Versicherungstechnik

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1 Operations Research und Wirtschaftsinformatik Prof. Dr. P. Recht // Marius Radermacher, M.Sc. DOOR Aufgabe 20 Versicherungstechnik Übungsblatt 6 Abgabe bis zum Dienstag, dem um 10 Uhr im Kasten 19 Der 60-Jährige Herr Vogt besitzt eine lebenslange Todesfallversicherung. Die Leistungshöhe beträgt L = Euro. Herr Vogt ist seit kurzem pensioniert, hat keine Rücklagen gebildet und verfügt monatlich nur über sehr geringes Einkommen. Daher möchte er seine Situation durch eine sofortbeginnende Rentenversicherung verbessern. Da er über keine finanziellen Mittel verfügt, um die Beiträge dafür zahlen zu können, möchte er die Arme-Leute-Versicherung abschließen. Bei dieser speziellen Versicherung dient die Leistung seiner Todesfallversicherung als Einmalbeitrag für die sofortbeginnende Rentenversicherung. Natürlich wird der Beitrag erst im Todesfall bezahlt. a) Stellen Sie bitte eine Gleichung nach dem schwachen versicherungstechnischen Äquivalenzprinzip auf. Geben Sie dazu eplizit den Beitrags- und Leistungsbarwert an. b) Mit welcher jährlichen Rente kann Herr Vogt zusätzlich rechnen? Geben Sie bitte eine Formel für die Rentenhöhe R an und drücken Sie diese durch Kommutationswerte aus. (2 Punkte) Lösungsvorschlag: Das versicherungstechnische Äquivalenzprinzip fordert die Gleichheit des Beitrags- und Leistungsbarwerts: BB 0 = LB 0. Der Beitrag fällt in diesem Fall als Einmalbeitrag an und beträgt Euro. Die Zahlung findet jedoch erst im Todesfall statt. Damit entspricht der Beitragsbarwert dem Leistungsbarwert der lebenslangen Todesfallversicherung, die Herr Vogt bereits abgeschlossen hat. ω BB 0 = t=0 tp q +t v t = Ä = M D. Der Leistungsbarwert einer sofortbeginnenden Rente ergibt sich aus n 1 LB 0 = R ä, n = R tp v t. Aus a) folgt über die Gleichung LB 0 = BB 0 : t= Ä = R ä, n R = Ä ä, n R = M N.

2 Aufgabe 21 Geben Sie eine allgemeine Formel an, um aus der Jahresnettoprämie N P einer n-jährigen Risikolebensversicherung die Jahresnettoprämie NP a einer um m Jahre aufgeschobenen n-jährigen Risikolebensversicherung (Beginn der Aufschubzeit im Alter ) abzuleiten. Nehmen Sie dabei an, dass die Beitragszahlung in beiden Fällen identisch ist. Lösungsvorschlag: Gleiche Beitragszahlungsweise in den ersten n Jahren. Dann gilt für die Beitragsbarwerte: Und für die Leistungsbarwerte: NP ä, n = BB 0, bzw. NP a ä, n = BB0. a LB 0 = V S n A und LB a 0 = V S m n A mit n A = n 1 bzw. m n A = Da LB 0 = BB 0 und LB a 0 = BBa 0 folgt t=0 n 1 tp q +t v t+1 t=0 t+mp q +t+m v t+m+1 ä, n ä, n V S n A NP = V S n A NP = V S m n A NP α = V S m n A NP α NP a = NP m n A na und = NP M+m M +m+n M M +n (1,5 Punkte) Aufgabe 22 a) Was versteht man unter dem Begriff Deckungskapital bzw. Deckungsrückstellung in der Versicherungstechnik? Was unterscheidet das prospektive vom retrospektiven Deckungskapital? b) Wie verändert sich das Deckungskapital bei verschiedenen Versicherungstypen im Zeitablauf? Skizzieren Sie bitte (schematisch) den Verlauf des prospektiven Deckungskapitals (Nettobetrachtung) für eine reine Todesfallversicherung (mit konstanter Leistung), Kapitallebensversicherung (mit konstanter Leistung),

3 sofort beginnende Leibrente gegen (sofortige) Einmalzahlung, aufgeschobene Leibrente mit abgekürzter Beitragszahlung und sofort beginnende (lebenslange) Leibrente mit lebenslanger Beitragszahlung! c) Was verstehen Sie unter natürlicher Beitragszahlungsweise? Wie großist das Deckungskapital bei Vereinbarung dieser Zahlungsweise? d) Geben Sie bitte ein Beispiel einer Versicherung an, aus dem klar wird, weshalb natürliche Beiträge i. Allg. nicht verwendet werden. e) Interpretieren Sie die Fälle, falls t V pro > 0 bzw. t V pro Beiträge und Leistungen. Warum ist der Fall t V pro gewünscht? Lösungsvorschlag: < 0 für 0 < t n hinsichtlich der < 0 für Lebensversicherungen nicht Merke: Hat der VN in der Vergangenheit mehr bezahlt, so darf das VU diese Überschüsse nicht als Gewinne einstreichen, sondern muss sie als Guthaben des VN auf dessen Konto verbuchen. Der am Jahresbeginn auf dem Konto befindliche Betrag heißt Deckungsrückstellung bzw. Reserve oder Deckungskapital a) Deckungskapital (Nettobetrachtung): Für t = 0,1,2,..., n 1 seien bzw. BB t = n t 1 k=0 kp +t B k+t v (t+k) t sowie n t LB t = k=0 kp +t L k+t v (t+k) t BE t = t 1 k=0 kp B k r (k) t tp und definiert. Man unterscheidet: LE t = t 1 k=0 kp L k r (k) t tp Prospektives Deckungskapital: Beim prospektiven DK wird wie der Name sagt in die Zukunft geblickt. = LB t BB t tv pro Es wird gefragt: Was wird noch geleistet? Was wird noch eingezahlt?

4 Retrospektives Deckungskapital: Hier wird im Gegensatz zum prospektiven Deckungskapital in die Vergangenheit geschaut. tv retro = BE t LE t Die Fragen lauten: Was wurde bereits eingezahlt? Was wurde bereits geleistet? Mit LE t Leistungsendwert nach t Jahren und BE t Beitragsendwert nach t Jahren. Es gilt folgender Zusammenhang: (bei gleichen Rechnungsgrundlagen) tv pro = t V retro =: t V Achtung: Eine Unterscheidung zwischen den beiden Größen ist jedoch in der Realität nicht ohne Sinn: Im prospektiven DK gehen Schätzungen über das zukünftige Zinsniveau ein, die sich von Jahr zu Jahr ändern können (und insbesondere im Vorfeld falsch sein könnten). Im retrospektiven DK gehen nur fie, d. h. bekannte Größen ein. Dadurch kann es zu unterschiedlichen Deckungskapitalen bei den beiden Betrachtungsweisen kommen, wodurch die verschiedenen Begriffe gerechtfertigt sind. Anmerkung: in der privaten Krankenversicherung (PKV) wird das Deckungskapital Alterungsrückstellung genannt! b) Darstellung des Deckungskapitals im Zeitverlauf für verschiedene Versicherungstypen: reine Todesfallversicherung (mit konstanter Leistung) Kapitallebensversicherung - gemischte Versicherung (mit konstanter Leistung) VS n

5 sofort beginnende Leibrente gegen (sofortige) Einmalzahlung X um l Jahre aufgeschobene Leibrente mit auf k Jahre abgekürzter Beitragszahlung n k l n k l

6 l k n sofort beginnende (lebenslange) Leibrente mit lebenslanger Beitragszahlung tv = 0 t, denn L t = L und B t = B für alle t. Wegen LB 0 = BB 0 ist dann L = B und daher LB t = BB t für alle t. c) Natürliche Beitragszahlungsweise (Strenges Äquivalenzprinzip): Prämien B t, die zu Beginn von Periode t + 1 gezahlt werden, entsprechen stets den zu erwartenden diskontierten Leistungen für die entsprechende Periode. w t V = LB t BB t = 0 t Damit gilt das strenge Äquivalenzprinzip!, d.h. LB t = BB t Behauptung: Dies gilt genau dann, wenn t. B t = { Lt t < n 1 L n 1 + p +n 1 L n v n t = n 1 Hierbei entspricht L n genau der Ablaufleistung! Beweis: Übung! d) Weshalb werden natürliche Beiträge im Allgemeinen nicht verwendet: Beispiel: Risikoversicherung: V S = 1, Alter, Laufzeit n Jahre natürlicher Beitrag für VS 1 im 1. Jahr: B 0 = q v natürlicher Beitrag für VS 1 im t-ten Jahr B t = q +t v

7 natürlicher Beitrag ist proportional zur Sterblichkeit wegen Anstieg der Sterblichkeit im Alter impliziert das starken Anstieg der Beiträge hin zum Versicherungsende. (z.b. = 30, n = 35 B n 1 15 B 0 ) Dies ist unerwünscht! Beispiel: Erlebensfallversicherung: V S = S, = 30, n = 35 natürliche Beiträge haben zur Folge: B t = L t = 0, t = 0,1,..., n 2 L n 1 = 0 B n 1 = p +n 1 L n v n = p +n 1 S v n Im letzten Jahr ist die abgezinste erwartete VS als Beitrag aufzubringen! Versicherungscharakter geht hier verloren! Beispiel: Krankenversicherung hier: wegen steigenden Krankheitskosten im Alter ergeben sich steigende Beiträge über gesamte Laufzeit (d.h. i.d.r. bis zum Lebensende) Beiträge eplodieren. e) Fall 1: t V pro > 0 LB t > BB t, d.h. Deckungsrückstellung ist derjenige Teil des Leistungsbarwertes nach t Jahren, der nicht durch erwartete zukünftige Beiträge gedeckt wird. in Vergangenheit wurden mehr Beiträge an VU geleistet als zur Deckung der Risiken in den ersten t Jahren notwendig war. Fall 2: t V pro < 0 BB t > LB t, d.h. VN muss in den letzten (n t)-jahren noch Beiträge nachträglich für Leistungen bezahlen, die das VU in den ersten t Jahren bereits erbrachte. Achtung: t V pro < 0 nicht gewünscht, weil sogenannte Unterdeckung entsteht! Kündigt der VN den Vertrag, hat das VU Verlust in dieser Höhe! (3,5 Punkte) Aufgabe 23 Gegeben sei ein Versicherungstarif zu dessen Abschluss ein -Jähriger bei einer Laufzeit von n Jahren die über die gesamte Laufzeit gleich bleibende Nettoprämie P zu entrichten hat. Die Nettoprämie eines +t-jährigen, der in den Versicherungstarif nach t Jahren einsteigt, betrage P +t. Zeigen Sie für 0 < t n 1 die Gültigkeit der sog. Beitragsdifferenzformel, die besagt, dass folgender Zusammenhang für die Deckungsrückstellung im (t + 1)-ten Versicherungsjahr gilt: tv = (P +t P ) ä +t, n t.

8 Lösungsvorschlag: tv = LB t BB t Sei LB 0 der Leistungsbarwert eines -Jährigen, dann gilt tv = LBt BBt +t = LB0 P ä +t, n t +t = BB 0 P ä +t, n t = P +t ä +t, n m P ä +t, n t LB +t BB +t 0 auf den Beitrags- bzw. Leistungsbarwert in der Ver- Dabei beziehen sich 0 und sicherung des + t-jährigen. (1 Punkt)