Zeitreihenökonometrie

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1 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Zeireihenökonomerie Kapiel 6 Nichsaionäre univariae Zeireihenmodelle

2 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse Rein opisch zeigen viele makroökonomische und Finanzmark-Zeireihen einen seigenden Trendverlauf Prozesse, die einem Trend folgen, werden in der Lieraur häufig als nichsaionäre Prozesse bezeichne Es is zu unerscheiden, ob diese Zeireihen auf eine deerminisische Trendlinie zurückkehren oder einem sochasischen Trend folgen Die Unerscheidung is wichig, weil die üblichen Schäz- und Tesverfahren bei Variablen, die sochasischen Trends folgen, nich anwendbar sind Trendsaionäre Prozesse: deerminisischer Trend Differenzensaionäre Prozesse: sochasischer Trend 2

3 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse Inegraionsgrad einer Zeireihe { } T Y = Eine Zeireihe heiß inegrier von der Ordnung n, mi I(n) bezeichne, wenn sie nach n-maliger Differenzenbildung einem sabilen und inverierbaren ARMA- Prozess und dami einem I(0)-Prozess folg. Die I(0) Eigenschaf is hinreichend für Saionariä Aber es gib saionäre Prozesse, die nich inverierbar sind (kein I(0)-Prozess) 3

4 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse I Sochasische Trends Random Walk Prozess Y iid = c+ Y- + ε mi ε ~ 0, 2 ( σ ) () Random Walk ohne Drif für c=0 (langfrisig nich wachsend) (2) Random Walk mi Drif für c 0 (langfrisig wachsend) Ieraive Subsiuion von y -, y -2,, y -T 0 s s s= Beide Parameer sind also nich konsan über den Zeiverlauf. ( ) ( 0) ( ) = E Y = E Y + c 2 Var Y σ 2 ( ) iid Y = Y + c + ε mi ε ~ 0, σ 4

5 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse I Sochasische Trends Beispiel für einen Random Walk ohne Drif: R W Beispiel für einen Random Walk mi Drif: R W 5

6 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse I Sochasische Trends Der Random Walk kann durch das Bilden der ersen Differenz in einen saionären Whie Noise Prozess überführ werden: Δ Y = Y - Y = c + ε - Der Random Walk is also ein I() Prozess und folg nach einmaliger Differenzenbildung einem I(0) Prozess Der ransformiere Prozess is somi saionär und kann mi den Box Jenkins Mehoden der saionären Zeireihenanalyse geschäz und prognosizier werden 6

7 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse I Sochasische Trends Verallgemeinerung der Herleiung: Uni-Roo-Prozesse Y = α Y + α Y α Y + ε p -p Is saionär, falls die Lösungen des charakerisischen Polynoms außerhalb des Einheiskreises liegen, bzw. deren Kehrwere innerhalb des Einheiskreises. ( α L α L... α L )Y = ε 2 p 2 p ( λ L)( λ L)...( λ L)Y = ε λ = z 2 p i i Bei einem Random Walk besiz die einzige Lösung der Gleichung den Wer eins und wird deshalb auch Uni Roo (Einheiswurzel) genann. Sie lieg also genau auf dem Einheiskreis. Dieses Resula des Random Walk läss sich auf den AR(p)-Prozess verallgemeinern. Wir unersellen, dass d Wurzeln der Gleichung den Berag eins besizen und die reslichen Wurzeln beragsmäßig kleiner eins sind. λ i, i =, 2,..., p- d λ 7

8 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse I Sochasische Trends Das Lag-Polynom des Prozesses kann dann wie folg geschrieben werden: d ( ) ( ) ( ) ( ) α = λd+ λ p L -L L... L ( ) α 2 ( L) Da das Polynom α 2 L inverierbar is, is der Prozess auf der rechen Seie der Gleichung ein saionärer MA-Prozess: ( ) d L Y = - L L... L ( λd+ )( λd + 2 ) ( λp ) ε Der AR(p)-Prozess mi d Einheiswurzeln kann folglich durch d-maliges Differenzieren in einen saionären Prozess umgewandel werden und verkörper einen I(d)-Prozess. Uner einem ARIMA(p,d,q)-Prozess verseh man analog einen sochasischen Prozess, der nach d-maligen Bilden von Differenzen in einen saionäres ARMA(p,q)- Prozess überführ werden kann. 8

9 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse II Deerminisische Trends Trendsaionäre Prozesse Es können auch Probleme bei der Inegraion aufreen wie zum Beispiel bei der folgenden rendsaionären Zeireihe (oder für a=0 saionären) Zeireihe: Y = c + a + ε Die Bildung von Differenzen führ zu: ΔY = Y -Y - = a + ε ε Der Trend der Zeireihe wurde eliminier und die Zeireihe is saionär. Aber gleichzeiig is ein nich inverierbarer MA()-Prozess ensanden. Es exisier dann keine AR- Darsellung. Es resulier somi keine I(0)-Zeireihe (Überdifferenzierung). 9

10 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse - Unerscheidung Einheiswurzeless/ Uni-Roo Ökonomerie Einheiswurzeless (Uni-Roo Tess) esen auf die Saionariäseigenschaf von Prozessen Dickey-Fuller -Tes Berachung des einfachen AR()-Fall ohne Konsane: Y = α Y + ε - H : α < Die Nichsaionariäs-Nullhypohese (hier Random Walk ohne Drif) laue: H 0 : α = Die Saionariäs-Alernaivhypohese (saionärer AR()-Prozess) laue: 0

11 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse Der DF-Tes is ein einseiiger -Tes, der auf Parameer ese, die mi der Kleins- Quadra-Mehode geschäz werden Die Tessaisik berechne sich nach: = ˆ α - σ ˆα ˆ mi ˆ σ ˆ σ 2 2 ˆ α = 2 y

12 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse Die berechnee -Saisik genüg wegen der I()-Eigenschaf der Zeireihe uner der Nullhypohese nich der üblichen -Vereilung!!! Die kriischen Were resulieren aus den Berechnungen von MacKinnon und Davidson Die kriischen MacKinnon-Were sind im Berag deulich größer als die diejenigen der -Vereilung, da der OLS Schäzer für die Varianz eine Verzerrung aufweis, wenn der wahre Wer von α gleich Eins beräg (Resrikion für die Ablehnung der Nullhypohese wird verschärf) Zudem hängen die kriischen Were von der Spezifikaion der Regressionsgleichung bezüglich der Konsanen und dem Trend ab Bei der Berachung eines Random Walk mi Drif gegen die Alernaive eines saionären AR()-Prozesses mi Mielwer ungleich Null, muss noch eine Konsane in die Regressionsgleichung eingefüg werden: 2 Y H H 0 = c + α Y : α = : α < - + ε

13 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse Schließlich is noch die Alernaive eines rendsaionären Prozesses von Ineresse Für diesen Zweck wird eine Trendvariable in die Regressionsgleichung eingefüg: Y = c + δ + αy -+ ε H : α = 0 H : α < Die bis jez beracheen Varianen des DF-Tess können jedoch nich die Nullhypohese von auokorrelieren I(0)-Differenzen abbilden Der Tes muss dazu erweier werden 3

14 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse Augmened Dickey-Fuller (ADF) Tes Die Tesgleichung für den einfachen DF-Tes ohne Auokorrelaion der Sörgrößen laue: Y = c + δ + α Y- + ε Um die Auokorrelaion der Sörgrößen zu beseiigen wird die Tesgleichung um p- verzögere Differenzen ergänz, daneben wird auf beiden Seien der Gleichung Y - abgezogen: Y mi H H 0 : : Y - α α α = ΔY = α = < 0 0 = c + und δ + α Y α = p j= - α i + p i= sowie φ ΔY i i - φ = + ε - p i= j+ α i (Hypohese für Nichsaionariä) (Hypohese für Trendsaionariä) 4 Mi diesem Modell kann die Nullhypohese eines in Differenzen saionären AR(p-)- Prozesses gegen die Alernaive eines rendsaionären AR(p)-Prozesses überprüf werden

15 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse Die Saionariäses kann je nachdem, ob die Konsane oder der lineare Zeirend gleich Null gesez werden in drei verschiedenen Schäzgleichungen geschrieben werden Die Koeffizienen können ses mi der KQ-Mehode geschäz werden Uner der Nullhypohese, dass das charakerisische Polynom eine Wurzel vom Berag Eins besiz, is, und die -Saisik is auch asympoisch nich sandardnormalvereil α =0 Kann man die Nullhypohese verwerfen, so is die Alernaive enweder ein saionärer AR(p)-Prozess ohne Konsane (Schäzgleichung mi ), ein saionärer AR(p)-Prozess mi Konsane (Schäzgleichung mi ) oder ein saionärer AR(p)-Prozess mi einem linear anseigenden Trend. c c = δ = 0 δ = 0 δ 5

16 ifo Insiu für Wirschafsforschung an der Universiä München Nichsaionäre Prozesse Der Wer von p kann Hilfe des AIC- oder BIC- Krieriums besimm werden, wobei man p max wie folg wählen kann: p max = floor 2 T 00 4 Hierbei seh floor für den ganzzahligen Wer seines Argumens (hier Wer in der eckigen Klammer) 6