Übungsblatt 8 Musterlösung

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1 Numerik gewöhnlicher Differenialgleichungen MA - SS6 Übungsbla 8 Muserlösung Aufgabe 7 Schriweienseuerung) Im Folgenden soll die Differenzialgleichung y ) = f,y)) = sign)y, y ) = e, im Zeiinervall [, ] miels eines adapiven Runge Kua Verfahrens numerisch gelös werden. a) Implemenieren Sie das FSAL RK Verfahren von Bogacki Shampine mi dem Bucher Schema: p = ˆp = 7 8 Nuzen Sie dabei die FSAL Eigenschaf des Verfahrens für die Auswerung von k. Implemenieren Sie jeweils eine separae Funkion für f, ) und für die exake Lösung y). b) Die Berechnung der neuen Schriweie soll nach den folgenden Krierien erfolgen, siehe auch das folgende Schema aus [Dahmen&Reusken, Springer 6)]: Seien ŷ i und y i die Approximaionen der Lösung y), welche miels der Verfahrungen der Ordnung ˆp und p aus dem obigen Bucher Schema berechne wurden.. Evaluiere sh) = y i+ ŷ i+. Die neue Schriweie verfeiner oder vergröber!) is dann gegeben durch: α =min α max,max h =maxβαh old,h min ), h neu =minh,h max,t i ). α min, p TOL h old sh) )),

2 c) Wählen Sie als Parameer für die Schriweienseuerung h min = e, h max =., α min =., α max =, β =. und führen Sie die Rechnungen mi den Toleranzen TOL =... durch. Sellen Sie jeweils die Lösung sowie den Verlauf der Schriweie h i und den relaiven Fehler e i ) = y i) y i y i grafisch dar. Berechnen Sie ) dabei auch die Anzahl der Auswerungen der rechen Seie. Lösung 7 Schriweienseuerung) Siehe Malab-files. approx. soluion, TOL=. y exac - sep size h i - error e i ).8 y h RK approx. soluion, TOL=. y exac y h RK sep size h i error e i ) Aufgabe 8 Radau Verfahren) Berachen Sie das Radau Verfahren der Sufe, gegeben durch das Tablau: a) Weisen Sie nach, dass dieses Verfahren durch eine Kollokaionsmehode definier is, und besimmen Sie den Exakheisgrad der zugehörigen Quadraurformel Q. Zeigen Sie außerdem, dass für ein normieres Polynom p vom Grad die Ungleichung gil. p)dτ < Q p) b) Weisen Sie nach, dass das obige Runge Kua Verfahren B-sabil is. Hinweis: Verwenden Sie die Aussage aus a). c) Beweisen Sie, dass dieses Verfahren L-sabil is, indem Sie die Funkion Rz) berechnen und die nowendigen Eigenschafen nachweisen.

3 d) Sellen Sie mi Hilfe des Befehls ezplo das Sabiliäsgebie dieses Verfahrens in Malab graphisch dar. Lösung 8 Radau Verfahren) a) Für das Kollokaionsverfahren mi den Knoen α =, α = gil L τ) = τ, β = L τ) = τ, β = L τ)dτ =, β = γ = L τ)dτ =, β = γ = L τ)dτ =, L τ)dτ =, wodurch sich genau das angegebene Verfahren ergib. Die zugehörige Quadraurformel ha den Exakheisgrad, denn es gil für ein normieres Polynomp P [,]): pτ)dτ = τ +bτ +cτ +d ) dτ = + b+ c+d < 8 + b+ c+d = 7 + b+ ) c+d + +b+c+d) = ) p + p), so dass ein Polynom vom Grad exak inegrier wird, eines vom Grad im Allgemeinen jedoch nich. Dami ha das Radau Verfahren die Konsisenzordnung Saz III.7). b) Sei die reche Seie f des AWP y = f,y) dissipaiv. Es exisieren für y,ŷ und h > Kollokaionspolynome p,ˆp P [,h]) mi Dann is p) = y, ˆp) = ŷ, ph) = y, ˆph) = ŷ, p α j h) = fpα j h)), ˆp α j h) = fˆpα j h)), j =,. qτ) = pτh) ˆpτh) ein Polynom in P mi einem nichnegaiven führenden Koeffizienen. Diesen bezeichnen wir mi ah). Dann folg y ŷ = q) = q)+ so dass die B Sabiliä äquivalen zu q τ)dτ = y ŷ + q τ)dτ, q τ)dτ )

4 is. Zum Nachweis dieser Eigenschaf verwenden wir die Tasache, dass sich q als q τ) = ah) qτ) mi einem normieren Polynom q P schreiben läss, sowie die Aussage aus a): q τ)dτ = ah) qτ)dτ ah) γ j qα j ) = j= γ j q α j ). j= Die Dissipaiviä von f implizier nun q α j ) = h p α j h) ˆp α j h),pα j h) ˆpα j h) = h fpα j h)) fˆpα j h)),pα j h) ˆpα j h). Wegen γ j > die Gewiche der Quadraur sind posiiv) folg daraus die Aussage ). c) Angewende auf das Anfangswerproblem y = λy, y) = erhalen wir k = λ y i + hk ) hk, k = λ y i + hk + ) hk. Dies führ mi z = λh auf das lineare Gleichungssysem z z ) ) ) k λyi z z =. k λy i Mi Hilfe der Cramerschen Regel erhalen wir die Lösung zu k = 6 z z z +6 } {{ } =: k Aus dem Vorschrif für das RKV folg y i+ = y i +h j= λy i, k = 6+z z z +6 } {{ } =: k λy i. γ j k j = y i +zy i k +zy i k = + z k + z k )y i Rz) = + hk + hk = z +6 z z +6. Offensichlich gil lim z Rz) =. Die Bedingung Rz) < für z = α+iβ mi α < is äquivalen zu z +6 < z z +6. Umformungen liefern z +6)z +6) < z z +6)z z +6) zz +z +z)+6 < z z zz +6z zz +6zz z +6z z +6 zz +z +z) < z z +zz z z)+6z +z ) z +z).

5 Daraus folg schließlich z α )+7α z α β ) < 8 z α+7α z α β +α +β ) < 8 z α+7α z α <, was wegen α < erfüll is. Dami is das Verfahren L-sabil. d) figure); hold on; box on; grid on; for k = :.: fce = [ abs6+*x+i*y))/6-*x+i*y)+x+i*y)*x+i*y)))-,numsrk)] ezplofce,[- ]) end ile Rx+iy) =k ) axis[- - ]); hold off; Rx+iy) =k 8 6 y x