Zeitreihenökonometrie

Transkript

1 Zeireihenökonomerie Kapiel 1 - Grundlagen

2 Einführung in die Verfahren der Zeireihenanalyse (1) Typischerweise beginn man mi einer Beschreibung der jeweils zu unersuchenden Zeireihe (graphisch) Trendverhalen, saisonale Schwankungen, Ausreißer werden analysier Großeil der Mehoden der Zeireihenanalyse für saionäre Zeireihen enwickel Nich saionäre Zeireihen werden zunächs in saionäre Zeireihen ransformier SER08 SER09 DSER09 DDSER08 2

3 Einführung in die Verfahren der Zeireihenanalyse (2) Die saisischen Maße der Auokorrelaionsfunkion (AC) und der pariellen Auokorrelaionsfunkion (PAC) können dann Aufschluss über den daenerzeugenden Prozess liefern (Idenifikaion), der dieser saionären Zeireihe zu Grunde lieg Um auf diesen Prozess schließen zu können, is es nowendig zu wissen, wie sich die AC und die PAC für heoreische (wahre) Prozesse verhalen Dieses Wissen über die heoreischen Verläufe der AC und PAC wird dann auf die asächlichen Verläufe der AC und PAC der zu unersuchenden Zeireihe angewand. So können Ähnlichkeien zwischen heoreischen und empirischen Verläufen der AC und PAC erkann werden. SER07 SER SER08.6 SER

4 Einige grundlegende Begriffe der Zeireihenanalyse (1) Eine Zeireihe is definier als Folge von Weren die durch einen Zeiparameer geordne sind Werden die Daen zu jedem Zeipunk erfass, so sprich man von einer seigen (koninuierlichen) Zeireihe, z.b. Temperaur, Durchfluss von Wasser ec. Werden die Daen zu vorher definieren, äquidisanen Zeipunken erfass, so sprich man von einer diskreen Zeireihe, z.b. Quaralswere des BIP Im weieren werden ausschließlich diskree, äquidisane Zeireihen berache Eine Zeireihe wird definier als eine (!) Realisaion eines sochasischen Prozesses Ein sochasischer Prozess Y is ein Zufallsprozess, der zu jedem Zeipunk einen beliebigen Wer zwischen - und + annehmen kann. Der zu einem Zeipunk beobachee Wer y is eine (!) Realisaion dieses sochasischen Prozesses 4

5 Einige grundlegende Begriffe der Zeireihenanalyse (2) Y is somi als Zufallsvariable (ZV) zu versehen, die einer besimmen Vereilung F Y folg, die aber im allgemeinen unbekann is. Da lediglich eine Realisaion der ZV beobachbar is, kann man nich auf deren Vereilung schließen und somi auch nich die verschiedenen Momene der ZV wie Erwarungswer und Varianz ermieln. Eine größere Anzahl an Realisaionen einer einzelnen ZV können nur miels Experimenen generier werden. In der realen Wel sind Experimene allerdings nich durchführbar. Um dennoch saisische Verfahren anwenden zu können, wird eine Zeireihe als Folge von ZV definier, die besimme Eigenschafen erfüllen muss. Diese Eigenschafen beziehen sich auf die zeiliche Enwicklung der Momene (Erwarungswer, Varianz, Auokovarianz). 5

6 Saionariä einer Zeireihe Generell: der Erwarungswer sowie die Varianz und die Kovarianz einer Zeireihe Y können zu jedem Zeipunk verschieden sein Es gil: ( ) E Y VAR Y =μ ( ) E ( Y ) 2 = μ =σ ( j) = ( μ)( j μ j) Cov Y,Y E Y Y Ein sochasischer Prozess wird als schwach saionär* bezeichne, wenn der Mielwer und die Varianz zeiunabhängig sind und die Kovarianz lediglich vom zeilichen Absand j zwischen den beiden Punken abhäng, nich jedoch vom Zeipunk an dem sie gemessen wird. Es gil: ( ) E Y VAR Y =μ ( ) E ( Y ) 2 2 = μ =σ =Γ0 ( ) ( )( ) Cov Y,Y = E Y μ Y μ =Γ j j j 6 * Die Bedingungen für einen schwach saionären Prozess beziehen sich auf dessen Momene. Sreng saionäre Prozesse weisen demgegenüber zu jedem Zeipunk die gleiche Vereilung auf.

7 Daenransformaionen (1) Um die Verfahren der Zeireihenanalyse auch auf nichsaionäre Zeireihen anwenden zu können, müssen diese vorher in saionäre Reihen ransformier werden. 1. Fall: Zeireihe nich mielwersaionär => Trendverhalen 7 Die Ausgangszeireihe wird dann so lange einer Differenzenbildung unerworfen bis die ransformiere Reihe mielwersaionär is. ΔY 2 Δ Y = Y Y = Δ Δ -1 ( Y ) = Δ( Y Y-1 ) = ΔY ΔY-1 = Y Y-1 Y-1 + Y-2 = Y 2Y-1 + Y- 2 Wird eine Zeireihe insgesam d-mal der Differenzenbildung unerzogen, schreib man: Δ d Y In der prakischen Anwendung wird die Ordnung d des Differenzenoperaors zumeis über sog. Einheiswurzeless (uni roo es) besimm. (=> siehe Kapiel zur Koinegraion)

8 Daenransformaionen (2) 2. Fall: Zeireihe nich varianzsaionär => Varianz wächs mi Verlauf Eine zeiabhängige Varianz is zumeis nur schwer zu modellieren, wenn keine explizien Gründe für das Verhalen bekann sind. Die Box-Cox Transformaion sell ein saisisches Verfahren dar, die Varianz einer Zeireihe zu sabilisieren. Wird mi X die ransformiere Zeireihe bezeichne, so laue die Box-Cox Transformaion: X = ( θ ) 1 θ <θ< Y 1 für 0 1 ( ) log Y für θ= 1 θ Der Parameer muss in der prakischen Anwendung dann so besimm werden, so dass die Varianz der Zeireihe X möglichs konsan is. 8

9 Lag-Operaor L Wende man den Lag-Operaor auf eine Zeireihe zum Zeipunk an, so verschieb er die Zeireihe um eine Zeieinhei: LY = Y 1 Demensprechend verschieb der Operaor L 2 die Zeireihe um zwei Zeieinheien: 2 LY = Y 2 Allgemein gil: k LY = Y k Analog verschieb der Operaor L -1 die Zeireihe um eine Einhei in die Zukunf. Allgemein gil: 9 k L Y = Y + k

10 Wichige saisische Kenngrößen sochasischer Prozesse Bezeichnung Theoreischer Wer Empirischer Wer Erwarungswer Varianz Auokovarianz E( Y ) Var Y ( ) =Γ0 ( EY ( ) ) ( j) =Γj ( ( ) )( j ( ) ) Cov Y,Y = μ 2 2 = EY =σ ( ) = E Y E Y Y E Y N 1 Y = Y N = 1 N N 1 = ( ) c = s = Y Y N 2 1 j j N 1 = 2 ( )( ) c = s = Y Y Y Y Auokorrelaion ρ 1 j =ΓΓ j 0 τ =cc j j

11 Auokovarianz und Auokorrelaion (1) In der Zeireihenanalyse sind die Auokovarianz und die Auokorrelaion Maßzahlen des linearen Zusammenhangs zwischen ZVen mi einem besimmen Zeiabsand j. Werden sie für verschiedenen Were von j berechne, so sprich man auch von Auokovarianz- und Auokorrelaionsfunkion. Während die Auokovarianz von der Dimension abhäng, in der die Variablen gemessen sind, is die Auokorrelaion eine dimensionslose Größe. Mi seigender Anzahl von Lags (j) nimm die Anzahl der Summanden zur Berechnung bzw. Schäzung der Auokovarianz eines saionären Prozesses endlicher Größe ab. Dies implizier, dass insbesondere AC zu hohen Lags nur sehr ungenau geschäz werden können und of ein erraisches Verhalen zeigen. 11

12 Auokovarianz und Auokorrelaion (2) Die einzelnen Auokorrelaionskoeffizienen nehmen zumeis Were nahe Null an. Um Aussagen darüber reffen zu können, ob einzelne AC-Koeffizienen saisisch gesicher von Null verschieden liegen, müsse ein formaler Tes durchgeführ werden. Da jedoch einzelne AC-Koeffizienen nich unabhängig voneinander sind, können derarige Tesverfahren zu falschen Schlussfolgerungen führen. Aus diesem Grund berache man in der angewanden Zeireihenanalyse eine Gesamgröße und enscheide anhand dieser Tessaisik, ob die zu Grunde liegende Zeireihe eine sysemaische Srukur aufweis oder als Whie Noise bezeichne werden kann. 12

13 Auokovarianz und Auokorrelaion (3) Die Q-Saisik oder Ljung-Box Q-Tes bzw. Pormaneau Saisik berechne sich nach: K * ( ) ( )( ) Q = N N+ 2 r j N j χ -vereil mi (K-1) Freiheisgraden j1 = N ensprich der Anzahl der Beobachungen des Prozesses. r(j) bezeichne den AC-Koeffizienen zum Lag j und K gib die Anzahl der AC- Koeffizienen an. (K solle in ewa 20% des Sichprobenumfangs beragen) Sind die Were von Q* größer als die kriischen Were, dann wird die Hypohese, dass die Zeireihe einem Whie Noise Prozess folg und somi keine Korrelaionen zwischen den Realisaionen der Zeireihe exisieren, verworfen. 13

14 Parielle Auokorrelaion PAC (1) Eine weiere wichige Funkion zur Charakerisierung schwach saionärer sochasischer Prozesse is die parielle Auokorrelaionsfunkion. Der parielle Auokorrelaionskoeffizien gib an, welchen Beirag ein neu hinzugefüger Regressor zur Erklärung der Varianz liefer, wenn für die bereis besehende Korrelaion durch die zuvor berücksichigen Variablen Rechnung geragen wird. Enhäl eine Gleichung lediglich eine erklärende Variable, so simm der AC- Koeffizien und der PAC-Koeffizien überein. Es mach hier keinen Sinn auf den zusäzlichen Einfluss dieser Variablen zu esen. Für einen Zeiabsand von j = 1 zeigen AC und PAC somi den gleichen Wer. 14

15 Parielle Auokorrelaion PAC (2) Treen jedoch mehrere Regressoren auf, so kann z.b. der zusäzliche Beirag von Y -3 zur Erklärung von Y ermiel werden, wenn für die bereis vorhandene Erklärung durch Y -1 und Y -2 konrollier wird. Y = α Y +α Y +α Y Definiion: Die parielle Auokorrelaion π j is die parielle Korrelaion von Y -j und Y uner Konsanhalung der dazwischen liegenden Zufallsvariablen. 15

16 Parielle Auokorrelaion PAC (3) Allgemein laue die Formel für die Berechnung der pariellen Auokorrelaionskoeffizienen: 1 j1 ρ π ρ π = 1 π ρ j j 1,i j i j i= 1 j1 i= 1 ρ für j = 1 j1,i ji für j 1 Es gil dabei: π 0 = 1, π 1 = ρ 1 und π -j = π j Für die empirische Berechnung der PAC-Koeffizienen werden die heoreischen Were durch ihre ensprechenden Sichprobenwere ersez Zusammen mi der AC-Funkion dien die PAC-Funkion zur Idenifikaion sowohl der Ar als auch der Ordnung des sochasischen Prozesses, welcher der beracheen Zeireihe zu Grunde lieg 16