]X L 2 (µ M (τn)). Is X Λ(M), so is X previsibel und die Eigenschafen sind nach 7.20 sogar für eine Folge von Soppzeien mi τ n erfüll. Sind die Eigenschafen gegeben, so bilde τ n gemäß obiger Konsrukion. Wegen τ n = τ n P -f.s. und der Augmenierhei is zunächs auch (M τ n M 0 ) 0 ein L 2 (P )-Maringal bzgl. (A ) 0. Da 1 ]0,τ n ]X mi X auch P 0 -messbar is, und 1 ]0,τ n ]X = 1 ]0,τn]X P -f.s. gil, is 1 ]0,τ n ]X L 2 (µ M (τn)) = L 2(µ 6.22 (iii) M (τ n ). Also ) is X Λ(M) nach Definiion 7.8. Nach Saz 7.7 gil X Λ(M) für seiges X und M. Saz 7.18 leg nahe, dass die Voraussezungen an X und M abschwächbar sind. Allerdings benöigen wir dann, dass die augmeniere Filraion rechsseiig seig is. 14 C3NEU

15 Die Brownsche Bewegung 7.25 Adapiere Prozesse die linksseiig seig sind und rechsseiige Grenzwere besizen, sind lokal Io-inegrierbar Sei (X ) 0 ein adapierer Prozess, der linksseiig seig is, und rechsseiige Grenzwere besiz. Es sei (M ) 0 ein rechsseiig seiges, lokales L 2 -Maringal bzgl. einer augmenieren, rechsseiig seigen Filraion. Dann gil X Λ(M). Beweis. Es is (X ) >0 previsibel nach 6.4. Wir zeigen nun, dass die Voraussezungen von 7.18 erfüll sind. Da X linksseiig seig is, erhäl man wie in 4.23, dass σ n (ω) := inf{ 0 X (ω) > n} eine schwache Soppzei und somi nach 4.25, da die Filraion auch rechsseiig seig is, eine Soppzei is. Nun gil wegen der linksseiigen Seigkei von X X (ω) n für 0 < σ n (ω). Es is σ n eine lokalisierende Folge von Soppzeien, da eine linksseiige seige Funkion mi rechsseiigen Grenzweren über [0, [ auf jedem beschränken Inervall beschränk is. Somi folg X Λ(M) nach Für eine rechsseiige seige, augmeniere Filraion sind also die Komponenen jeder elemenaren Handelssraegie nach 7.25 lokal Io-inegrierbar (zur Definiion der elemenaren Handelssraegie siehe 2.3). C3NEU 15