Versicherungstechnik

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1 Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Marius Radermacher, M.Sc. DOOR Aufgabe 9 Versicherungstechnik Übungsblatt 3 Abgabe bis Dienstag, dem um 10 Uhr im Kasten 19 Ihnen liegt eine sog. Ausscheideordnung vor, die den Abbau einer bestimmten Personengesamtheit beschreibt. Im Speziellen wird hier nur der Austritt auf Grund der Ausscheideursache Tod betrachtet. a) Beschreiben Sie bitte kurz, was die abgebildeten biometrischen Größen, d x, q x, p x und e 0 x bedeuteten und wie sie sich berechnen lassen. b) Zeigen Sie, dass für die Größe n p x, welche die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein x-jähriger Mann nach n Jahren noch lebt (sog. n-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit), gilt np x +n. Gehen Sie insbesondere auf die Werte 0 p x und 1 p x ein. c) Zeigen Sie rechnerisch, dass sich die Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger Mann innerhalb der nächsten n Jahre stirbt (sog. n-jährige Sterbewahrscheinlichkeit), ergibt als nq x 1 n p x. d) Wie lässt sich die Wahrscheinlichkeit n q x, als x-jähriger im Alter von x + n Jahren zu sterben (sog. um n Jahre aufgeschobene Sterbewahrscheinlichkeit) berechnen? Lösungsvorschlag: Eine Ausscheideordnung beschreibt den Schrumpfungsprozess einer Personengesamtheit (Kollektiv) durch verschiedene Ausscheideursachen. Zentrale Größen für Ausscheideordnungen sind Ausscheidewahrscheinlichkeiten Altersgrenze ω Beispiel: Ausscheideordnung mit einer Ausscheideursache (sog. einfache Ordnung) Ausscheideursache: Tod Ausscheidewahrscheinlichkeiten: Sterbewahrscheinlichkeiten q x man spricht von Sterbetafel a) biometrische Größen: ˆ Zahl von lebenden Männern des vollendeten Alters x ausgehend von einer Grundgesamtheit (d.h. l ) l 0, l 1,...,,..., l ω monoton fallend und l ω+1 0 (analog für Frauen l y )

2 d x ˆ Anzahl der als x-jährig Sterbenden, d.h. d x : +1 q x ˆ einjährige Sterbewahrscheinlichkeit, d.h. relative Häufigkeit als x-jähriger zu sterben, also im (x + 1)-ten Lebensjahr, d.h. q x : d x q x sog. Unfallbuckel x ungeklärtes Minimum p x ˆ einjährige Überlebenswahrscheinlichkeit, d.h. Wahrscheinlichkeit das (x + 1)-te Lebensjahr zu überleben, d.h. das Alter (x + 1) zu erreichen, dazu: p x 1 q x ( +1 1 d x l ) x+1 e 0 x ˆ erwartete zukünftige Lebenserwartung eines x-jährigen, d.h. wie lange lebt er im Durchschnitt noch über das Alter x hinaus e 0 x 1 ( l ω ) 1 t1 +t }{{} Warum? Berücksichtigung derjenigen, die im Alter x sterben - diese leben im Schnitt noch ein halbes Jahr. mittlere Lebenserwartung e 0 0 Folien Pressearchiv: 2004_06_01_SZ_Laengeres_Leben, 2004_06_17_SZ_Kuerzungen_bei_Privatrenten_stehen_bevor b) n-jährige Überlebenswahrscheinlichkeit

3 np x ˆ Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger die nächsten n Jahre überlebt mit Insbesondere gilt: np x : x+n 1 tx +1 +n p t p x p x+1 p x+2 p x+n 1 lx+2 +1 lx lx+n 1 +n 2 l n+n +n 1 1p x ˆ Wahrscheinlichkeit eines x-jährigen das nächste Jahr zu überleben, d.h. das Alter x + 1 zu erreichen 1 p x p x 0p x ˆ Wahrscheinlichkeit, dass der vollendete x-jährige das Alter x erreicht. Dies hat er bereits vollendet, also: 0 p x 1 c) n-jährige Sterbenswahrscheinlichkeit nq x ˆ Wahrscheinlichkeit, dass ein x-jähriger innerhalb der nächsten n Jahre stirbt nq x P(x-Jähriger verstirbt innerhalb der nächsten n Jahre, d.h. bis einschließlich im (x + n)-ten Lebensjahr) 1 P(x-Jähriger überlebt die nächsten n Jahre, d.h. erreicht das Alter x + n) 1 n p x ( 1 +n +n ) oder rechnerisch: nq x P(x-Jähriger verstirbt innerhalb der nächsten n Jahre, d.h. bis einschließlich im (x + n)-ten Lebensjahr) 0 p x q x + 1 p x q x p x q x n 1 p x q x+n 1 n 1 1 tp x q x+t n 1 n 1 +t [+t +t+1 ] 1 ( +n ) 1 n p x dx+t n 1 +t lx+t +t+1 +t l x +t

4 d) Um n Jahre aufgeschobene Sterbewahrscheinlichkeit. n q x P(x-Jähriger verstirbt im Alter x + n) P(x-Jähriger überlebt die nächsten n Jahre und stirbt im folgenden Jahr) P(x-Jähriger überlebt die nächsten n Jahre) P(stirbt im Alter x + n) n p x q x+n +n d x+n dx+n +n (4 Punkte) Aufgabe 10 Sie sind angestellt in der mathematischen Abteilung eines Versicherungsunternehmens. Um für die Tarifgestaltung die Berechnungen zu erleichtern, sollen einige wichtige einfache Barwerte von Leibrenten als neue Funktionen in Ihrem Berechnungsprogramm zur Verfügung gestellt werden. Insbesondere möchten Sie auf die umständlichen Summationen je Wert möglichst verzichten so weit das geht. Dazu definieren Sie : v x, N x : +t als diskontierte Zahl der Lebenden bzw. Summe der diskontierten Zahl der Lebenden. Weiterhin soll durch S x : N x+t die doppelt diskontierten Zahlen der Lebenden definiert werden. Leiten Sie bitte ausführlich her, wie Sie nun mit Hilfe der Kommutationszahlen für Versicherungen auf ein Leben und einer Ausscheideursache (, N x und S x ) die folgenden Ihnen aus Aufgabe 6 bekannten Barwerte darstellen können: a) Barwert ä x einer vorschüssig, lebenslänglich zahlbaren, sofort (mit dem Alter x) beginnenden Leibrente vom Betrag 1, b) Barwert a x bei nachschüssigen Zahlungen, c) Barwerte n a x bzw. n ä x für Leibrenten, die erst in n Jahren (also aufgeschoben) einsetzen, d) Barwerte a x, n bzw. ä x, n für Leibrenten, die sofort beginnend n Jahre lang gezahlt werden, e) Barwerte (Iä) x bzw. (Ia) x für lebenslänglich zahlbare, sofort (mit dem Alter x) beginnende Leibrenten, die jährlich um den Betrag 1 steigen. (5 Punkte)

5 Lösungsvorschlag: Definiere : v x N x : S x : +t N x+t sogenannte diskontierte Zahl der Lebenden sogenannte Summe der diskontierten Zahl der Lebenden sogenannte doppelt diskontierte Zahl der Lebenden insgesamt sogenannte Kommutationszahlen für eine Versicherung auf ein Leben und einer Ausscheideursache a) b) c) a x ä x N x t1 t1 N x+1 n ä x tn n a x tn+1 tp x v t +t +t v t vx ω x v x +t 1 tp x v t t1 +t v t +t v t +t v x+t v x +t v x+t ω (x+1) +t+1 v x+t+1 v x l x v x ω (x+n) N x+n tp x v t tp x v t... N x+n+1 ω (x+n) l (x+n)+t v (x+n)+t v x ω (x+n+1) t+np x v t+n t+n+1p x v t+n+1

6 d) ä x, n n 1 tp x v t ω x tp x v t ä x n ä x N x N x+n tn tp x v t N x N x+n n ω x a x, n tp x v t t1 t1 a x n a x N x+1 tp x v t N x+n+1 tn+1 tp x v t N x+1 N x+n+1 e) (Iä) x tp x v t (1 + t) ω x tp x v t + N x + 1 t tp x v t t +t v x+t 1 (N x ) 1 ω (x+1) (N x + +1+t ) 1 (N x + N x+1 + N x+2 + N x N ω ) 1 N x+t S x analog: (Ia) x t1 N x+t ω (x+1) S x+1 N (x+1)+t Aufgabe 11 Betrachten Sie die in einer der vorangehenden Aufgaben eingeführten Kommutationszahlen.

7 a) Gibt es eine anschauliche Interpretation für und für N x? b) Mit C x : v x+1 ( +1 ) v x+1 d x v x+1 q x bezeichnet man weitere Kommutationszahlen als die diskontierte Zahl der Toten. Finden Sie einen funktionalen Zusammenhang zwischen C x und, der ohne sonstige biometrische Größen formuliert ist. c) Die Kommutationszahlen lassen sich rekursiv berechnen. Bestimmen Sie für x {0,..., ω} bitte ausgehend von D 0 l 0 eine Rekursionsvorschrift für. d) Ermitteln Sie ebenfalls eine Rekursionsvorschrift für die summierte diskontierte Zahl der Lebenden N x mit x {0,..., ω}. Lösungsvorschlag: a) Kommutationswerte sind ausschließlich als rechentechnische Hilfsgrößen gedacht und besitzen keinerlei anschauliche Interpretation. b) Es gilt: C x : v x+1 ( +1 ) v x+1 v x+1 +1 v +1 c) Rekursionsvorschrift für D 0 l 0 D 1 l 1 v 1 D 2 l 2 v 2 l 2 l 1 l 1 D 3 l 3 v 3 l 3 l 2 l 2.. p x 1 1 v v 1 v 1 p 1 D 1 v v 2 v p 2 D 2 v d) Rekursionsvorschrift für N x N x +t ω (x 1) N x 1 1 D (x 1)+t 1

8 Alternativ: ω 0 ω N 0 D 0+t D t ω 1 ω ω N 1 D 1+t D t D t D 0 N 0 D 0 t1 }{{} N 0 ω 2 ω ω N 2 D 2+t D t D t D 0 D 1 N 1 D 1 t2 } {{ } N 1.. N x N x 1 1 (4 Punkte)