No-Arbitrage Modelle

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1 No-Arbirage Modelle Sefan Fremd 17. Januar 27 1 Einleiung No-Arbirage Modelle: Modelle, bei denen die beobacheen Preise der Anleihen Derivae am Mark P obs (, T ) genau mi denen des Modells ˆP (, T ) übereinsimmen, da sie schon zum Inpu des Modells gehören, wobei den Zeipunk der Anpassung bezeichne. 2 Markov Modelle Markov Modell: Modell, das die folgenden zwei Voraussezungen erfüll: Die Preise P obs (, T ) gehören zum Inpu Die Wahrscheinlichkeisvereilung von P (s, T ) F ensprich der von P (s, T ) X(), für < s < T, wobei X() ein endlich dimensionaler Iô-Prozess is. D.h. zusäzliche Informaionen über die Vergangenhei erhöhen nich den Informaionsgehal der möglichen Aussagen über die zukünfige Enwicklung. Im Folgenden werden zwei Modelle behandel, bei denen der risikolose Zinssaz r() anselle von X() zugre lieg: 2.1 Das Ho Lee Modell Das aus dem Jahr 1986 sammende Modell von Ho Lee verwende folgende Modellierung für den risikolosen Zinssaz:, wobei dr() = θ()d + σd W () W () eine Brownsche Bewegung uner dem äquivalenen Maringalmaÿ Q is θ() sich wie folg ergib: 1

2 Wir nehmen an, dass der Inpu aus den P (, T )) beseh, für alle T >. Sei f(, T ) = logp (, T ) T die zugre liegende Forward-Rae-Kurve. Wenn man θ(t ) als θ(t ) = T f(, T ) + σ2 T voraussez, kann man zeigen, dass ( E Q [exp r()d) r() = P (, T ), wobei Es folg, dass P (, T ) = exp[a(, T ) (T )r() A(, T ) = log P (, T ) P (, ) + (T )f(, ) 1 2 σ2 (T ) 2. f(, T ) = T logp (, T ) = r() + f(, T ) f(, ) + σ2 (T ). Als Lösung für r() ergib sich: Folglich is r() = r() + θ(s)ds + σ W () = r() + f(, ) f(, ) σ2 2 + σ W () = f(, ) σ2 2 + σ W (). f(, T ) = f(, ) σ2 2 + σ W () + f(, T ) f(, ) + σ 2 (T ) = f(, T ) σ2 T σ2 (T ) 2 + σ W (). Bemerkung: Das Ho Lee Modell kann relaiv einfach zu einer Version verallgemeiner werden, in der σ() zwar zeiabhängig, jedoch deerminisisch is. 2

3 2.2 Das Hull Whie Modell Das 199 von Hull Whie veröenliche Modell is eine Verallgemeinerung des Vasicek-Modells, die folgende Modellierung für den risikolosen Zinssaz verwende: dr() = α(µ() r())d + σd W (), wobei W () wiederum eine Brownsche Bewegung uner Q µ() eine deerminisische Funkion is, die auch als Maÿzahl für den (lokalen) Mean-Reversion- Eek inerpreier werden kann. Dami die zugre liegenden heoreischen beobacheenpreise übereinsimmen, wird vorausgesez, dass wobei A(, T ) = log P (, T ) P (, ) µ() = 1 σ2 f(, ) + f(, ) + α 2α (1 2 e 2α ) P (, T ) = exp[a(, T ) B(, T )r(), B(, T ) = ) 1 e α(t, α + B(, T )f(, ) σ2 4α 3 (1 e α(t ) ) 2 (1 e 2α ). Es folg mi Hilfe der Eigenschafen des Ornsein-Uhlenbeck-Prozesses: r() = f(, ) + σ2 2α 2 (1 e α ) 2 + σ e α( s) d W (s) Auch das Hull-Whie-Modell kann rech einfach zu einer Form verallgemeiner werden, in der α() σ() zwar zeiabhängig, jedoch deerminisisch sind. 2.3 Das Black-Karasinski Modell Das Black-Karasinski-Modell geh zunächs aus von Y () = log r() mi der zugehörigen sochasischen Dierenialgleichung (SDE) dy () = α()(log µ() Y ())d + σ()d W (), wobei W () wiederum eine Sandard-Brownsche Bewegung uner Q α(), µ() σ() zeiabhängige, deerminisische Funkionen sind. Durch Anwendung der Iô-formel erhäl man: dr() = α()r() [log µ() + σ()2 log r() d + σ()r()d W () 2α() 3

4 Sei nun Man kann nun zeigen, dass A() = α(u)du. Y (T ) = e A() A(T ) Y ()+ α(u)e A(u) A(T ) logµ(u)du+ σ(u)e A(u) A(T ) d W (u). Da nun aber σ(u) exp[a(u) A(T ) deerminisisch is, folg, dass r(t ) bei gegebenem r() lognormal-vereil is es gil E Q [log r(t ) F = e A() A(T ) Y () + V ar Q [logr(t ) F = α(u)e A(u) A(T ) log µ(u)du σ(u) 2 e 2(A(u) A(T )) du. 3 Das Heah-Jarrow-Moron Modell (HJM) Das Modell von Heah, Jarrow Moren liefer vielmehr einen Rahmen für speziellere No-Arbirage-Modelle, als dass man es selbs als No-Arbirage-Modell bezeichnen könne. Das HJM-Modell geh von den Weren der Forward-Rae-Kurve f(, T ) als Inpudaen aus. Für fese Laufzeien T liefer f(, T ) einen Iô-Prozess mi SDE df(, T ) = α(, T )d + σ(, T )dw () für alle T >, wobei α(, T ) σ(, T ) von f(, T ) selbs, der gesamen Forward-Rae-Kurve oder sogar von F = σ({w (s) : s })) abhängen können. Voraussezungen: Für alle T sind σ(, T ) α(, T ) vorhersehbar hängen von der Vergangenhei von W (s) bis zum Zeipunk ab. σ 2 (, T )d < α(, T ) d < f.s. u f(, T ) is deerminisisch erfüll α(, u) d du < 4 f(, u) du <

5 [ E u σ(, u)dw () < du 3.1 Die risikolose Anlage Aus der SDE für f(, T ) folg: r(t ) = lim f(, T ) = f(, T ) + σ(s, T )dw (s) + α(s, T )ds T Der Bankkonoprozess B() ha die SDE: db() = r()b()d [ B() = B()exp r(u)du [ = B()exp f(, u)du + α(s, u)du ds + s ( s ) σ(s, u)du dw (s). 3.2 Handelbare Anlagen Die Preisgebung der Zerobonds nde wie folg sa: [ P (, T ) = exp [ = exp f(, u)du f(, u)du α(s, u)du ds Der diskoniere Anlagen-Preis wird denier durch: Z(, T ) = P (, T ) B() [ = exp S(s, T )dw (s) f(, u)du ( ) σ(s, u)du dw (s). s α(s, u)du ds, wobei S(s, T ) = σ(s, u)du. s Erneue Anwendung der Iô-Formel ergib: [( 1 T ) dz(, T ) = Z(, T ) 2 S2 (, T ) α(, u)du d + S(, T )dw (). Hierbei kann S(, T ) als Volailiä von P (, T ) inerpreier werden. 5

6 3.3 Maÿwechsel Um den diskonieren Anlagen-Preis in ein Maringal umzuwandeln, wird ein Maÿwechsel durchgeführ, wobei der benöige Drif-Term, also der Markwer des Risikos, für eine Anleihe mi Laufzei T gegeben is durch: γ() = 1 2 S(, T ) 1 α(, u)du S(, T ) In Bezug auf das Girsanov-Theorem muss nun aber γ() die Novikov-Bedingung erfüllen, dami ein ein äquivalenes Maringalmaÿ Q exisier, so dass W () = W () + γ(s)ds eine Brownsche Bewegung uner Q is.uner Q gil dann: dz(, T ) = Z(, T )S(, T )d W () Lau Voraussezung is aber nun Z(, T ) ein Maringal uner Q. Es folg, dass dp (, T ) = P (, T )(r()d + S(, T )d W ()). 3.4 Duplikaionssraegien X Zahlung eines Derivaes beding über F s zur Zei S (S < T ). Ziel: Konsrukion einer Hedging-Sraegie durch Bargeld die T -Anleihe P (, T ). 5 Konsrukionsschrie: Finden des äquivalenen Maringalmaÿes Q, uner dem Z(, T ) ein Maringal is. Denieren des Q-Maringals D() = E Q [B(S) 1 X F. Finden des previsiblen Prozesses φ() so, dass D() = D()+ φ(s)dz(s, T ). Denieren von ψ() = D() φ()z(, T ). Die Handelssraegie (ψ(), φ()), wobei ψ() die Anzahl der Einheien B() φ() die Anzahl der Einheien P (, T ), is eine selbsnanzierende Duplikaionssraegie für X zur Zei S. 6

7 3.5 Der arbiragefreie Mark Sei nun X = 1, d.h. das Deriva is ein Zerobond mi Laufzei S ( S ) P (, S) = B()E Q [B(S) 1 F = E Q [exp r(u)du F. Für den diskonieren S-Bond gil: Z(, S) = P (, s) B() = E Q [B(S) 1 F Somi is Z(, S) ein Q-Maringal. Dies gil jedoch für alle Anleihen, woraus folg, dass diese durch die gleiche Maÿransformaion in Maringale überführ werden. Sie besizen also auch alle den gleichen Markpreis des Risikos Da T γ() = 1 2 S(, T ) 1 S(, T ) α(, u)du α(, u)du = 1 2 S(, T )2 γ()s(, T ). S(, T ) = σ(, T ) ergib Diereniaion nach T α(, T ) = σ(, T )(γ() S(, T )) Hieraus folg für das Ausgangsmodell: somi df(, T ) = α(, T )d + σ(, T )dw () r() = f(, ) = α(, T )d + σ(, T )(d W () γ()d) = σ(, T )S(, T )d + σ(, T )d W () σ(s, )S(s, )ds + σ(s, )d W (s). 4 Zusammenhang zwischen dem HJM den Markov Modellen 4.1 Ho Lee Uner dem HJM erhäl man für σ(s, ) = σ s,, also S(s, ) = ( s)σ r() = f(, ) σ2 2 + σ W (), also den Ausdruck für r() im Ho-Lee-Modell. 7

8 4.2 Hull Whie Ähnlich folg mi σ(s, ) = σe α( s), dass S(s, ) = σ α (1 e α( s) ), woraus wiederum folg Dami erhäl man σ(s, )S(s, )ds = σ2 α e α( s) (1 e α( s) )ds = σ2 2α 2 (1 e α ) 2. r() = f(, ) + σ2 2α 2 (1 e α ) 2 + σ also den Ausdruck für r() im Hull-Whie-Modell. e α( s) d W (s), 5 Fazi Das Rahmen-Modell von Heah, Jarrow Moron liefer also die Grlage für die beschriebenen Markov-Modelle, sowohl das Ho-Lee-Modell als auch das Hull-Whie-Modell. Auÿerdem implizier es Duplikaionssraegien für allgemeine Finanziel somi uner No-Arbirage-Gesichspunken Preisgebungsmechanismen für diese. 8