Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik mit CAS 2015 Analysis A2 Ausbildungsrichtung Technik

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik mit CAS 2015 Analysis A2 Ausbildungsrichtung Technik"

Eike Simen
vor 5 Jahren
Abrufe

1 MK.7.05 B5_T_A MK_Loes.xmc Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mahemaik mi 05 Analysis A Ausbilungsrichung Technik.0 Gegeben sin ie reellen Funkionen f a : x --> x x x Definiionsmenge D fa R un a R. a mi er jeweils maximalen 5. Geben Sie ie maximale Definiionsmenge D fa an, besimmen Sie ie Ar er Definiionslücke in Abhängigkei von a. D a R \ { } Definiionslücke nur möglich, falls Nullselle x im Zähler: a 0 > a 0 + > Für a 0 gib es eine hebbare Definiionslücke bei x Für alle aneren Were von a gib es eine Unenlichkeisselle mi Vorzeichenwechsel bei x 7. Besimmen Sie in Abhängigkei von a ie Lage un ie Vielfachheien er Nullsellen von f a. x x a 0 auflösen a a oer x x () Fall: a 0 für a > Keine Nullselle a 0 D a ( a) () Fall: a 0 für a 0.5BE > Zweifache Nullselle ohne VZW bei x () Fall: a 0 für a 0.5BE (.) Fall: a 0 > Einfache Nullsellen mi VZW bei x a un x a (.) Fall: a 0 x x x ( x ) > Einfache Nullselle mi VZW bei x 0 Hebbare Definiionslücke bei x 7. Ermieln Sie für 0 < a as Monoonieverhalen er Funkion f a sowie ie Ar un ie Abszisse aller relaiven Exrempunke es Graphen von f a. Ohne Teilergebnis f( ax) : fs( a x) 0 x x a x auflösen a 0 a a fs( a x) : BE x f( ax) fs( a x) 0 auflösen x a a a 0 x bei x is eine Definiionslücke > Der Graph von f a is sreng monoon seigen in ] ; a] sowie in [ a; [ un sreng monoon fallen in [ a; [ sowie in ] ; a] Auser Mononie: seigen, ann fallen bei aun fallen ann seigen bei a > bei x ais ein HoP un bei x aein TiP. + 9BE

2 . Besimmen Sie für 0 < a ie maximalen Krümmungsinervalle es Graphen von f a. x fs( a x) a Zähler > 0 ( x ) Nenner < 0 für x > 0 für x BE > Der Graph von f a is rechsgekrümm in ] ; [ un linksgekrümm in ] ; [.5.0 Für a erhäl man ie Funkion f, ie im Folgenen mi f bezeichne, h. x x f (x) f( x) x.5. Besimmen Sie ie Gleichungen aller Asympoen es Graphen von f. Geben Sie auch ie Koorinaen er Exrempunke es Graphen von f an. Verikale Asy: x f( ) 0 f( ) HoP( 0 ) TiP( ) f( x) vereinfachen x > Schiefe Asy: y x x 5.5. Zeichnen Sie uner er Verwenung er bisherigen Ergebnisse un geeigneer Funkionswere en Graphen von f sowie sämliche Asympoen für x in ein karesisches Koorinaensysem. i 0 7 xw i i xw.5 yw f ( xw) xw yw f( x) TiP x HoP ++ 5 xx BE

3 .5. Der Graph von f un ie Winkelhalbierene es I. Quaranen schließen mi en Geraen bei x un x b mi b R un < b ein Flächensück ein. Kennzeichnen Sie ieses Flächensück in Ihrer Zeichnung aus.5. für b. Besimmen Sie ohne anschließen en Wer von b so, ass er Flächeninhal ieses Flächensücks ie Maßzahl ha. xw. f( xw) xw f( x) x xw xw x x Kennzeichnen Ab ( ) b f( x) x x x x b c x x ln x Ab ( ) ln( b ) ( ln( ) ) ln( b ) Ab ( ) ln( b ) e b b e b Gegeben is ie reelle Funkion g: x--> ln( f ( x) ) mi er Funkion f aus.5.0 un er maximalen Definiionsmenge D g R. 5. Begrünen Sie ohne weiere Rechnung, ass für ie Definiionsmenge D g gil: D g ] ; [. Unersuchen Sie weierhin ohne as Verhalen er Funkionswere g(x) an en Ränern er Definiionsmenge. ( x ) Zähler > 0 für x <> f( x) 0 > D ] ; [ gx ( ) ln( f ( x) ) x Nenner > 0 für x > x x ( x ) x gx ( ) x x ( x ) x gx ( ) 5. Besimmen Sie ohne ie Ar un ie Koorinaen es relaiven Exrempunks es Graphen er Funkion g. g ( x) [ Mögliches Teilergebnis: gs( x) f( x) f ( x) x ( x ) x x ] x x x ( x ) x x ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ++0.5BE x ( x ) ( x ) Einzige Nullselle un keine Definiionslücken in D, un Verhalen nach. > TiP bei x g ( ) ln ( ) ln( ) 0.5BE ln( ).89 TiP( ln() ) BE 8BE

4 . Begrünen Sie ohne Verwenung er. Ableiung von g, ass er Graph von g für x > minesens einen Wenepunk besiz. gs( x) : x x x gs( ) 0 un gs( ) un x gs( x) 0 ++ > g is seig in D, rechs von gib es ein Maximum von g' un somi einen Wenepunk von g..0 Um ie Ausbreiung von Borkenkäfern in bayerischen Wälern zu erforschen, wir er Befall eines ausgewählen Baumes über en Zeiraum von Monaen unersuch. Die Anzahl er in iesem Baum befinlichen Borkenkäfer kann näherungsweise urch en Term N () N 0 e λ mi, λ R un 0, λ 0 beschrieben weren, wobei N 0 ie Anzahl er Borkenkäfer zu Beginn es Beobachungszeiraums un ie Zei in Monaen ab Beobachungsbeginn is. Es is bekann, ass sich ie Anzahl er Borkenkäfer nach em ersen Mona verreifach ha un nach einem weieren Mona Borkenkäfer gezähl wuren. Alle Ergebnisse sin auf zwei Nachkommasellen zu runen, sofern nich aners geforer. Auf as Miführen er Einheien kann bei en Berechnungen verziche weren.. Besimmen Sie λ un N 0. Runen Sie abei N 0 auf eine ganze Zahl. : N 0 e λ NN 0 λ N 0 λ NN 0 λ NN 0 auflösen N 0 8 λ 0. BE Für ie folgenen Teilaufgaben gil: λ 0.0 un N Ab einem Befall von 50 Borkenkäfern gil er Baum als auerhaf geschäig. Berechnen Sie ohne en Zeipunk 0, zuem iese Anzahl ersmalig erreich is. 8 e > ln > 0 0 ln( 0) BE D D D 0 ln( 0) < 7.. Besimmen Sie ohne en Zeipunk max, zu em er Befall es Baumes am größen is. [ Mögliches Teilergebnis: N(). e 0. ( ) ] + 8 e 0. ( 0.) ( ). e 0. ( ) 0 BE < 0 0 > einzige Nullselle 0 für > HoP bei 5BE

5 .. 5. N besiz nur ie beien einfachen Nullsellen - +. (Nachweis nich erforerlich). Besimmen Sie en Zeipunk v, zu em sich ie Borkenkäfer am särksen vermehren. : N () Npp() : Npp() 0 auflösen.7 8. BE BE BE Np(.7) 78.9 >0 > Zunahme Np( 8.) 78.9 <0 > Abnahme BE 70 > v.7 nich verlang: N( )

6 -Befehle Mahca: x x a 0 auflösen x a a f( ax) fs( a x) 0 fs( a x) 0 x x a x fs( a x) x f( ax) vereinfachen annehmen a 0 x a a x auflösen x annehmen a 0 auflösen x a a a ( x )

7 x fs( a x) a ( x ) f( ) 0 f( )

8 gs( ) 0 gs( ) x gs( x) 0 N 0 e λ NN 0 λ N 0 λ NN 0 λ NN 0 auflösen N 0 λ 9 ln( ) ( ) 9 N () N( 8 0. )

9 N () Npp() h Npp() 0 auflösen

Ähnliche Dokumente

Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik 2015 Analysis A2 Ausbildungsrichtung Technik

MK 7 B_T_A_MK_Loesxmcd Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik Analysis A Ausbildungsrichtung Technik Gegeben sind die reellen Funktionen f a : x --> x x x Definitionsmenge D fa R und