V1 - Poisson-Statistik

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1 V1 - Poisson-Saisik Michael Baron, Sven Pallus 03. Mai 2006 Inhalsverzeichnis 1 Aufgabensellung 1 2 Theoreischer Hinergrund Geiger-Müller-Zählrohr Poisson-Vereilung Verallgemeinerung der Poisson-Vereilung Erwarungswer Varianz Versuchsdurchführung 5 4 Versuchsergebnisse Tabellarische Darsellung Graphische Darsellung Folgerungen 10 1 Aufgabensellung Ziel des Versuchs is die Besäigung der These, dass die Anzahl der Zeifenser mi gleicher Anzahl radioakiver Zerfälle pro Zeifenser über alle Zeifenser in Reihe gesehen Poisson-vereil is. Um dies zu unersreichen, messen wir die Anzahl der Zerfälle pro Zeifenser N für eine ganze Reihe (200 Sück) konsan langer Zeifenser (in drei Messreihen von jeweils 1, 5 oder 10 Sekunden pro Zeifenser) und regisrieren die dabei aufreenden absoluen Häufigkeien H von Zeifensern mi jeweils gleicher Anzahl an Zerfällen. 1

2 Zudem ragen wir die daraus ermielen relaiven Häufigkeien in einem Hisogramm (X-Achse paramerisier mi N, Y-Achse paramerisier mi P) auf und führen eine Regression miels der Poisson- und Gauß-Vereilung durch. 2 Theoreischer Hinergrund 2.1 Geiger-Müller-Zählrohr Das Geiger-Müller-Zählrohr dien der Regisrierung ionisierender (i.a. radioakiver) Srahlung, wie sie zum Beispiel beim radioakiven Zerfall in Form von γ-srahlung aufri. Es handel sich hierbei um einen Zylinderkondensaor, welcher mi einem Dielekrikum, also einem Isolaor (i.a. einem Edelgas, wie z.b. Argon) ausgefüll is. Leg man an diesen Kondensaor eine hohe Spannung an (ca. 500V ) so enseh im Zylinderzwischenraum ein sarkes elekrisches Feld, es fließ aber kein Srom, da keine Ladungsräger vorhanden sind. Tri jedoch in diesen Zwischenraum ionisierende Srahlung ein, so führ dies dazu, dass die Valenzelekronen durch Aufnahme der Srahlungsenergie aus dem Valenzband herausgerissen und in das Leiungsband beförder werden. Diese frei werdenden Elekronen werden nun durch das äußere elekrische Feld beschleunig, so dass sie dann auf andere Edelgas-Aome reffen und dor ebenfalls Valenzelekronen herauslösen - man sprich dann vom Lawineneffek. Somi fließ also ein Srom, welcher zusazlich durch Ionenleiung in der Gegenrichung versärk wird. In diesem Sromkreis, is ein sehr niedrig dimensionierer äußerer Widersand eingebau, so dass an diesem, aufgrund der Spannungs-Teilung eine ebenfalls niedrige Spannung abfäll. Diese kann durch Operaionsversärker und andere elekronische Bauelemene versärk und enweder an einen Lausprecher geleg oder anderweiig (digial,...) regisrier werden. 2.2 Poisson-Vereilung Sei (Ω, A, P) ein diskreer Wahrscheinlichkeisraum, dann is durch P λ (X = k) = λk k! e λ (1) eine Wahrscheinlichkeisvereilung definier. Sie heiss Poisson-Vereilung der Zufallsvariablen X zum Parameer λ. 2

3 2.3 Verallgemeinerung der Poisson-Vereilung Die Poisson-Vereilung kann aber auch koninuierliche Prozesse beschreiben, was jedoch Änderungen am Wahrscheinlichkeisraum und an der Funkion selbs nach sich zieh. Zum einen müssen wir hierbei die Menge aller möglichen Ereignisse A = P(Ω), also die Poenzmenge aller möglichen Elemenarereignisse, durch eine passende Borel sche Σ-Algebra ersezen. Zum anderen is eine Verallgemeinerung der Fakuläsfunkion erforderlich, was in folgender Definiion resulier: P λ (X = k) = λ k Γ(k + 1) e λ (2) Hierbei is Γ die Inerpolaion der Fakuläsfunkion für reelwerige Argumene, wobei gil: x N 0 : Γ(x + 1) = x! (3) Diese Verallgemeinerung is nowendig, da wir im Folgenden Hisogramme diskreer Wahrscheinlichkeisvereilungen miels einer koninuierlichen Poisson-(Glocken-)Kurve approximieren müssen. 2.4 Erwarungswer Der Erwarungswer E der Zufallsvariablen X bei einer Vereilung P 1 is wie folg definier: E[X] := k 0 P(X = k) k (4) Zur Besimmung des Erwarungswers sowie der Varianz der Poisson-Vereilung unernehmen wir jedoch einen kleineren Ausflug in den Bereich der Erzeugenden- Funkionen, da dies die Sache lezlich vereinfach. Die Erzeugenden-Funkion der Zufallsvariablen X is gegeben durch: G X (z) := k 0 P(X = k) z k (5) Nach z abgeleie ergib dies: Wird z = 1 eingesez, so folg direk: d dz G X(z) = P(X = k) kz k 1 (6) k 0 d dz G X(1) = P(X = k) k = E[X] (7) k 0 1 oder einer Wahrscheinlichkeis-Diche bei koninuierlichen Vereilungen 3

4 Für den Erwarungswer der Poisson-Vereilung bedeue dies: [ ] E[X] = d λ k dz Γ(k + 1) e λ z k k 0 Dies is genau: [ E[X] = d e λ ] (λ z) k dz Γ(k + 1) k 0 z=1 Oder nach Definiion der Exponenialreihe: z=1 (8) (9) E[X] = d dz [ e λ e λz] z=1 (10) Hieraus folg nun sofor der Erwarungswer der Poisson-Vereilung, er beräg: E[X] = λ e λz λ z=1 = λ (11) Wei wichiger is jedoch, dass wir die Erzeugenden-Funkion G X (z) der Poisson-Vereilung kennen, da wir sie zur Berechnung der Varianz benöigen, diese laue: G X (z) = e λz λ (12) 2.5 Varianz Die Varianz V einer Vereilung P is definier als: V[X] := E[X 2 ] E[X] 2 (13) mi: E[X 2 ] := k 0 P(X = k) k 2 (14) Nach geschicker Umformung erhalen wir: E[X 2 ] = k 0 P(X = k) ((k 1)kz (k 1) 1 + kz k 1 ) z=1 (15) Dies is äquivalen zu: E[X 2 ] = d2 dz 2G X(1) + d dz G X(1) (16) Folglich beräg die Varianz jeder Vereilung genau: [ d 2 V[X] = dz 2G X(1) + d ] [ ] 2 d dz G X(1) dz G X(1) (17) 4

5 Für die Poisson-Vereilung besimmen wir somi - nach Berechnung ensprechender Ableiungen ihrer Erzeugenden-Funkion - die Varianz von: V[X] = [λ 2 + λ] [λ] 2 = λ (18) Da die Sandardabweichung σ als V 1 2 definier is, folg für die Sandardabweichung der Poisson-Vereilung σ = λ 1 2. Wie man sieh sind also sowohl Erwarungswer E als auch Varianz V einer Poisson-Vereilung idenisch und gleich dem Parameer λ. Wir können somi diese beiden Were aus dem Hisogramm besimmen, indem wir - wie in Formel (4) - einfach gewiche aufsummieren, bevor wir dann diesen Parameer in die Approximaion durch eine ensprechende Kurve mi einfließen lassen. 3 Versuchsdurchführung Die Versuchsdurchführung erfolg miels einer Apparaur vollsändig auomaisier. Die Apparaur beseh aus einem abschirmbaren Geigerzähler, welcher eine Maerialprobe aufnehmen kann. Es is zudem eine Zählvorrichung insallier, die in konsan gehalenen Zeifensern die Anzahl radioakiver Zerfälle ( N ) regisrier, und gleichzeiig die Anzahlen von Zeifensern mi gleicher Anzahl an Zerfällen (H( N )) aufaddier. Einzig die Auswerung - im folgenden also die Berechnung sowie Darsellung der relaiven Häufigkein (P( N )) in einem Hisogramm sowie die Regression durch eine Poisson- und Gauß-Poisson-Approximaion erfolg manuell (oder miels Origin halbauomaisch). Das Experimen wird hierbei für jeweils 200 Zeifenser durchgeführ. Einmal ohne Abschirmung 2 mi ( = 1s), dreimal mi Abschirmung für ( = 1s, 5s, 10s) und dreimal mi Abschirmung und Radium-Präpara für ebenfalls ( = 1s, 5s, 10s) lange Zeifenser. 4 Versuchsergebnisse Die Versuchsergebnisse seien hier sowohl abellarisch, als auch in Form mehrerer Hisogramme (Balkendiagramme) dargesell. 4.1 Tabellarische Darsellung Für Zeifenser von, ergeben sich für Zerfälle pro Zeifenser N bei den ensprechenden Versuchen absolue Häufigkeien H. Diese sind in Tabelle 1 2 zur Regisrierung der haren Welraumsrahlung, die kaum abgeschirm werden kann 5

6 Versuch Nr Abschirmung Präpara 1s 1s 5s 10s 1s 5s 10s N H( N) H H H H H H Parameer µ 0,27 0,24 0,775 1,345 0,875 3,59 5,565 Abbildung 1: Tabelle der Versuchsergebnisse dargesell. Auf die Relaiven Häufigkeien P wurde hingegen aus Lesbarkeisgründen verziche. Zudem sei der errechnee Mielwer (Erwarungswer) hier als µ bezeichne, wobei dieses µ dem Parameer λ in der heoreischen Einführung ensprich. 4.2 Graphische Darsellung Weierhin sellen wir die Versuchsergebnisse in Form von Hisogrammen graphisch dar und zeichnen hierbei Regressionskurven sowohl für die Poisson- als auch die Gauß-Poisson-Vereilung ein. Hierzu verwenden wir das Programm Origin. Dieses berechne den Paramer µ ieraiv auf zwei verschiedene Aren, zudem fügen wir den direk errechneen Mielwer (ebenfalls µ) als leze Zeile in die Grafik-Beschreibung ein. Da die Achsen in den Grafiken falsch beschrife sind, und sich dies roz des Klarex-Formas EPS nich beheben läss, erklären wir hierbei die X-Achse zur Anzahl der Zerfälle pro Zeifenser ( N ) und die Y-Achse zur Relaiven Häufigkei P. 6

7 Abbildung 2: Versuch 1 - Ohne Abschirmung ohne Präpara - 1s Abbildung 3: Versuch 2 - Mi Abschirmung ohne Präpara - 1s 7

8 Abbildung 4: Versuch 3 - Mi Abschirmung ohne Präpara - 5s Abbildung 5: Versuch 4 - Mi Abschirmung ohne Präpara - 10s 8

9 Abbildung 6: Versuch 5 - Mi Abschirmung mi Präpara - 1s Abbildung 7: Versuch 6 - Mi Abschirmung mi Präpara - 5s 9

10 Abbildung 8: Versuch 7 - Mi Abschirmung mi Präpara - 10s 5 Folgerungen Wie man deulich sieh, is die Folge gleichlanger Zeifenser mi unerschiedlich vielen radioakiven Zerfällen in allen Fällen poisson-vereil. Der Prozess kann zwar auch miels der Normalvereilung beschrieben werden, allerdings weich diese besonders für kleine Zeifenser gravierend von der Poisson-Vereilung ab, da ein Hisogramm für kleinere Zeifenser immer asymmerischer wird. Anders ausgedrück lieg in solchen Fällen ein großser Teil der Gauß-Kurve im negaiven Bereich (X = k < 0 - in unserem Experimen N < 0), so dass dieser nich zur Mielwer-Besimmung herangezogen werden kann. 10