Versicherungstechnik

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1 Operaions Research und Wirschafsinformaik Prof Dr P Rech // Marius Radermacher, MSc DOOR Aufgabe 30 Versicherungsechnik Übungsbla 9 Abgabe bis zum Diensag, dem um 10 Uhr im Kasen 19 Berachen Sie erneu die Arme-Leue-Versicherung aus Aufgabe 20, Übungsbla 06 a) Geben Sie für diese Versicherung das Deckungskapial zum Zeipunk = 0,1,, n an und skizzieren Sie schemaisch den Verlauf des Deckungskapials für diese Versicherung b) Begründen Sie diesen Verlauf und beureilen Sie, ob diese Versicherung von Versicherungsunernehmen angeboen werden solle (1 Punk) Lösungsvorschlag: a) Das Deckungskapial ha folgenden schemaischen Verlauf: ω x (T od) Im Vergleich zur klassischen Todesfallversicherung gil hier: LB = BB und BB = (T od) (T od) x LB Dami gil auch V x = V Wobei mi [] (T od) die Größen der klassischen Todesfallversicherung gemein sind Das Deckungskapial ha somi den oben beschriebenen Verlauf und is insbesondere zu keinem Zeipunk > 0 (Vergleich Übungsbla 06, Aufgabe 22) b) Über die Versicherung läss sich Folgendes feshalen: Der Eingang des Einmalbeirag ihv e is sicher, da er aus der Todesfallleisung der Todesfallversicherung resulier Allerdings is der Zeipunk zu dem die Zahlung erfolg unsicher Aus diesem Grund müssen die Renenzahlungen dem Kollekiv ennommen werden, da, im Gegensaz zur klassischen Renenversicherung, keine Ansparphase safinde Der Versicherungsnehmer bekomm also einen Kredi vom Kollekiv, der zum Zeipunk seines Todes mi der Beiragszahlung geilg wird

2 Daher gil für das Deckungskapial V x zu allen Zeipunken = 0,, ω x: V x 0 Kündig der Versicherungsnehmer den laufenden Verrag zum Zeipunk, so droh dem Versicherungsunernehmen ein Verlus ihv V x Aus diesen Gründen is es daher nich realisisch, dass die Arme-Leue-Versicherung angeboen wird Aufgabe 31 Erläuern Sie bie im Zusammenhang mi der Zerlegung der Beiräge B im ( + 1)-en Versicherungsjahr die Begriffe Risiko-Beirag und Spar-Beirag (Leien Sie diese Zerlegung auch aus der versicherungsechnischen Bilanzgleichung her!) Was versehen Sie uner riskierem Kapial im Zusammenhang mi Lebensversicherungen? Lösungsvorschlag: Es seien L ˆ= Leisung des VU im ( + 1)-en Jahr (bezogen auf den Jahresbeginn!) L (0) ˆ= sogenanne Verbleibensleisung, dh Leisung des VU zu Beginn des Versicherungsjahres, falls der VN diesen Zeipunk erleb (Erlebensfallleisung) L (1) ˆ= sogenanne Ausscheideleisung, dh Leisung des VU am Ende des Versicherungsjahres, falls der Versicherungsfall einri (Ausscheideleisung) Es gil: L = L (0) + q x+ L v +1 B ˆ= Beirag des VN zu Beginn des ( + 1)-en Versicherungsjahres Behaupung: B kann zerleg werden in zwei Aneile: B (s) Es gil: (versicherungsechnische Bilanzgleichung) Sparbeirag und B (r) Risikobeirag V x + B = L + p x+ +1 V x v +1 V x + B = L (0) + q x+ L (1) v +1 + p x+ +1 V x v +1 B = L (0) + q x+ L (1) v +1 + p x+ +1 V x v +1 V x B = L (0) + q x+ L (1) v +1 + (1 q x+ ) +1 V x v +1 V x B = L (0) + q x+ L (1) v V x v +1 q x+ +1 V x v +1 V x B = +1 V x v +1 V x + L (0) =B (s) R {}} ( { L (1) ) +1 V x v +1 =B (r) + q x+ Inerpreaion: Aus B (s) = +1 V x v +1 V x + L (0)

3 folg, dass ( B (s) + V x L (0) ) (1 + i +1 ) = +1 V x Beiragseil B (s) von B dien gerade dem Aufbau des Deckungskapials und zur Deckung der Ablaufleisung Außerdem: B (r) B (r) ( = q x+ L (1) ) +1 V x v +1 riskieres Kaipal ensprich gerade dem Beirag einer einjährigen Todesfallversicherung, die ein x + - Jähriger abschließ mi Versicherungssumme R = L (1) +1 V x R, das sog riskiere Kapial, is der Berag der von der Versicherengemeinschaf aufgebrach werden muss, um bei Tod des VN sein Deckungsbeirag aufzufüllen, dami Versicherungsleisung L (1) gezahl werden kann (1,5 Punke) Aufgabe 32 Es sei P x := b die Bezugsgröße für den Beirag im Thiele schen Gleichungssysem und es gele für den Beirag am Beginn des ( + 1)-en Jahres B = P x z für = 0,, n 1 mi dem Inensiäsvekor z = (z 0,, z n 1 ) T Es bezeichne V den sog Reservevekor, d h den Vekor der Unbekannen des Gleichungssysems mi V = (P x, 1 V x,, n 1 V x ) T Weierhin bezeichne RS = (RS 0, RS 1,, RS n 1 ) T den Leisungsvekor, d h es gil L 0 0 V x, = 0, RS = L, 1 n 2, L n 1 + p x+n 1 nv x v n, = n 1 Es sei abschließend die schon aus der Vorlesung für das Thiele sche Gleichungssysem bekanne Koeffizienenmarix P Ê n n definier mi z 0 p x v z 1 1 p x+1 v 2 0 P = 0 z n p x+n 2 v n 1 z n 1 0 Dann läss sich das Thiele sche Gleichungssysem kurz in der Form P V = RS schreiben Falls z 0 und für mindesens ein gil z > 0, dann gil de P 0 Das Gleichungssysem läss sich dann eindeuig lösen und es gil für den Reservevekor V = P 1 RS a) Wir berachen den Spezialfall einer Prämienzahlung in Form einer Einmalprämie zum Verragsbeginn Geben Sie bie für diesen speziellen Fall die Koeffizienenmarix ˆP des Thiele schen Gleichungssysems ˆP V = RS an Zeigen Sie, dass de ˆP = 1 gil

4 b) Im Fall der Einmalprämienzahlung ha der Resevevekor eine spezielle Gesal Es werde V in diesem Fall mi B := ( 0 B x, 1 B x,, n 1 B x ) T bezeichne Demnach gil ˆP B = RS bzw B = ˆP 1 RS Lösen Sie bie das Gleichungssysem ˆP B = RS und geben Sie die einzelnen Komponenen B x für 0 n 1 von B explizi (dh ohne Verwendung anderer B x ) an c) Zeigen Sie, dass uner der Annahme eines zeikonsanen Zinses für die -e Komponene von B gil: n B x = v k kp x+ L +k = 0,1,, n 1 d) Es sei eine Marix A Ê n n mi A := ˆP 1 P definier, so dass gil P = ˆP A Man definiere einen Vekor a := ( 0 a x, 1 a x,, n 1 a x ) T über die Gleichung ˆP a = z Zeigen Sie miels ˆP A = P, dass offenbar A die Gesal 0 0 1a x 1 0 A = n 1a x ha e) Lösen Sie analog zu b) das Gleichungssysem ˆP a = z und zeigen Sie analog zu c), dass gil a x = n 1 v k kp x+ z +k f) Welche wichige und bekanne Darsellung erhalen Sie, wenn Sie A V = B komponenenweise für = 0, 1,, n 1 aufschreiben? g) Welche bekanne Darsellung erhalen Sie, wenn Sie V = A 1 B komponenenweise für = 0, 1,, n 1 aufschreiben? h) Für die, die noch nich genug haben: Zeigen Sie abschließend, dass für die Deerminane von P gil de P = n 1 =0 v p x z 0, d h die Deerminane von P ensprich genau dem Prämienbarwer für P x = 1 Lösungsvorschlag: Gegeben: P x := b sei Beirag, B = (B 0, B 1,, B n 1 ) mi B = P x z sei Beiragsvekor mi B als Beirag zu Beginn des ( + 1)-en Jahres, wobei z = (z 0,, z n 1 ) T sogenanner Inensiäsvekor für die Beiragszahlung V = (P x, 1 V x, 2 V x,, n 1 V x ) T sei sogenanner Reservevekor,

5 RS = (RS 0, RS 1,, RS n 1 ) T sogenanner Leisungsvekor mi L 0 0 V x, = 0 RS = L, 1 n 2 L n 1 + p x+n 1 n V x v n = n 1 (dabei sind 0 V x, n V x vorgegeben und RS für 0 n 1 bekann) Abschließend sei P Koeffizienenmarix des Thiele schen Gleichungsysems mi z 0 p x v z 1 1 p x+1 v 2 0 P = 0 z n p x+n 2 v n 1 z n 1 0 gegeben Gesuch is: V = (P x, 1 V x, 2 V x,, n 1 V x ) T als Lösung von P V = RS a) Spezialfall für Prämienzahlung Einmalprämie: z = (1,0,,0) T 1 p x v 1 0 p x+1 v 2 ˆP = 1 1 px+n 2 v n Weil ˆP eine obere Dreiecksmarix is, gil de ˆP = ni=1 ( ˆP) ii = n i=1 1 = 1 b) Aufgrund der Dreiecksgesal von ˆP mi (1, 1) T -Vekor als Diagonale läss sich die Lösung B x rekursiv ablesen: Beginne mi = n 1 n 1B x = RS n 1 = L n 1 + p x+n 1 nv x =L n v n n 2B x = p x+n 2 v n 1 n 1 B x + RS n 2 = p x+n 2 v n 1 p x+n 1 nv x v n + p x+n 2 v n 1 L n 1 + L n 2 n 3B x = p x+n 3 v n 2 n 2 B x + RS n 3 = p x+n 3 v n 2 p x+n 2 v n 1 p x+n 1 v n nv x + p x+n 3 v n 2 p x+n 2 v n 1 L n 1 + p x+n 3 v n 2 L n 2 + L n 3 B x = p x+ v B x + L 1B x = p x+1 v 2 2 B x + L 1 0B x = p x v 1 1 B x + L 0 0 V x

6 also: = n 1: + 1, 0: B x = n Beweis (der Richigkei dieser Formel): n 1B x = 1 L k+ v (+k) L k+n 1 v (n 1+k) n 1 kp +x = LB kp n 1+x = L n 1 v (n 1) n 1 0p n 1+x +L n v (n) n 1 1p n 1+x =1 = L n 1 + L n v n p n 1+x B x = p x+ v B x + L ( n 1 ) = p x+ v +1 L k++1 v (+1+k) +1 kp +1+x ( n ) = p x+ v +1 L k+ v (+k) +1 kp +1+x + L k=1 ( n ) = L k+ v (+k) +1 v +1 kp +1+x p x+ + L k=1 n = L k+ v (+k) kp +x + L WICHTIG: Rekursive Berechnungsmöglichkei der Leisungsbarwere! ideal für eigene Implemenierung c) Nach b) gil für n B x = L k+ v k kp +x d) Berache ˆP A = 1 p x v 1 0 p x+1 v 2 px+n 2 v n 1 a spalenweise mi ˆP a = z = z p x v p x+1 v 2 0 px+n 2 v n 1 = P

7 e) Berache ˆP a = z: 1 p x v 1 0 px+n 2 v n 1 1a x n 1a x = z 0 z 1 z n 1 Wegen Dreiecksgesal is Lösung wieder direk ablesbar Beginne in n-er Zeile: n 1a x = z n 1 n 2a x = p x+n 2 v n 1 n 1 a x + z n 2 a x = p x+ v a x + z = p x v 1 1 a x + z 0 Beache: Wiederum Rekursionsformel für den Leibrenenbarwer ideal für Programmierung! Rekursives Einsezen ergib für a x : a x = p x+ v a x + z = p x+ v +1 z +1 + p x+ p x++1 v +1 v a x + z 2p x+ = z + 1 p x+ v +1 z p x+ v +1 v a x = usw Bei zeikonsanem Zins v = v = v +1 = = v n folg n 1 a x = z + kp x+ v k z +k (1) = n 1 k=1 (1) folg, weil 0 p x+ = 1, v 0 = 1 gil kp x+ v k z +k = gewicheer Barwerfakor f) Schreibe A V = B komponenenweise: Mi B = ( 0 B x, 1 B x,, n 1 B x ) T und V = (P x, 1 V x,, n 1 V x ) T folg: P x = 0 B x a x P x + V x = B x n 1a x P x + n 1 V x = n 1 B x

8 Dies is für = 0,, n 1 genau die Definiion vom (prosp) Deckungskapial V x = B x Leisungsbarwer in x+ zuk Leisungen P x a x Beiragsbarwer zuk Beiräge g) Schreibe V = A 1 B komponenenweise Bilde Inverse A 1 durch elemenare Zeilenumformungen: A 1 1 a x = n 1 a x V = A 1 B ergib 0B x = P x 0 B x a x + B x = V x 0 B x n 1 a x + n 1 B x = n 1 V x Für = 1,, n 1 erhalen wir wiederum die Definiion des Deckungskapials: V x = B x Leisungsbarwer in x+ 0B x =: P x ( = 0) Beiragsbarwer in x+ a x Anmerkung zur Lösbarkei: A 1 B = V lösbar wegen de A 1 = 0 a x 0 Weierhin gil (vgl h)) de }{{ P } = de A = 0 a x 0 de( ˆP A) h) de P = de( ˆP A) = de ˆP n 1 e) de A = 1 = kp x v k >0 z k 0 alle 0, mind eins > 0 (5,5 Punke)