3.2 Autoregressive Prozesse (AR-Modelle) AR(p)-Prozesse

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1 3. Auoregressive Prozesse (AR-Modelle 3.. AR(-Prozesse Definiion: Ein sochasischer Prozess ( heiß auoregressiver Prozess der Ordnung [AR(-Prozess], wenn er der Beziehung (3.. genüg. ( is darin ein reiner Zufallsrozess (Whie-Noise-Prozess. Anm.: wird hierbei als Abweichung vom Mielwer µ vorausgesez. i i i mi... B... B B (B mi B 3..' oder i i B B... B B B (backshif/lag oeraor

2 Anmerkungen: - Gl. (3.. ensrich formal einem mulilen Regressionsmodell. Die unabhängigen Variablen (erklärenden Variablen sind hier jedoch ausschließlich zeilich verzögere Variablen der abhängigen Variablen. - Prozesse dieses Tys werden ersmals von G.. Yule (9 eingeführ. Allgemein is ein AR(-Prozess durch ( gegeben, wobei δ ein konsanes Glied is, das mi dem Mielwer µ des Prozesses in Beziehung seh. Für einen mielwersaionären Prozess muss gelen, so dass µ aus (3..3 E( E(... E(... besimm werden kann:...

3 Da µ endlich sein muss, is zu fordern, dass die ngleichung ( erfüll is. (3..4 is zugleich eine nowendige Bedingung für die Saionariä eines AR(-Prozesses. Nowendige und hinreichende Saionariäsbedingungen werden säer aufgezeig.

4 Sezielle AR(-Prozesse AR(-Prozess (3..5 ( (B B Allg. Anm.: is im Folgenden als Abweichung vom Mielwer µ des Prozesses gemessen. Saionariä wird zunächs vorausgesez. - Varianz von : Var( Var( Var( Var( ( n : oder Resrikio

5 - Auokovarianzfunkion (ACVF: =: E(, wegen Cov, E E(, wegen Var E - da E(, und unkorrelier sind bee inf luss, aber nich

6 =: allg.,,,... τ, σ γ τ τ. sind unkorrelier und da, E( abhäng nur vom Lag kovarianz Auo - die da, E( E(

7 - Auokorrelaionsfunkion (ACF : : allg.,,,, Da is, is die Auokorrelaionsfunkion eines AR(-Prozesses eine exoneniell abnehmende Funkion des Lags. Für verläuf sie dabei im osiiven Bereich, während es sich für um eine alernierende Folge handel.

8 Abbildung 3.4: Auokorrelaionsfunkionen versch. AR(-Prozesse,8,6,4, (a,8, ,8,64,5,4,38,6,,68

9 ,8,6,4, (b,5, ,5,5,5,63,3,6,8,4

10 ,8,6,4, , ,4 -,6 (c,7, ,7,49 -,343,4 -,68,8 -,8,58

11 -Darsellung des AR(-Prozesses in Abhängigkei von den Zufallsvariablen : (3..6 Ersezen von - durch ergib Ensrechendes Ersezen von - durch führ zu. - ( Inverierbarkei und Saionariä (

12 Führ man die Subsiuion k-mal durch, so ergib sich Für k erhäl man die sezielle Form ( k... k k k. des allgemeinen linearen Prozesses (3..8 Die Resrikion (3..9, mi....,

13 is nur dann erfüll, wenn (3.. is. Die Bedingung wird daher auch als Saionariäsbedingung bezeichne. ner Berücksichigung dieser Saionariäsbedingung kann ein AR(-Prozess in einen äquivalenen Moving- Average-Prozess unendlicher Ordnung [MA(-Prozess] überführ werden und umgekehr. Man sag aus, dass Gl. (3..7 die MA-Darsellung des AR(-Prozesses (3..6 is. Da der AR(-Prozess bei Güligkei der Saionariäsbedingung (3.. in einen MA(-Prozess inverierbar is, kennzeichne (3.. zugleich die Inverierbarkeisbedingung. Analog kann gezeig werden, dass ein MA(-Prozess in einen AR(-Prozess inverier werden kann, wenn is. Die allgemeine Bedingung für die Saionariä eines AR-Prozesses, dass die Wurzeln z, z,..., z des charakerisischen Polynoms z z... z außerhalb des Einheiskreises liegen müssen, führ im Falle des AR(-Prozesses unmielbar zur oben begründeen Saionariäsbedingung :

14 z z z Die Wurzel lieg nämlich genau dann außerhalb des Einheiskreises, wenn der absolue Wer von kleiner als eins is (. bei komlexen Zahlen z a b i : b b(imaginäreil z a b i außerhalb des Einheiskreises: a, b - a a(realeil -

15 AR(-Prozess (3.. Anm.: als Abweichung vom Mielwer µ vorausgesez Allg. ( Auokovarianzen und Auokorrelaionen B B ( (B E ( E ( E( E(

16 (3.. (3..3 Allg. (3..4 Bezieh man die Auokovarianzen auf die Varianz des AR(-Prozesses, so erhäl man (3..5 und E ( E ( E ( E ( (

17 (3..6 Einsezen von aus (3..5: ( Allg. (3..7,,,... Die Gleichungen (3..4 und (3..7 heißen Yule-Walker-Gleichungen. Aus (3..7 lassen sich Auokorrelaionskoeffizienen des AR(-Prozesses für rekursiv besimmen. - Varianz von : Var( Var( Var( unabh. zw. - und und zw. - und Var(

18 Saionariä Cov( Var(, Var( Var( u (3..8 Yule-Walker-Gleichung für : (3..9 Lösung nach ergib: (3.. ( ( ( Gleichungen in den beiden nbekannen und (können simulan gelös werden. Herleiung: Aus (3..8 folg:

19 Aus (3..9 folg: Wird in die erse Gleichung eingesez, ergib sich woraus man nach weierer mformung (3.. erhäl. für, ( ( ( ( ( (

20 Inverierbarkei (und dami auch Saionariä Saionariäsbedingungen: Charakerisische Gleichung: z z z z Normalform z a =a =b a b [z und z müssen außerhalb des Einheiskreises liegen, wenn ( ein saionärer Prozess is.] z 4 Je nachdem, ob die Wurzeln z und z reell oder konjugier-komlex sind und in Abhängigkei des Vorzeichens der Parameer und ergeben sich unerschiedliche charakerisische Verläufe der Auokorrelaionsfunkion.

21 - Reelle Wurzeln: Diskriminane ACF sink exoneniell bei Saionariä. - Komlexe Wurzeln: ACF verläuf mi gedämfen Schwingungen bei Saionariä. - Saionariä falls a Aus folg 4 4 z, z b b 4 a 4 a b a a b a a z z z, z, und dami z z

22 woraus man die Saionariäsbedingung (a erhäl. b Eine weiere Saionariäsbedingung bezüglich der Koeffizienen des AR(- Modells läss sich aus herleien:, d.h. und > wegen (a > wegen (a ( ( (b (b oder

23 Anmerkung: (b (b, d.h. die reche Seie von (a wird durch (b und (b imlizier, so dass die Saionariäsbedingungen für die Koeffizienen und auch durch,, oder (S,, wiedergegeben werden können.

24 Träg man die Saionariäsbedingungen (S in einem, -Koordinaensysen ein, so erhäl man ein sog. Saionariäsdreieck, innerhalb dessen die zulässigen Paare (, liegen. Die Parabel 4 renn dagegen die zyklischen und nich zyklischen Verläufe: unerhalb der Parabel lieg der, -Bereich für einen zyklischen Verlauf, oberhalb der, -Bereich für einen nich zyklischen Verlauf.

25 Abbildung 3.5: Saionariäs- und Schwingungsbedingungen ( Saionariäsdreieck und Parabel =

26 Beisiel eines AR(-Prozesses,7, (,7B,B - Überrüfen der Saionariä (Inverierbarkei: Charaker. Gleichung:,7z,z z 7z =a =b [Normalform] z a a b 3, ,5 3,5,5 4 z 5 (ACF sink exoneniell z

27 Allg. AR(-Prozess... Besimmung der Auokorrelaionsfunkion E( E( E(... E( E( Es gil E( -i i und (3.. E( für, da - nur von -,,,... abhäng. (3.. ( : x [Yule-Walker-Gleichungen]..., Die Auokorrelaionsfunkion eine AR(-Prozesses ha für > einen mi derjenigen eines AR(-Prozesses vergleichbaren Verlauf. Insbesondere is es eine exoneniell abnehmende Funkion, was monoon oder in gedämfen Schwingungen erfolgen kann.

28 Die Yule-Walker-Gleichungen erlauben eine ieraive Berechnung des ACFs. Ausführliche Schreibweise von (3..3: Marizenschreibweise (uner Berücksichigung von : = = = 3 (

29 komake Schreibweise: ρ Ρ x x x (3..4 is ein lineares Gleichungssysem ( Gleichungen, nbekanne, aus dem bei linearer nabh. der Gleichungen die ACFs,,..., Daraus lassen sich die ACFs,, ieraiv besimmen. besimm werden können. [Anm.: Bei der Schäzung eines AR(-Modells wird der umgekehre Weg beschrien: bei gegebenem Schäzern ˆ, ˆ,..., ˆ der Auokorrelaionskoeffizienen,,..., werden aus (3..4 Schäzer ˆ,ˆ,,ˆ für die Koeffizienen,,..., ermiel: ˆ ˆ Ρ ρˆ x x x ].

30 Varianz von E( E(... E( E( Var( E(,E( (... ( ( u E E E nabhängigkei zw. und -, -,..., -... (... (... ( u u u u u