Ferienkurs Analysis I für Physiker WS 15/16 Aufgaben Tag 3. Aufgaben Tag 3

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1 für Physier WS 5/6 Reihen Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen onvergieren und die angegebenen Summen haben. Dabei is f die -e Fibonacci-Zahl a + = 4 Wir fassen die gegebene Reihe als Grenzwer der Folge ihrer endlichen Parialsummen mi oberem Summaionsindex N auf und dürfen für jede Parialsumme die geomerische Summenformel N q = qn+ q + N N, q anwenden: N + N N + N+ + N Da < und < geh der jeweilige Subrahend Somi ergib sich für den Grenzwer: + = 4 4 = = 4 s mi s := = Wir nuzen die Definion der ζ-funion ζ = >0 gerade Dami ergib sich bereis die Behaupung: = = >0 ungerade N+ N+ N+ + N+ N+ N+ 4 = = = 4 = = = =: s aus. = N+ bzw. 4 = s 4 >0 gerade = s s 4 = 4 s N+ gegen 0. Seie

2 Reihen für Physier 05/06 Nach einem wüsen Tringelage mi vergorenem Saf is die chinesische Schnece Ko-Shi in einen 4 m iefen Brunnenschach gefallen. Beim Versuch aus dem Schach herauszuleern schaff sie am ersen Tag einen Meer. Den zweien Tag eil sie sich in zwei Eappen ein, schaff pro Eappe aber nur q Meer 0 < q <. Am drien Tag schaff sie drei Eappen mi jeweils q Meern, am vieren Tag vier Eappen von jeweils q Meern ec. Die Schnece will naürlich in endlicher Zei am Brunnenrand anommen. Wie groã muss dann q mindesens sein? Tipp: Die Schnece hieß mi Nachnamen Plo-Dugd. Wie bereis durch den chinesischen Namen der Schnece angedeue, läß sich das Cauchy- Produ zweier geomerischer Reihen benuzen, um die Aufgabe schnell zu lösen: Die vom Boden des Brunnenschaches aus gemessene, bis zum n-en Tag zurücgelege Wegsrece beräg: n s n := + q + q + q + q + q + + n q n = + q Dies läß sich folgendermaßen darsellen: n s n = q 0 q 0 + q 0 q + q q 0 + q 0 q + q q + q q q j q n j n = q j q j Die Schnece erreich und überquer den Rand des Brunnens genau dann in endlicher Zei, wenn ein n N exisier, so daß s n 4 is. Für q is dies immer der Fall die Schnece überschreie späesens am drien Tag den Rand. Die Folge s n n N ensprich genau den Parialsummen des Cauchy-Produes der geomerischen Reihe q mi sich selbs. Aufgrund der absoluen Konvergenz von q für q < gil nach Produreihensaz: n q q = q j q j Da mi q 0 die Schnece is ja hoffenlich nich so berunen, daß sie in die falsche Richung riech alle Reihenglieder nich-negaiv sind, exisier ein n N mi s n 4 genau dann, wenn der Grenzwer der Folge s n n N, d.h. das obige Produ der geomerischen Reihe mi sich einen Wer > 4 ha. Für 0 q < ha man: n 4 < q j q j = q q = q q q < 4 q > Die Schnece muã also q > wählen, um in endlicher Zei aus dem Brunnenschach zu ommen bei q = würde sie dem Rand beliebig nahe ommen, ihn aber in endlicher Zei nie erreichen, bei q < bleib sogar ein Wegsüc übrig. Seie

3 für Physier WS 5/6 4 Seigei Sei f : R R definier durch, falls x oder x fx := 0, falls x = 0 +, falls + x N a Zeigen Sie, dass f in a = 0 seig is. Tipp: Es gil fx x Zunächs überleg man sich anhand der Funionsdefiniion, daß für alle x R ses fx x gil: Für x = 0 is dies lar 0 = 0 = f0. Für x oder x ebenfalls x = fx = fx. F r alle anderen x gil > x + = fx = fx. Dami is der Tipp explizi nachgewiesen. Die Funion f is in a = 0 seig, wie man leich miels eines ɛ δ-argumens einsieh: Zu vorgegebenem ɛ > 0 sez man δ := ɛ > 0. Für alle x R mi x = x 0 < δ gil nun offenbar: fx f0 = fx 0 = fx x < δ = ɛ Somi is f in a = 0 seig. Bemerung: Man beache, daß f an allen Sellen a = n, n Z \ {0} unseig is. Die Unseigeissellen häufen sich also bei 0, i.e. die Menge { n n Z \ {0} ha den Häufungspun 0. Trozdem is f bei a = 0 seig. 5 Differenzieren Leien Sie die folgenden Ausdrüce nach x ab: a fx = e ax sinωx + a f x = [e ax sinωx + a] = ae ax sinωx + a + ωe ax cosωx + a b fx = cossincosx = e ax a sinωx + a + ω cosωx + a f x = [cossincosx ] = x sinx coscosx sinsincosx = x sinx coscosx sinsincosx c Für welche a R + is die Funion f : R R, x x a sin f r x 0 und x f0 = 0 im Nullpun differenzierbar? Berechnen Sie gegebenenfalls die Ableiung. f fx f0 x a sin x x 0 0 x a x 0 x 0 x 0 x x 0 x sin x Es gil: sin x und dami is die obere Grenze nur dann definier, wenn a > f 0 = 0. Seie

4 6 l Hospial für Physier 05/06 Besimmen Sie die Grenzwere: a lim x ln x x anx b lim x 0 x c lim x sinhx coshx lim x ln x x /x x = anx lim x 0 x x 0 cosx sinx x x 0 cosx lim sinx = = x 0 x Mehrmaliges Anwenden von l Hospial führ uns nur im Kreis herum. Zur Besimmung des Grenzweres verwenden wir daher die Definiionen von sinh und cosh- sinhx lim x coshx e x e x e x x e x + e x x + e x = 7 Ableiungsregel von Leibniz a Beweisen Sie für n-mal differenzierbare Funionen f und g die Leibnizregel fg n x = Induionsanfang: n = Dies liefer die beanne Produregel. fg x = n f xg n x f xg x = f xgx + fxg x Induionsvoraussezung: Wir nehmen an, wir haben für alle n n gezeig: n fg n n x = f xg n x Induionsschluss: Wir zeigen n n + fg n+ x = fg n x n = f xg n x n = f + xg n x + f xg x n + Seie 4

5 für Physier WS 5/6 Eine Indexverschiebung im ersen Teil der Summe lifer: = f n+ xg 0 n x + + = = + f 0 xg n+ x n + + f xg n+ x b Berechnen Sie die Ableiung x e x 0 x e x 0 = 8 Inegraion a Berechnen Sie das Inegral: 8x + 0x + 64 d 0 x + 6 Forme zun chs den Bruch um: = = 6 = = 6 + = Subsiuiere nun im Inegral s = 6 ˆ64 ˆ d = 6s 7 ˆ s + ds = 6 π s 7 + s + + n f xg n + x s + ds e x s 7 = 6 7 s6 6 + s5 5 s4 4 + s s + s log s + = 6 log + 6 log b Unersuchen Sie das Inegral sin d auf Konvergenz. ˆ a ˆ a sin = + o a > 0 : sin a sin ˆ d divergier sin a divergier s= s= Seie 5

6 c Berechnen Sie das unbesimme Inegral Tipp: Zeigen Sie + = +. + Wir zerlegen den Inegranden und beommen: ˆ + d = ˆ + + d d + ˆ für Physier 05/06 = log + 6 log / d = log + 6 log + + arcan d Berechnen Sie das unbesimme Inegral arcand Einmaliges parielles inegrieren liefer: ˆ arcand = 4 4 arcan ˆ + 4 d + = 4 4 arcan Seie 6