A.24 Funktionsscharen 1

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1 A.4 Funkionsscharen A.4 Funkionsscharen ( ) Bemerkung: Im Buch Kurvenprobleme gib es viel Aufgaben zu Funkionen, die einen Parameer enhalen. Falls Sie hier also nich genug kriegen... A.4.0 Orskurven ( ) Was is überhaup eine Orskurve? Orskurven gib es nur bei Kurvenscharen. [Kurvenscharen sind Funkion mi einem Parameer drin.] Berachen wir `mal ein Beispiel: Es sei: f (x) = 3 x³+ x²+ 4 Nehmen wir `mal an, wir zeichnen diese Funkion für mehrere Were von. siehe rechs auf dieser Kurve liegen alle Hochpunke auf dieser Kurve liegen alle Wendepunke Für jedes erhäl man eine Funkion. Dami erhäl man für jedes einen Wendepunk, einen Tiefpunk, einen Hochpunk. [Vielleich erhäl man `mal auch keinen, aber das spiel hier keine Rolle]. Nun liegen all diese Punke nich irgendwie wild im Universum herum, sondern reihen sich schön aneinander enlang einer Kurve oder einer Geraden. Diese Kurve [Geraden gelen in Mahe auch als besondere Kurven] sind die Orskurven aller Wendepunke, Tiefpunke oder was auch immer. Orskurven zu berechnen is gar nich so schwer, wie sich das anfangs anhör. Ers `mal brauch man die Koordinaen des gesuchen Punkes in Abhängigkei von. Wenn man die Koordinaen des Punkes noch nich ha, is das die meise Arbei. Die Gleichung des x-wers des Punkes lös man nach auf und sez dies in die y-gleichung ein. f 3 (x) f (x) f (x) HÄÄ?? Bis die Formulierung perfek is, machen wir zum Versändnis ein paar Beispiele. Bsp. Es sei f (x) = 3 x³+ x²+ 4 mi >0. a) Besimmen Sie die Orskurve aller Hochpunke! b) Auf welcher Funkion befinden sich alle Tiefpunke von f (x)? c) Besimmen Sie den geomerischen Or aller Wendepunke!

2 A.4 Funkionsscharen Lösung: Für die drei Teilaufgaben brauchen wir zuers die Koordinaen von Hoch-, Tief- und Wendepunk [in Abhängigkei von ]. Auf die deailliere Berechnung hiervon möche ich aus Plaz- und Zeigründen verzichen. [Falls Sie wünschen, können Sie Hoch-, Tief- und Wendepunke gerne nachrechnen.] Für den Hochpunk von f (x) erhäl man: H ( 6 ³+ 4 ) Für den Tiefpunk von f (x) erhäl man: T ( 0 4 ) Für den Wendepunk von f (x) erhäl man: W ( ³+ 4 ) a) Der Hochpunk der Funkion lieg bei H ( 6 ³+ 4 ). Die Koordinaen des Punkes schreib man sich raus: x = - y = 6 ³+ 4 = -x in y: y = 6 ( x)3 +( x) 4 Vereinfachen und ferig is die Orskurve y = 6 x3 x 4 Die Gleichung mi x nach dem Parameer auflösen und in die Gleichung mi y einsezen. b) Der Tiefpunk der Funkion lieg bei T ( 0 4 ) In der x-gleichung komm kein vor! Dann is dieses die Orskurve aller Tiefpunke. x T = 0 Enhäl eine der Koordinaen des Punkes keinen Parameer, so is das auch schon die Orskurve. c) Der Wendepunk der Funkion lieg bei W ( ³+ 4 ). Die Koordinaen des Punkes schreib man sich raus: x = y = ³+ 4 = -x in y: y = ( x)3 +( x) 4 vereinfachen und ferig is die Orskurve y W = ( x)3 +( x) 4 = ( 8x³) x 4 y W = 3 x³ x 4 Bsp. Gegeben is die Funkion f (x) mi: f (x) = 0,5x 4 x 3 + x,5 a) Besimme die Orskurve aller Nullsellen. b) Besimme die Orskurve aller Tiefpunke. c) Besimme die Orskurve aller Hochpunke. d) Besimme die Orskurve aller Wendepunke.

3 A.4 Funkionsscharen 3 Lösung: a) Die Orskurve aller Nullsellen is naürlich die x-achse, da Nullsellen logischerweise immer auf der x-achse lieg. Da is keine Rechnung nowendig. b) Ers Tiefpunke ausrechnen: f' (x) = x³ 3x² + ²x f' (x) = 0 x³ 3x² + ²x = 0 x (x² 3x + ²) = 0 x =0 x² 3x + ² = 0 ( p-q-formel ) ( a-b-c-formel ) x² 3x +² = 0 x² 3x +² = 0 x,3 =+,5± (,5 ) = x,3 = 3± (3) 4 = =,5±,5² ² = = 3± 9² 8² = =,5± 0,5² = = 3± ² = =,5±0,5 = 3± x = x 3= y-were: y = f (0) = 0, ,5 = -,5² y = f () = 0,5 () 4 () 3 + (),5 = = ,5² = -,5² y 3 = f () = 0,5 () 4 () 3 + (),5 = = 0, ,5² = 0,5 4,5 gucken ob's ein Hoch- oder Tiefpunk is: f'' (x) = 3x² 6x + ² f'' (0) = 3 0² ² = ² > 0 T ( 0 -,5² ) f'' () = 3 ()² 6 +² = ² ²+² = ² > 0 T ( -,5² ) f'' () = 3 ()² 6 +² = 3² 6²+² = -² < 0 H( 0,5 4,5 ) Jez endlich geh s so richig mi der Orskurve los: Zuers die Orskurve von T ( 0 -,5² ): Im x-wer is kein drin, dami is x=0 die Orskurve. Jeder dieser Tiefpunke lieg also auf der y-achse, x = 0 Die Orskurve von T ( -,5² ): Den x-wer: x= [nach auflösen] =0,5x Der y-wer: y=-,5² [=0,5x einsezen] y=-,5 (0,5x) = 9 6 x² Die Orskurve aller Tiefpunke T laue also: y = 9 6 x²

4 4 A.4 Funkionsscharen c) Den Hochpunk haben wir bereis in b) berechne, die Berechnung der Orskurve geh daher schnell. Die Orskurve von H( 0,5 4,5 ): x= [nach auflösen] =x y=0,5 4 -,5² [=x einsezen] y = 0,5x 4,5x Die Orskurve aller Hochpunke H laue also: y = 0,5x 4,5x d) Tja.. Für die Orskurve aller Wendepunke, müssen wir zuers naürlich noch die Wendepunke berechnen: f'' (x) = 0 3x² 6x + ² = 0 f'' (x)=3x² 6x+² ( p-q-formel ) ( a-b-c-formel ) 3x² 6x+² = 0 : 3 3x² 6x+² = 0 x² x+ 3 ² = 0 x, = 6± (6) 4 3 x, =± ² 6± ² ² = = 3 6 = ± 6±3,46 ² 3 6 ±0,58 x =,58 x =0,4 y-were: f (,58) = 0,5 (,58) 4 (,58) 3 + (,58),5 = 0, 4,5 f (0,4) = 0,5 (0,4) 4 (0,4) 3 + (0,4),5 = 0, 4,5 gucken ob's asächlich Wendepunke sind: f''' (x) = 6x 6 f''' (,58) = 6,58 6 = 3,48 W (,58 0, 4,5 ) f''' (0,4) = 6 0,4 6 = -3,48 W ( 0,4 0, 4,5 ) Die Orskurve von W (,58 0, 4,5 ): x=,58 [nach auflösen] =0,633x y=0, 4,5 [=0,633x einsezen] y = 0,(0,633x) 4,5(0,633x) Die Orskurve aller Tiefpunke T laue also: y = 0,08x 4 0,90x Die Orskurve von W ( 0,4 0, 4,5 ): x=0,4 [nach auflösen] =,38x y=0, 4,5 [=,38x einsezen] y = 0,(,38x) 4,5(,38x) Die Orskurve aller Tiefpunke T laue also: y = 3,535x 4,756x Orskurven kann man naürlich nich nur von Hoch-, Tief- und Wendepunken berechnen, sondern auch mi irgendwelchen Schnipunken von zwei Funkionen und im Prinzip von jedem Punk, in dessen Koordinaen ein Parameer vorkomm. [ Im x-wer immer nach auflösen, in den y-wer einsezen... un ferig isch die Kurfe] 3 =

5 A.4 Funkionsscharen 5 A.4.0 Funkionsanalyse (von Hand oder mi GTR) ( ) Bsp.3 f (x) = x³+ x² 6x 0 a) Besimmen Sie f '(x), f ''(x) und f '''(x), zeichnen Sie f (x). b) Unersuchen Sie f (x) auf Symmerie. c) Besimmen Sie das asympoische Verhalen von f (x). d) Besimmen Sie die Nullsellen von f (x). Für welchen Wer von haben die beiden äußersen Nullsellen den Absand d=0? e) Besimmen Sie die Exrempunke von f (x). Für welchen Wer von ha der Hochpunk den y-wer y=4? f) Besimmen Sie den Wendepunk W von f (x). Für welchen Wer von lieg W auf der ersen Winkelhalbierenden? g) Besimmen Sie die Gleichung der Tangene an f (x) im Punk B( f () ). Für welchen Wer von ha diese Tangene die Seigung m=-? h) Besimmen Sie die Schnipunke von f (x) mi der Parabel p (x)=-x² 3x. Gib es einen Wer von, so dass es weniger als drei Schnipunke gib? i) f (x) schließ mi p (x) eine zweieilige Fläche ein. Besimmen Sie ihren Flächeninhal A(). Für welche Were von nimm die Fläche einen Inhal von 6(LE²) ein? j) Für welchen Wer von is die Seigung im Punk Ü(3 3 f(3 3)) minimal? k) Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunke? [=Orskurve aller Wendepunke] Besimme den Schnipunk dieser Kurve mi f (x). Lösung: a) Beginn: Ojeojeojeeh!! Ableiungen: f '(x) = 3 x²+ x 6 f ''(x) = 6 x + H y f '''(x) = 6 Für die Skizze von f (x) mach man am besen eine Wereabelle von f (x)=x³+x² 6x. [Die N,H,T,W erhäl man naürlich ers am Ende der Funkionsanalyse, also ers nach Teilaufgabe f) ] b) keine Symmerie erkennbar. [gerade und ungerade Poenzen vorhanden] - W N N N - x c) Verhalen für x ± [ wir sezen für den x-term mi der höchsen Poenz + bzw. - ein. Der Term / ineressier nich, denn es is nur irgendeine posiive T Zahl und änder nichs.] für x + f(x) + für x - f(x) [es gib offensichlich keine Asympoen]

6 6 A.4 Funkionsscharen d) Nullsellen: f (x) = 0 = 0 x ausklammern x ( x²+x 6² ) = 0 x =0 x²+x 6² = 0 ( p-q-formel ) ( a-b-c-formel ) x²+x 6² = 0 x²+x 6² = 0 x,3 = ± ² 4 +6² = ± 5² 4 ± ² 4 ( 6²) x,3 = = ± 5² = ±5 = ±5 x =-3 x 3= N (0 0) N (-3 0) N 3 ( 0) Nun sollen die beiden äußersen Nullsellen einen Absand von 0 (LE) haben. Die beiden äußersen Nullsellen sind N und N 3. Deren Absand is naürlich die Differenz der beiden x-were, also: d = (-3) = 5. Da der Absand 0 sein soll, gil 5=0 =. e) Exrempunke: f '(x) = 0 3 x²+ x 6 = 0 ( p-q-formel ) ( a-b-c-formel ) 3 x²+ x 6 = 0 3 x²+ x 6 3 = 0 x² + x ² = 0 3x²+x 6² = 0 3 x, = 3 ± ² 9 +² = 3 ± ² 9 +8² 9 = 3 ± 9² 9 ± ()² 4 3 ( 6²) x, = 3 = ± 4²+7² 6 = ± 76² 6 = ± 3 9 ± 76 = 9 6 = -0,33 ±,45 = ±8,7 6 x +, x -,79 Jez müssen wir wissen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunke handel. Dafür sezen wir schlauerweise den x-wer in f''(x) ein. Desweieren sezen wir den selben x-wer in f(x) ein um den y-wer zu erhalen.

7 A.4 Funkionsscharen 7 f ''(,) = 8,7 > 0 T (,? ) f ''(-,79) = -8,74 < 0 H(-,79? ) f(,) =... = -4,06² T (, -4,06² ) f(-,79) =... = 8,² H(-,79 8,² ) Der Hochpunk soll den y-wer y H=4 haben. Dami muss naürlich gelen: 8,²=4 ² 0,487 =±0,70 f) Wendepunke: f ''(x) = 0 6 x + = 0... x= 3 f '''( ) = 6 0 Wendepunk 3 f ( 3 ),08² W(-0,33,08² ) Der Wendepunk soll auf der ersen Winkelhalbierenden liegen. Nun weiß ja späesens sei dem Zeialers des Kindergarens wirklich jeder von uns, dass die erse Winkelhalbierende einfach die Gerade mi der Gleichung y=x is. Und weil wir so cool sind und das wissen, sezen wir jez noch die Koordinaen des Wendepunkes ein [logischerweise den x-wer für x und y-wer für y ]. y = x,08² = -0,33 Diese Gleichung lösen wir nach auf.,08² = -0,33 +0,33,08²+0,33 = 0 ausklammern (,08+0,33) = 0 =0,08+0,33 = 0,08 = -0,33 0,59 g) Die Tangene an f (x) in B( f (x)) berechnen wir über die Tangenengleichung. [der Weg über y=mx+b wäre naürlich auch möglich] y Tan = f'(u) (x u) + f(u) (hier: u=) y Tan = f'() (x ) + f() Wir brauchen f'(): f '() = 3 ²+ 6 = 3+ 6 = - sowie: f () = ³+² 6 = ²+² 6² = -4² beiden sezen wir in y Tan ein y Tan = - (x-)+(-4²) = -x+² 4² = -x 3² Nun soll diese Tangene die Seigung m= haben. Die Seigung der Tangene kann man ablesen. Wie bei jeder Geraden is es die Zahl (bzw. der Term) vor dem x. In diesem Fall is es also -. Es muss also offensichlich gelen: - = =-

8 8 A.4 Funkionsscharen h) Schnipunke berechne man naürlich immer, indem man die beiden Funkionen gleichsez. f (x) = p (x) x³+ x² 6x = -x² 3x x³+x² 6²x = -x² 3²x x³+x² 3²x = 0 x (x²+x 3²) = 0 x =0 x²+x 3² = 0 +x²+3²x ( p-q-formel ) ( a-b-c-formel ) x ausklammern x²+x 3² = 0 x²+x 3² = 0 x,3 = ± ² ( 3²) x,3 = ± () 4 ( 3²) = ± 4² = ± 4²+² = ± = ±4 x = x 3=-3 = ± 6² Wir haben drei x-were, also haben wir auch drei Schnipunke. Allerdings brauchen wir noch die zugehörigen y-were, die man ja bekannlich erhäl, indem man die x-were in eine der beiden Gleichungen einsez. [Ich seze sie in p (x) ein, das erschein mi einfacher.] y = p (x ) = p (0) = -0² 3 0 = 0 S ( 0 0 ) y = p (x ) = p () = -² 3 = -² 3² = -4² S ( -4²) y 3 = p (x 3) = p () = -(-3)² 3 (-3) = -(9²)+9² = 0 S 3(-3 0 ) Gib es einen Wer für, so dass es weniger als drei Schnipunke gib? Wir haben ja drei x-were erhalen. Dami es nun weniger Schnipunke geben soll, müssen z.b. zwei x-were gleich sein, also zusammenfallen. x =x 0= (=0 is jedoch [lau Aufgabensellung] nich zulässig) x =x 3 0=-3 =0 (auch wieder keine Lösung) x =x 3 =-3 4=0 =0 (k.lös.) Es gib keinen Wer für >0, so dass man weniger als drei Schnipunke erhäl! i) Um die Fläche zwischen zwei Funkionen zu berechnen, brauch man zuers die Schnipunke. Welch Glück, dass wir die bereis in der lezen Teilaufgabe berechne haben. (x =-3 x =0 x 3=) Jez brauchen wir naürlich noch das Inegral. (Im Inneren des Inegrals zieh man immer die unere Funkion von der größeren ab). Berachen wir die linke Teilfläche, die sich innerhalb der Grenzen x=-3 und x=0 befinde. Diese Fläche wird oben von f (x) begrenz und unerhalb von p (x). Also: 0 0 A = 3 f (x) p (x)dx = 3 ( x³+ x² 6x ) ( x² 3x) dx = [vereinfachen] = 0 = x³+ x² 6x + x²+3xdx = 0 3 x³+x² 3x dx = [inegrieren] = 3 =

9 A.4 Funkionsscharen 9 = [ 4 x4 + 3 x3 3 x 0 ] = [Grenzen einsezen] = 3 = [ ] 0 [ 4 ( 3)4 + 3 ( 3)3 3 ] ( 3) = [vereinfachen] = = [0+0 0 ] [ 4 (84 )+ 3 ( 73 ) 3 (9 ) ] = = 0 [ ] = 0 [ ] = Und hab ihr in eurem kurzen und langweiligen Leben jemals `was Schärferes, als diese Teilfläche gesehen? Naürlich nich! Weil's so schön war, berechnen wir noch die zweie Fläche. Bei dieser zweien Fläche lieg p (x) oberhalb und f (x) begrenz die Fläche am uneren Rand. Dami sieh's so aus: A = 0 p (x) f (x)dx = 0 ( x² 3x ) ( x³+ x² 6x )dx = [vereinfachen] = = 0 x² 3x x³ x²+6xdx = 0 x³ x² +3x dx = [inegrieren] = = [ x x3 + 3 x ] = [Grenzen einsezen] = 0 = [ ] [ ] 0 = [vereinfachen] = = [ ] = 7 3 Nun haben wir die beiden Teilflächen. Wissenschafliche Unersuchungen haben ergeben, dass man zwei Teilflächen addieren kann, wenn man eine große Fläche haben will. Diese herrlichen neuen Erkennnisse möchen wir uns naürlich nich engehen lassen und schreiben daher: A ges = A +A = = herrlich Für welche Were von nimm diese Fäche einen Inhal von 6(LE) ein? Na ja... wir sezen die Fläche A ges dann hal eben =6 A ges = = 6 6 7³ = 36 : 7 ³ 0,5 3 0,794 j) Ers mal ein paar kleine Infos vorab: Es gib in der Formulierung zwei wichige Sichwore: Seigung : das is immer die erse Ableiung der Funkion minimal : um Egal-Was minimal hinzukriegen, muss man es ableien und =Null sezen [oder das Minimum mi dem GTR berechnen lassen, sofern das erlaub is] Verlang is ja, dass die Seigung im Punk Ü minimal is. Wir machen das also so, dass wir zuers die Seigung im Punk Ü berechnen und uns ers späer dann um das minimal-zeug kümmern. Die Seigung der Funkion im Punk Ü: f '(x Ü) = f '(3 3) = 3 (3 3) + (3 3) 6 = [ausrechnen] =

10 0 A.4 Funkionsscharen = 3 (9² 8+9) = 7² = = So. Nun haben wir die Seigung im Punk Ü. Diese nennen wir m() und die soll jez minimal sein. Also brauchen wir das Minimum von m()= , welches man immer berechne, in dem man die Ableiung des Terms =0 sez. Wir werden also die Ableiung nochmal ableien und Null sezen! Um das Minimum von m()= zu berechnen, schreiben wir m() noch kurz um: m() = m'() = 7+(-) 7 - = 7 7 ² m'() = ² = 0 ² 7² 7 = 0 +7 : 7 ² = = ± So. Die Were von haben wir. Jez sollen wir nur noch wissen, ob da ein Maximum oder ein Minimum vorlieg. Dafür müssen wir diese beiden Were von in die zweie Ableiung von m() einsezen. m'() = 7 7 ² = [umschreiben] = 7 7- m''() = 0 7 (-) -3 = 54-3 = 54 ³ m''() = 54 =54 > 0 Minimum bei =+ m''(-) = ³ 54 ( )³ = -54 < 0 Maximum bei = Mi einem GTR könne man von 7+ 7 / 60 das Minimum auch direk im Grafikmenü berechnen! Man würde sofor = erhalen. Die Anwor: Der gesuche Wer für wurde bei = gefunden, weil da ein Minimum der Seigung vorlieg. Jez is alles wieder gu! k) Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunke? Ganz gleich ob nach der Orskurve von einem Wendepunk, Hoch- oder Tiefoder irgendeinem Schnipunk gefrag is, man wende immer den gleichen Trick an: Zuers brauch man x- und y-wer von diesem Punk. In unserem Fall haben wir das schon: W(-0,33,08² ) Wir schreiben noch `mal raus: x-wer: x = -0,33 y-wer y =,08² Nun lösen wir in der x-gleichung nach auf. x=-0,33 = -3x 0,33 Dieses sezen wir die y-gleichung ein y=,08 (-3x) = +8,7x² Das war's auch schon. Alle Wendepunke liegen auf der Kurve: y=8,7x²

11 A.4 Funkionsscharen Die Frage nach dem Schnipunk der Orskurve mi der Funkion f (x) is naürlich eine Scherzfrage, denn: die Orskurve is ja die Kurve auf der alle Wendepunke der Funkion liegen. Diese Kurve ha ja logischerweise mi f (x) alle Wendepunke gemeinsam! Also müssen die Wendepunke auch die Schnipunke sein. Die gesuchen Schnipunke sind: W(-0,33,08² ) Bsp.4 Ein hochbezahler Mahemaiker soll eine fuurisische Funkion konzipieren. Sein wirklich alle überzeugendes Resula is dieses: f (x) = 0, (x+3) (x ) a) Zeichnen Sie f -9(x), f -6(x), f -3(x), f 0(x) und f 3(x). b) Für für welche Were von besiz f(x) nur eine Nullselle? c) Für welche Were von, lieg der Hochpunk von f (x) auf der x-achse? d) Für welchen Wer von, lieg der Wendepunk auf der y-achse? e) Für welchen Wer von >0, schließ f (x) mi der x-achse eine Fläche mi dem Inhal von 5 [FE] ein? f) Eine quadraische Parabel ha die gleichen Nullsellen wie f 6(x) und schließ mi der x-achse auch noch den gleichen Flächeninhal ein. Besimmen Sie die Gleichung dieser Parabel. g) Eine Gerade g geh durch den Tiefpunk von f -9(x) und ha mi f -9(x) einen einzigen weieren Berührpunk gemeinsam. Besimmen Sie die Gleichung von g! Lösung a) Skizze: Ich glaube, fünf Funkionen mi dem Taschenrechner zu zeichnen, wird Sie nich unbeding überfordern. Mi dem GTR is es sehr einfach. Ohne GTR muss man fünf Wereabellen machen, Das is zwar aufwändig, aber inellekuell nich höchses Niveau. Aufgaben, in denen Ihr zeichnen müss, sind meis auch nur ein Wink mi dem Zaunpfahl, dami Ihnen ewas für die nächsen Teilaufgaben auffäll. b) Nullsellen: Wir berechnen einfach 'mal die Nullsellen und lassen uns überraschen. f (x) = 0 0, (x+3) (x ) = 0 (x+3) = 0 (x ) = 0 x+3 = 0 x = x = -3 f -9 (x) f -6 (x) f -3 (x) f 0 (x) f 3 (x)

12 A.4 Funkionsscharen Man erhäl offensichlich immer zwei x-were. Die einzige Möglichkei, dass es nich zwei verschiedene Nullsellen sind, is, wenn =-3. Dann fallen beide Nullsellen zusammen. [Übrigens haben Sie ja genau diese Funkion bereis gezeichne!] c) Exrempunke (Hochpunk auf der x-achse): Wenn man diese Teilaufgabe rechnerisch lösen will, wird man al und grau. Dafür sind die Zeichnungen gu. Es solle Ihnen auffallen, dass für alle <-3 im Punk (-3 0) ein Tiefpunk is und für alle >-3 bei (-3 0) der Hochpunk (welcher naürlich auf der x-achse lieg [y=0]). Also: Für <-3 lieg der Hochpunk links von x=-3 und oberhalb der x-achse. Für >-3 lieg der Hochpunk immer bei (-3 0). Die Anwor laue also: Für <-3 lieg der Hochpunk immer auf der x-achse. d) Wendepunk: Hier kann man nichs mehr aus der Zeichnung erkennen, wir müssen rechnen. Wenn der Wendepunk auf der y-achse liegen soll, muss sein x-wer = 0 sein. Wir brauchen also die Koordinaen vom Wendepunk, also f''(x) = 0 sezen. f (x) = 0, (x+3) (x ) = 0, (x²+6x+9) (x ) = 0, (x³+6x²+9x x² 6x 9) = 0,x³+,x²+,8x 0,x²,x,8 f '(x) = 0,6x²+,4x+,8 0,4x,4 f ''(x) =,x+,4 0,4 f ''(x) = 0,x+,4 0,4 = 0,x=0,4,4 x W = 0,4,4, Der Wendepunk lieg auf der y-achse für x w = 0 0,4,4, = 0, 0,4,4 = 0 +,4 :0,4 = 6 e) Fläche mi x-achse: Es geh um die Fläche mi der x-achse als obere Funkion, f 6(x) als unere Funkion und den Nullsellen x =-3 und x = als Grenzen. A = 3 (y=0) (f (x))dx = 3 0 (0,x³+, x²+,8x 0,x²,x,8 )dx = = 3 0 (0,x³+,x²+,8x 0,x²,x,8 ) dx = = 3 0,x³,x²,8x+0,x²+,x+,8 dx = = [ 0,05x4 0,4x 3 0,9x + 0, x 3 +0,6x +,8x 3 ] 3 = = [ 0,054 0,4 3 0,9 + 0, ,6 +,8 ] f (x) haben wir schon ein paar Zeilen weier oben ausgerechne! [ 0,05 ( 3)4 0,4 ( 3) 3 0,9 ( 3) + 0, 3 ( 3)3 +0,6 ( 3) +,8 ( 3) ] =

13 A.4 Funkionsscharen 3 = [ 0,054 0,4 3 0,9 + 0, ,6 3 +,8 ] [ ] = = [ ] [ ] = Das is unsere Fläche. Diese soll den Wer 5 annehmen = = 0 Lösung ohne GTR 0 = 5 5 Lösung mi GTR Die Gleichung muss man mi der Polynomdivision oder mi dem Horner-Schema lösen. An dieser Selle machen wir das nich. Schauen Sie bie im Kap.A.46.0 bzw. A.46.0 jeweils uner Bsp.03 nach. Da lösen wir genau diese Aufgabe. Falls man einen GTR verwenden darf, lös man die Gleichung enweder mi dem solve -Befehl oder man gib die Gleichung als Funkion im Grafikmenü ein und besimm dann von dieser Funkion die Nullsellen. Wie auch immer Sie die Gleichung lösen: Sie sollen = erhalen. x 4 +x 3 +54x +08x 544 = 0 =. f) Funkionsgleichung besimmen: Eine Möglichkei wäre dies: Jede quadraische Parabel ha die Form: p(x) = ax²+bx+c. Wenn sie die gleichen Nullsellen wie f 6(x) ha, gil: ➀ p(-3) = 0 9a 3b + c = 0 ➁ p(6) = 0 36a +6b + c = 0 Mi dem gleichen Flächeninhal gil desweieren: 6 5 ➂ 3 ax²+bx+c dx = inegrieren ausrechnen Mi diesen drei Gleichungen kann man dann a,b und c besimmen. Einfacher wird es jedoch, wenn wir folgenden Ansaz für p(x) machen: Da wir alle beide Nullsellen von p(x) kennen, muss p(x) die Form haben: p(x) = a (x+3) (x 6) [siehe Kap.A Aufsellen von Funkionen ] = a (x²+3x 6x 8) = ax² 3ax 8a Nun verwenden wir die Idee, dass p(x) mi der x-achse den Flächeninhal von 5 einschließen soll. Das bedeue, dass das Inegral von p(x) innerhalb der Grenzen der Nullsellen diesen Wer annehmen muss. [Da wir jedoch nich wissen, ob p(x) oberhalb oder unerhalb der x-achse lieg bzw. ob dami die Fläche ober- oder unerhalb der x-achse lieg, sezen wir das Inegral in den Berag.] 6 ax² ax 8adx = 5 3 inegrieren... [ ax³ ax² 8ax 6 3 ] 3 = 5 [ 3 a 63 a 6 8a 6 ] [ 3 a ( 3)3 a ( 3) 8a ( 3) ] = 5

14 4 A.4 Funkionsscharen [ 7a ] [ 36a ] = 5 [ 36a ] = 5 Den Berag lösen wir mi ± auf.. 36a = ± 5 : (-36) a = ± 5 43 a = a = 5 43 Es gib also zwei Lösungen für die gesuchen Parabeln: p, (x) = ± 5 (x+3) (x 6) 43 g) Schnipunke: [Gerade ha mi f (x) den Tiefpunk und einen Berührpunk gemeinsam] Eine Gerade ha naürlich die Form: y=m x+b Da sie durch den Tiefpunk T(-3 0) geh, kann man eine Punkprobe machen. x=-3 und y=0 in y=mx+b 0=m (-3)+b b=3m b=3m sezen wieder in y=mx+b ein und erhalen: g : y=mx+3m [Das is besser als vorher, denn jez haben wir nur noch eine Unbekanne!] Die Gerade g soll mi f -9(x) zwei gemeinsame Punke haben, also muss folgende Gleichung genau zwei Lösungen haben: f -9(x) = g(x) 0, (x+3) (x+9) = mx+3m Es gib hier nur eines, was Sie falsch machen können. Und zwar, dass Sie 0, (x+3) (x+9) ausmuliplizieren. Vielleich merken Sie das nich sofor, aber späesens nach ein paar Schrien solle Ihnen auffallen, dass alles oal bekack aussieh und nichs mehr geh. Andererseis könne es sein, dass Ihnen späesens dann aufäll, dass man auf der rechen Seie m ausklammern kann. Es würde m (x+3) übrig bleiben. Da auf der linken Seie ebenfalls dieser x+3 -Term seh, kann man daraus sicherlich irgendwas machen. 0, (x+3) (x+9) = mx+3m rechs m ausklammern 0, (x+3) (x+9) = m (x + 3) 0, (x+3) (x+9) m (x + 3) = 0 (x+3) [ 0,(x+3) (x+9) m ] = 0 m(x+3) (x+3) ausklammern x+3=0 0,(x+3) (x+9) m = 0 x =-3 0, (x²+x+7) m = 0 0,x²+,4x+5,4 m = 0 Das wir als erse Lösung x =-3 erhalen is klar [der Tiefpunk]. Wichig is vor allem, dass es bereis eine Lösung is. Da es insgesam genau zwei Lösungen geben muss, darf 0,x²+,4x+5,4 m=0 nur genau eine Lösung haben! Wir lösen diese Gleichung also mi p-q- oder a-b-c-formel und erinnern uns naürlich daran, dass es genau eine Lösung gib, wenn uner der Wurzel Null seh! 0,x²+,4x+5,4 m = 0 : 0, x²+x+7 5m = 0 ( p-q-formel ) ( a-b-c-formel ) x²+x+7 5m=0 x²+x+7 5m=0 x,3 = 6± 6² (7 5m) x,3 = ± 4 (7 5m) = 6± 9+5m = ± 36+0m

15 A.4 Funkionsscharen 5 Uner der Wurzel muss Null sehen, dami man nur eine Lösung erhäl! 9+5m=0 36+0m=0 m = 9 5 m = Es gib nur eine Lösung, wenn 9+5m = 0, also wenn m = 9 5. Unsere gesuche Gerade laue also: g : y = 9 3 x 7 5 A.4.03 Funkionsanalyse mi CAS ( ) Bsp.5 f (x) = x³+ x² 6x 0 a) Besimmen Sie f '(x), f ''(x) und f '''(x), zeichnen Sie f (x). b) Unersuchen Sie f (x) auf Symmerie. c) Besimmen Sie das asympoische Verhalen von f (x). d) Besimmen Sie die Nullsellen von f (x). Für welchen Wer von haben die beiden äußersen Nullsellen den Absand d=0? e) Besimmen Sie die Exrempunke von f (x). Für welchen Wer von ha der Hochpunk den y-wer y=4? f) Besimmen Sie den Wendepunk W von f (x). Für welchen Wer von lieg W auf der ersen Winkelhalbierenden? g) Besimmen Sie die Gleichung der Tangene an f (x) im Punk B( f () ). Für welchen Wer von ha diese Tangene die Seigung m=-? h) Besimmen Sie die Schnipunke von f (x) mi der Parabel p (x)=-x² 3x. Gib es einen Wer von, so dass es weniger als drei Schnipunke gib? i) f (x) schließ mi p (x) eine zweieilige Fläche ein. Besimmen Sie ihren Flächeninhal A(). Für welche Were von nimm die Fläche einen Inhal von 6(LE²) ein? j) Für welchen Wer von is die Seigung im Punk Ü(3 3 f(3 3)) minimal? k) Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunke? [=Orskurve aller Wendepunke] Besimme den Schnipunk dieser Kurve mi f (x). Lösung: a) Beginn: Ojeojeojeeh!! Ableiungen vom CAS machen lassen: f '(x) = 3 x²+ x 6 f ''(x) = 6 x + f '''(x) = 6 Für die Skizze von f (x) mach man am besen eine Wereabelle von f (x)=x³+x² 6x. [N,H,T,W erhäl man naürlich ers am Ende der Funkionsanalyse, also ers nach Teilaufgabe f) ] b) keine Symmerie erkennbar. [gerade und ungerade Poenzen vorhanden]

16 6 A.4 Funkionsscharen c) Verhalen für x ± [ wir sezen für den x-term mi der höchsen Poenz + bzw. - ein. Der Term / ineressier nich, denn es is nur irgendeine posiive Zahl und änder nichs.] für x + f(x) + für x - f(x) [es gib offensichlich keine Asympoen] H y d) Nullsellen: f (x)=0 sezen. Der CAS liefer die Lösungen: x =0 x =-3 x 3= N (0 0) N (-3 0) N 3 ( 0) Nun sollen die beiden äußersen Nullsellen einen Absand von 0 (LE) haben. Die beiden äußersen Nullsellen sind N und N 3. Deren Absand is naürlich die Differenz der beiden x-were, also: d = (-3) = 5. Da der Absand 0 sein soll, gil 5=0 - W N N N - T =. x e) Exrempunke: f '(x)=0 sezen. Der CAS liefer die Lösungen: x +, x -,79 Jez müssen wir wissen, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunke handel. Dafür sezen wir schlauerweise den x-wer in f''(x) ein. Desweieren sezen wir den selben x-wer in f(x) ein um den y-wer zu erhalen. f ''(,) = 8,7 > 0 T (,? ) f ''(-,79) = -8,74 < 0 H(-,79? ) f(,) =... = -4,06² T (, -4,06² ) f(-,79) =... = 8,² H(-,79 8,² ) Der Hochpunk soll den y-wer y H=4 haben. Dami muss naürlich gelen: 8,²=4 [CAS],=±0,70 f) Wendepunke: f ''(x)=0 sezen. Der CAS liefer die Lösung: x= 3 f '''( 3 ) = 6 0 Wendepunk f ( 3 ),08² W(-0,33,08² ) Der Wendepunk soll auf der ersen Winkelhalbierenden liegen. Nun weiß ja späesens sei dem Zeialers des Kindergarens wirklich jeder von uns, dass die erse Winkelhalbierende einfach die Gerade mi der Gleichung y=x is. Und weil wir so cool sind und das wissen, sezen wir jez noch die Koordinaen des Wendepunkes ein [logischerweise den x-wer für x und y-wer für y ]. y=x,08²=-0,33 [CAS] =0 0,59

17 A.4 Funkionsscharen 7 g) Die Tangene an f (x) in B( f (x)) berechnen wir über die Tangenengleichung. [Der CAS sell Ihnen einen Befehl zur Verfügung, mi dem Sie die Tangenengleichung in einem besimmen Punk besimmen können. Vermulich heiß er angenenlinie() oder so ähnlich. Falls Sie den Befehl nich kennen, schauen Sie in der Bedienungsanleiung nach.] angene mi Berührpunk u=. Der CAS solle Ihnen die Gleichung liefern: y Tan = -x 3² Nun soll diese Tangene die Seigung m= haben. Die Seigung der Tangene kann man ablesen. Wie bei jeder Geraden is es die Zahl (bzw. der Term) vor dem x. In diesem Fall is es also -. Es muss also offensichlich gelen: - = =- h) Schnipunke berechne man naürlich immer, indem man die beiden Funkionen gleichsez. f (x) = p (x) x =0 x = x 3=-3 Wir haben drei x-were, also haben wir auch drei Schnipunke. Allerdings brauchen wir noch die zugehörigen y-were, die man ja bekannlich erhäl, indem man die x-were in eine der beiden Gleichungen einsez. [Ich seze sie in p (x) ein, das erschein mi einfacher.] y = p (x ) = p (0) = -0² 3 0 = 0 S ( 0 0 ) y = p (x ) = p () = -² 3 = -² 3² = -4² S ( -4²) y 3 = p (x 3) = p () = -(-3)² 3 (-3) = -(9²)+9² = 0 S 3(-3 0 ) Gib es einen Wer für, so dass es weniger als drei Schnipunke gib? Wir haben ja drei x-were erhalen. Dami es nun weniger Schnipunke geben soll, müssen z.b. zwei x-were gleich sein, also zusammenfallen. x =x 0= (=0 is jedoch [lau Aufgabensellung] nich zulässig) x =x 3 0=-3 =0 (auch wieder keine Lösung) x =x 3 =-3 4=0 =0 (k.lös.) Es gib keinen Wer für >0, so dass man weniger als drei Schnipunke erhäl! i) Um die Fläche zwischen zwei Funkionen zu berechnen, brauch man zuers die Schnipunke. Welch Glück, dass wir die bereis in der lezen Teilaufgabe berechne haben. (x =-3 x =0 x 3=) Jez brauchen wir naürlich noch das Inegral. Berachen wir die linke Teilfläche, die sich innerhalb der Grenzen x=-3 und x=0 befinde. Diese Fläche wird oben von f (x) begrenz und unerhalb von p (x). Also: 0 A = 3 f (x) p (x)dx = [CAS] = Bei der zweien Fläche lieg p (x) oberhalb und f (x) begrenz die Fläche am uneren Rand. A = p 0 (x) f (x)dx = [CAS] = 7 3 Nun haben wir die beiden Teilflächen. A ges = A +A = = 7 6 3

18 8 A.4 Funkionsscharen Für welche Were von nimm diese Fäche einen Inhal von 6(LE) ein? Na ja... wir sezen die Fläche A ges dann hal eben =6 7 A ges = = 6 [CAS] 0,794 j) Ers mal ein paar kleine Infos vorab: Es gib in der Formulierung zwei wichige Sichwore: Seigung : das is immer die erse Ableiung der Funkion minimal : um Egal-Was minimal hinzukriegen, muss man es ableien und =Null sezen [oder das Minimum mi dem GTR berechnen lassen, sofern das erlaub is] Verlang is ja, dass die Seigung im Punk Ü minimal is. Wir machen das also so, dass wir zuers die Seigung im Punk Ü berechnen und uns ers späer dann um das minimal-zeug kümmern. Die Seigung der Funkion im Punk Ü: f '(x Ü) = f '(3 3) = [CAS] = So. Nun haben wir die Seigung im Punk Ü. Diese nennen wir m() und die soll jez minimal sein. Also brauchen wir das Minimum von m()= Wir lassen also das Minimum von berechnen und erhalen: = Die Anwor: Der gesuche Wer für wurde bei = gefunden, weil da ein Minimum der Seigung vorlieg. Jez is alles wieder gu! k) Auf welcher Kurve liegen alle Wendepunke? Ganz gleich ob nach der Orskurve von einem Wendepunk, Hoch- oder Tiefoder irgendeinem Schnipunk gefrag is, man wende immer den gleichen Trick an: Zuers brauch man x- und y-wer von diesem Punk. In unserem Fall haben wir das schon: W(-0,33,08²) Wir schreiben noch `mal raus: x-wer: x = -0,33 y-wer y =,08² Nun lösen wir in der x-gleichung nach auf. x=-0,33 = -3x 0,33 Dieses sezen wir die y-gleichung ein y=,08 (-3x) = +8,7x² Das war's auch schon. Alle Wendepunke liegen auf der Kurve: y=8,7x² Die Frage nach dem Schnipunk der Orskurve mi der Funkion f (x) is naürlich eine Scherzfrage, denn: die Orskurve is ja die Kurve auf der alle Wendepunke der Funkion liegen. Diese Kurve ha ja logischerweise mi f (x) alle Wendepunke gemeinsam! Also müssen die Wendepunke auch die Schnipunke sein. Die gesuchen Schnipunke sind: W(-0,33,08² )

19 A.4 Funkionsscharen 9 Bsp.4 Ein hochbezahler Mahemaiker soll eine fuurisische Funkion konzipieren. Sein wirklich alle überzeugendes Resula is dieses: f (x) = 0, (x+3) (x ) a) Zeichnen Sie f -9(x), f -6(x), f -3(x), f 0(x) und f 3(x). b) Für für welche Were von besiz f(x) nur eine Nullselle? c) Für welche Were von, lieg der Hochpunk von f (x) auf der x-achse? d) Für welchen Wer von, lieg der Wendepunk auf der y-achse? e) Für welchen Wer von >0, schließ f (x) mi der x-achse eine Fläche mi dem Inhal von 5 [FE] ein? f) Eine quadraische Parabel ha die gleichen Nullsellen wie f 6(x) und schließ mi der x-achse auch noch den gleichen Flächeninhal ein. Besimmen Sie die Gleichung dieser Parabel. g) Eine Gerade g geh durch den Tiefpunk von f -9(x) und ha mi f -9(x) einen einzigen weieren Punke gemeinsam. Besimmen Sie die Gleichung von g! Lösung a) Skizze: Ich glaube, fünf Funkionen mi dem Taschenrechner zu zeichnen, wird Sie nich unbeding überfordern. Aufgaben, in denen Sie zeichnen müssen, sind meis auch nur ein Wink mi dem Zaunpfahl, dami Ihnen ewas für die nächsen Teilaufgaben auffäll. f 0 (x) f 3 (x) b) Nullsellen: Wir berechnen einfach 'mal die Nullsellen und lassen uns überraschen. f (x) = 0 Des CAS liefer Ihnen die Lösungen: x =-3 x = f -9 (x) f -6 (x) f -3 (x) Man erhäl offensichlich immer zwei x-were. Die einzige Möglichkei, dass es nich zwei verschiedene Nullsellen sind, is, wenn =-3. Dann fallen beide Nullsellen zusammen. [Übrigens haben Sie ja genau diese Funkion bereis gezeichne!] c) Exrempunke (Hochpunk auf der x-achse): Recnerisch is diese Teilaufgabe nich gu zu lösen. Wir berachen die Zeichnungen noch einmal. Es solle Ihnen auffallen, dass für alle <-3 im Punk (-3 0) ein Tiefpunk is und für alle >-3 bei (-3 0) der Hochpunk (welcher naürlich auf der x-achse lieg [y=0]). Also: Für <-3 lieg der Hochpunk links von x=-3 und oberhalb der x-achse. Für >-3 lieg der Hochpunk immer bei (-3 0). Die Anwor laue also: Für <-3 lieg der Hochpunk immer auf der x-achse.

20 0 A.4 Funkionsscharen d) Wendepunk: Hier kann man nichs mehr aus der Zeichnung erkennen, wir müssen rechnen. Wenn der Wendepunk auf der y-achse liegen soll, muss sein x-wer = 0 sein. Wir brauchen also die Koordinaen vom Wendepunk, also f''(x) = 0 sezen. Dafür lassen wir den CAS die Ableiungen besimmen. f (x) = 0, (x+3) (x ) f '(x) = [CAS] = 0,6x²+,4x+,8 0,4x,4 [evl auch] 0, (x+3) (3x +3) f ''(x) =,x+,4 0,4 f ''(x) = 0,x+,4 0,4=0 x W = 0,4,4, Der Wendepunk lieg auf der y-achse für x w = 0 0,4,4, = 0, 0,4,4 = 0 +,4 :0,4 = 6 e) Fläche mi x-achse: Es geh um die Fläche mi der x-achse als obere Funkion, f 6(x) als unere Funkion und den Nullsellen x =-3 und x = als Grenzen. A = 3 (y=0) (f (x))dx = [CAS] = Das is unsere Fläche. Diese soll den Wer 5 annehmen = 5 [CAS] =6 f) Funkionsgleichung besimmen: Jede quadraische Parabel ha die Form: p(x) = ax²+bx+c. Wenn sie die gleichen Nullsellen wie f 6(x) ha, gil: ➀ p(-3) = 0 9a 3b + c = 0 ➁ p(6) = 0 36a +6b + c = 0 Mi dem gleichen Flächeninhal gil desweieren: 6 5 ➂ 3 ax²+bx+c dx = inegrieren ausrechnen Mi diesen drei Gleichungen kann man den CAS a,b und c besimmen lassen. Es gib zwei Lösungen: a =+ 5, b 43 = 5, c 44 = 5 4 a = 5 43, b =+ 5 44, c =+ 5 4 Es gib daher auch zwei Lösungen für die gesuchen Parabeln: p (x) = x² x bzw. p (x) = 5 43 f (x) haben wir schon ein paar Zeilen weier oben ausgerechne! 5 x² + x g) Schnipunke: [Gerade ha mi f (x) den Tiefpunk und einen weieren Punk gemeinsam] [Lau Zeichnung muss dieser weiere Punk ein Berührpunk sein. Das is aber hier nich wichig.] Eine Gerade ha naürlich die Form: y=m x+b Da sie durch den Tiefpunk T(-3 0) geh, kann man eine Punkprobe machen. x=-3 und y=0 in y=mx+b 0=m (-3)+b b=3m

21 A.4 Funkionsscharen b=3m sezen wieder in y=mx+b ein und erhalen: g : y=mx+3m [Das is besser als vorher, denn jez haben wir nur noch eine Unbekanne!] Die Gerade g soll mi f -9(x) zwei gemeinsame Punke haben, also muss folgende Gleichung genau zwei Lösungen haben: f -9(x) = g(x) 0, (x+3) (x+9) = mx+3m Sie lassen den CAS diese Gleichung nach x auflösen und die Lösungen: x =-3 x = m x 3= 6 9+5m Dummer Weise sind das drei Lösungen und nich zwei. Es gib nur eine Möglichkei, aus diesen drei Lösungen nur zwei zu machen: Zwei der Lösungen müssen zusammenfallen. x =x : -3= m [CAS] m=0 Diese Lösung is unineressan, denn wenn Sie die Gerade g für m=0 einzeichnen, werden Sie fessellen, das es die x-achse is und die ha außer dem Tiefpunk keinen weieren Berührpunk mi f -9(x) sondern nur einen Schnipunk gemeinsam. x =x 3: -3= 6 9+5m [CAS] keine Lösung x =x 3: m 6 9+5m [CAS] m=-,8 Unsere gesuche Gerade laue also: g : y=-,8x 5,4