Lebensversicherungsmathematik. Kurseinheit 3 Thielsche Gleichung und gemischte Versicherungen

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1 Lebensversicherungsmathematik Kurseinheit 3 und gemischte Versicherungen 1

2 Inhalt Topic Gemischte Lebensversicherung (Endowment) Lernziel Ökonomie der gemischten Lebensversicherung Prämien und Reservekalkulation Thielsches Gleichungssystem Thielsches Gleichungssystem als Grundlage für die Prämien- und Reservekalkulation im Falle allgemeiner Versicherungsleistungen (für Erlebenund Tod) Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Thielschen Gleichungssystems unter Randbedingungen Zillmerung und Kostenmodelle Zillmerung von Abschlusskosten: Behandlung in der Thielschen Gleichung Gezillmerte Prämien und Reserven Modellierung von Verwaltungskosten Zum Nachlesen: Recht , Gerber 3-5 (Auszüge), 6.3 und 10 ergänzend auch Koller

3 Thema (i) Topic Gemischte Lebensversicherung (Endowment) Lernziel Ökonomie der gemischten Lebensversicherung Prämien und Reservekalkulation Thielsches Gleichungssystem Thielsches Gleichungssystem als Grundlage für die Prämien- und Reservekalkulation im Falle allgemeiner Versicherungsleistungen (für Erlebenund Tod) Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Thielschen Gleichungssystems unter Randbedingungen Zillmerung und Kostenmodelle Zillmerung von Abschlusskosten: Behandlung in der Thielschen Gleichung Gezillmerte Prämien und Reserven Modellierung von Verwaltungskosten 3

4 Gemischte Lebensversicherung - Vertragskonzept Kombination eines Spar- und einen Risikoprozess in einem einheitliche Vertrag (engl. Endowment) Vertrag über n Jahr. VN spart mit gleichmäßigen Beiträgen über die Laufzeit einen Zielbetrag an (typisch die Versicherungssumme SI) und erhält gleichzeitig einen Risikoschutz für Hinterbliebene. Sparbeiträge werden mit einem garantierten Rechnungszins verzinst, VN hat Anspruch auf Beteiligung am Mehrertrag aus Zinseinkünften (Gewinnbeteiligung) Historische extrem erfolgreiches Modell, passend zum Gesellschaftsbild und Wirtschaftsmodell der 60er Jahre; historisch das Standardprodukt der LV Branche bis in die späten 90er Jahre (UK, US nur bis in die 80er) Mathematische Argumente: SaR sinkt über die Laufzeit => signifikante Reduktion der Bedarfsprämie für den Risikoschutz (Kompensation für steigende q x ) Var (Π Endowment ) < Var (Π Term Life ) + Var (Π pure saving ) Gewinnbeteiligung dient als faktischer Inflationsausgleich 4

5 Endowment Kalkulatorische Grundlage Prämienzahlung Jährlicher fester Beitrag P End für Spar- und Risikoanteil für alle Periode t = 1...n Versicherungsleistung: Sum Insured alternativ zahlbar entweder im Erlebensfall (bei Ablauf im Jahr n) Tod rechnerisch zum Ablauf der betreffenden Versicherungsperiode Prämienzerlegung + Übergangsgleichung: Kalkulation identisch wie bei Level Term Life: Prämienzerlegung Übergangsgleichung P End = q x+t-1 * SaR (t) + P Spar (t) Reserveentwicklung Res (t) = (1+i) * [ Res(t-1) + P End q x+t-1 v ( SI - Res (t) ) ] Äquivalent mit p x+t-1 Res (t) = (1+i) * [ Res(t-1) + P End ] q x+t-1 SI (1 - q x+t-1 ) = p x+t-1 5

6 Endowment Numerisches Beispiel Musterpolice: VP ist eine Frau, Alter 30, SI , n = 30 Jahre Rechnungszins i = 1 % Numerische Beispiel Jahresbeitrag 2826 EUR Beitragszerlegung Endowment (1% Rz) 6

7 Endowment Reserveverlauf Reserveverlauf für die Thielschen Gleichung der Musterpolice Alternative Reservekalkulation bei gleicher Prämie (2826 EUR) und erhöhtem Rechnungszins von 4% 7

8 Thema (ii) Topic Gemischte Lebensversicherung (Endowment) Lernziel Ökonomie der gemischten Lebensversicherung Prämien und Reservekalkulation Thielsches Gleichungssystem Thielsches Gleichungssystem als Grundlage für die Prämien- und Reservekalkulation im Falle allgemeiner Versicherungsleistungen (für Erlebenund Tod) Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Thielschen Gleichungssystems unter Randbedingungen Zillmerung und Kostenmodelle Zillmerung von Abschlusskosten: Behandlung in der Thielschen Gleichung Gezillmerte Prämien und Reserven Modellierung von Verwaltungskosten 8

9 Thielsches Gleichungssystem Prämien- und Reservekalkulation auf Basis des Thielschen Gleichungssystems: Anfangsbedingung Res (0) = 0 Finale Bedingung Res (n) = 0 (Term Life) = SI (Endowment) Übergangsgleichungen Res (t) = v -1 (p x+t-1 ) -1 ( Res(t-1) + P q x+t-1 v SI ) n+2 lineare Gleichungen: n Übergangsgleichungen + 2 Randbedingungen affines Gleichungssystem in Sub-Diagonalform n+2 unbekannte Res(t), t = 0... n sowie Beitrag P Gleichungssystem besitzt eine eindeutige Lösung Bestimmung durch ein analytisches Verfahren, typischerweise rekursiv Bestimmung mit numerischen Methoden (relevant bei komplexeren Systemen) Definition: Bei gegebener Prämie P und Versicherungssumme SI wird die aus der Übergangsgleichungen bestimmte Reserve auch retrospektiv kalkulierte Rückstellung genannt. 9

10 - allgemeiner Fall Verallgemeinerte Prämienzahlung: Jährlicher Beitrag P allg (t) = P 0 * π(t) mit vertraglich fixiertem Verlauf, z.b. Versicherung gegen Einmalbeitrag, d.h. P(t) = P EB zu Vertragsbeginn (t=1) und 0 danach; abgekürzte Beitragszahlung π(t) = 1 für t = 1...k, und 0 für t=k+1; Beitragsdynamik π(t) = (1+Faktor) t-1. Allgemeine Versicherungsleistung: Leistungsspektrum L(t) abweichend von fester Versicherungssumme SI gleichermaßen für Erlebens- und Todesfall vertraglich fixiert, z.b. Beispiele: Restschuldversicherung, L(t) = Wert eines ausstehenden Darlehen, vereinfacht L(t) linear fallend über die Vertragsdauer; Endowment mit erhöhter Todesfall-Leistung Zusätzliche Elemente (in der Praxis): Kosten: Gebühren für Verwaltungs- und Abschlusskosten werden vorschüssig entnommen Überschuss: Den Reserven wird nachschüssig eine Überschussbeteiligung gutgeschrieben 10

11 Thielsches Gleichungssystem allgemeiner Fall Prämien- und Reservekalkulation auf Basis des Thielschen Gleichungssystems: Anfangsbedingung Res (0) = 0 Finale Bedingung Übergangsgleichung Res (n) = L Erleben (n) Res (t) = v -1 (p x+t-1 ) -1 { Res(t-1) + P allg (t) Kosten(t) q x+t-1 v L Tod (t) - p x+t-1 v L Erleb (t) + p x+t-1 v Übersch. (t) } Bei festem Leistungsspektrum L(t) = L Erleb (t) + L Tod (t) affines Gleichungssystem in Sub- Diagonalform mit n+2 unbekannte Res(t), t = 0... n sowie normiertem Beitrag P 0 Gleichungssystem besitzt eine eindeutige Lösung Bestimmung durch ein analytisches Verfahren, typischerweise rekursiv Bestimmung mit numerischen Methoden (relevant bei komplexeren Systemen) 11

12 Thielsches Gleichungssystem - Zeitmodell Dem erweiten Thielschen Gleichungssystem wie auch anderen aktuariellen Berechnungen liegen i.d.r. folgende Konventionen zum Zeitmodell zu Grunde VN-Sphäre P L(t) im Todesfall Res(t-1) P Risk (t) virtuelle Entnahmen Versicherungsjahr t Kosten (i.d.r. vorschüssig) Zins i Überschuss VU-Sphäre Res (t) im Überlebensfall SI Res(t) im Todesfall (virtuelle Zuführung) Alter x+t der VP bezieht sich auf das Alter zu Periodenbeginn Prämienzahlung und Entnahme von Risikoprämien aus der Reserve zu Periodenbeginn Versicherungsleistungen fällig jeweils zum Periodenende Kostenentnahmen wahlweise entweder zu Periodenbeginn oder Periodenende Überschusszuweisung zur Reserve traditionell zu Beginn der Folgeperiode ( Beiträge aus der Beitragsrückerstattung ). Alternativ zu Periodenende nach Schadenzahlung. 12

13 Allgemeine gemischte Lebensversicherung Numerische Beispiele Abgek. Beitragszahlung k=20, L Tod =100,000 Vertrag mit Dynamik (3%) L Tod =L Erleben L Tod =200,000, L Erl =100,000, P = 3077 Restschuld_Endowm(Basis ) P =

14 Thema (iii) Topic Gemischte Lebensversicherung (Endowment) Lernziel Ökonomie der gemischten Lebensversicherung Prämien und Reservekalkulation Thielsches Gleichungssystem Thielsches Gleichungssystem als Grundlage für die Prämien- und Reservekalkulation im Falle allgemeiner Versicherungsleistungen (für Erlebenund Tod) Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des Thielschen Gleichungssystems unter Randbedingungen Zillmerung und Kostenmodelle Zillmerung von Abschlusskosten: Behandlung in der Thielschen Gleichung Gezillmerte Prämien und Reserven Modellierung von Verwaltungskosten 14

15 Zillmerung Ökonomie: Der Abschluss eines LV-Vertrags ist mit erheblichem Aufwand verbunden Aktiver Verkauf, Push-Produkt (speziell Endowment) => hohe Vertriebskosten Risikoprüfung Zillmerung (Definition) Berücksichtigung (pauschalisierter) Abschlusskosten bei Vertragsbeginn, bei weiterhin konstanter Prämie (keine Ab-Front Kosten) Gezillmerte Prämie P Zil = Prämie erhöht um einen Anteil zur Tilgung der vorab angefallenen Abschlusskosten Gezillmerte Reserve Res Zil (t) = Reserve die sich aus der Zillmerung ergibt Thielsches Gleichungssytem (gezillmert) In der Logik des Thielschen Gleichungssytems ist die Zillmerung eine triviale Veränderung der Anfangsbedingung! Zillmerbedingung Res Zil (0) = - Abschlusskosten = - α * n * P Zil Finale Bedingung Res Zil (n) = 0 (Term Life) = SI (Endowment) Übergangsgleichungen Res Zil (t) = v -1 (p x+t-1 ) -1 ( Res Zil (t-1) + P Zil q x+t-1 v SI ) 15

16 Zillmerung von LPT Numerisches Beispiel Musterpolice: VP ist eine Frau, Alter 30, SI , n = 30 Jahre, Rechnungszins i = 1 %, Zillmersatz 12% (multipliziert mit Beitragssumme) Numerische Beispiel: Bedarfsprämie ohne Abschlusskosten P= 252 Gezillmerte Prämie P = 293 Reserve bleibt über 4 Jahre negativ Beitragszerlegung LPT Gezillmerte Reserve 16

17 Zillmerung von Endowments Numerisches Beispiel Musterpolice: VP ist eine Frau, Alter 30, SI , n = 30 Jahre, Rechnungszins i = 1 %, Zillmersatz 4% (multipliziert mit Beitragssumme) Numerische Beispiel: Bedarfsprämie ohne Abschlusskosten P= 2826 Gezillmerte Prämie P = 2961 Aufwand (> 1 Jahresprämie) belastet die Reserve in frühen Vertragsperioden erheblich Gezillmerte Reserve Anfäglicher Reserveverlauf 17

18 Kostenzuschläge Neben den Abschlusskosten (Zillmerung der Prämie) fallen laufende Verwaltungsund ggf. Risikokosten an. (Abweichung des tatsächlichen Vertragsverlaufs von der Bedarfsprämie) Kostendeckung durch die Prämie erfolgt konzeptionell auf 2 Arten Explizite Kostenzuschläge auf die Prämie bzw. Entnahme von Gebühren aus der Reserve Implizite Zuschläge (Risikozuschläge in den Annahmen zur Sterblichkeit sowie den Rechnungszins) Übliche Arten von Kostenzuschlägen Symbol Kostenart Entnahme Typischer Satz α Abschlusskosten in der Beitragssumme via Zillmerung 25 β Verwaltungskosten in % der Prämie aus Prämie 4.5% γ Res Verwaltungskosten in der Reserve aus Reserve 2 γ SI Verwaltungskosten in der Sum Insured aus Reserve 1.5 Κ Fixkosten in Euro aus Reserve 60 Sätze sind typisch für Endowment Policen I.d.R. Kombination der Sätze und spezielle Sätze für beitragsfreie Policen 18

19 Kurseinheit 3 - Übungsaufgabe Kostenmodelle Thielsches Gleichungssystem Erweitern Sie das ssystem (Übergangsgleichung) um die gem. Folie 19 Kostenmodelle: Diskutieren Sie quantitativ die ökonomischen Auswirkungen folgender alternativer Kosten-Ansätze für Endowment-Policen β = 4.5% oder γ Res =2.0 oder γ SI =0,8 oder K = 60 auf die Musterpolice In Anbetracht des planmäßigen Vertragsverlaufs, welche Kombination der Kostenparameter erscheint Ihnen ökonomisch als sinnvoll? 19