Ferienkurs Experimentalphysik 1

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1 Ferienkurs Experimenalphysik 1 1 Fakulä für Physik Technische Universiä München Bernd Kohler & Daniel Singh Bla 1 - Lösung WS 214/ Ferienkurs Experimenalphysik 1 ( ) - leich ( ) - miel ( ) - schwer Aufgabe 1: Versändnisfragen a) Uner welcher Voraussezung kann zur Berechnung der Geschwindigkei die Formel v x = x verwende werden? b) Warum is jede Kreisbewegung - auch die gleichförmige - eine beschleunige Bewegung? c) Erläuern Sie den Unerschied zwischen der Bahngleichung y(x) und der Or- Zei-Funkion y(). d) Inwiefern is das 1. Newon sche Gesez ( Trägheisgesez ) im 2. Newon schen Gesez ( Bewegungsgesez F = m a) enhalen? e) Es wird ein Sysem von Punkmassen berache, die sich in einer waagrechen Ebene bewegen können. Sie soßen zusammen, laufen auseinander usw. Es wirk nur die Schwerkraf. Die Bewegung wird durch keine Reibungswirkungen beeinfluss. Gil für dieses Sysem der Impulserhalungssaz? Begründen Sie Ihre Anwor. f) Die in der vorherigen Frage beschriebene Ebene wird um den Winkel α gegen die Waagreche geneig. Geben Sie auch für diesen Fall an, ob der Impulssaz gil. Begründen Sie Ihre Anwor. g) Uner welchen Umsänden reen im Inneren eines fahrenden Sraßenbahnwagens Coriolis-Kräfe auf? Wie zeigen sich diese?

2 2 Ferienkurs Experimenalphysik 1 a) Es gil allgemein v x = dx d. Nur wenn x = und v x = cons., d.h. bei einer gleichförmigen Bewegung gil v x = x. b) Selbs wenn die Bahnbeschleunigung verschwinde (a s = ), is bei der Kreisbewegung ses eine Radialbeschleunigung a r vorhanden (a r ). Der Berag der Geschwindigkei bleib zwar konsan, ihre Richung änder sich jedoch forwährend (v 1 = v 2, aber v 1 v 2 ). c) Die Bahngleichung y(x) sell die Bahn des bewegen Körpers in der x,y-ebene dar. Sie gib keine Auskunf über den zeilichen Ablauf der Bewegung. Die Or-Zei-Funkion y() gib zu jeder Zei die y-koordinae eines bewegen Körpers an. Sie beschreib einen eindimensionalen Bewegungsablauf. Ihre grafische Darsellung im y()-diagramm ha nichs mi der Bahn des bewegen Körpers zu un. d) Das Trägheisprinzip gil, wenn F = is (keine äußere Kraf wirk). Für diesen Fall is die Bewegungsgleichung = m a. Da aber m nich Null sein kann (in der klassischen Mechanik), is nur a = möglich. Das bedeue, dass der Körper mi der Masse m sich enweder geradlinig gleichförmig beweg oder sich in Ruhe befinde (=Trägheisgesez). e) Der Impulserhalungssaz gil. Es wirken keine äußeren Kräfe, da die Schwerkraf keine Komponene in der waagrechen Ebene ha. Die Schwerkraf selbs wird durch die Zwangskraf der Unerlage kompensier. f) Der Impulserhalungssaz gil nich. Die auf die geneige Ebene enfallende Schwerkrafkomponene (Hangabriebskraf) is eine äußere Kraf. g) Coriolis-Kräfe reen auf, wenn der Wagen eine Kurve durchfähr und der Fahrgas (oder ein Gegensand) sich zugleich im Wagen horizonal beweg. Der Fahrgas spür die Coriolis-Kraf senkrech zu der von ihm eingeschlagenen Bewegungsrichung, er wird also beim Geradeausgehen behinder. Dabei spiel seine Bewegungsrichung keine Rolle. Diese Kraf wirk ses in einer Rechskurve des Wagens nach links und in einer Linkskurve des Wagens nach rechs.

3 Ferienkurs Experimenalphysik 1 3 Aufgabe 2: Or - Geschwindigkei - Beschleunigung ( ) Ein Massenpunk befinde sich zur Zei = im Koordinaenursprung und beweg sich anschließend mi der Beschleunigung a x a = a y sin ( π a z T T ), (1) dabei sind a x, a y und a z konsan. Berechnen Sie den Or r(t ) und die Geschwindigkei v(t ) des Massenpunkes zur Zei = T in Abhängigkei von a x, a y, a z und T. Um die Geschwindigkei zu erhalen, muss die Beschleunigung einmal inegrier werden. Um den Or zu erhalen, muss ein weieres Mal inegrier werden. Die Anfangsbedingungen sind gegeben durch r( = ) = und v( = ) =. Dami ergib sich für den Geschwindigkeisvekor: v x () = v x () + v y () = v y () + v z () = v z () + a x d = a x a y sin ( π T ) d = a yt π a z T d = 1 2 a z 2 T Für den Einräge des Orsvekors erhalen wir: [ cos (π T )] = a y T π [1 cos (π T )] x() = x() + y() = y() + a x d = 1 2 a x 2 a y T π [1 cos (π T )] d = a yt π { [T π sin (π T )] } = a y T π [ T sin (π π T )] 1 z() = z() + 2 a z 2 T d = 1 6 a z 3 T Wir müssen nun nur noch = T einsezen und erhalen schließlich den gesuchen Ors-

4 4 Ferienkurs Experimenalphysik 1 und Geschwindigkeisvekor: r(t ) = T 2 a x2 a y π a z 6, v(t ) = T a x 2a y π a z 2 (2) Aufgabe 3: Sein fäll in Brunnen ( ) Ein Sein fäll in einen Brunnen. Seine Anfangsgeschwindigkei is Null. Ein Zeiinervall = 1 s nach dem Beginn des freien Falls wird eine zweier Sein mi der Anfangsgeschwindigkei v z = 2 m/s hinerhergeworfen. Der Lufwidersand bleib unberücksichig. (g = 1 m/s 2 ) a) Berechnen Sie die Zei 1, die nach Bewegungsbeginn des ersen Seines vergeh, bis dieser vom zweien Sein überhol wird. b) In welcher Tiefe z 1 finde der Überholvorgang sa? c) Skizzieren Sie den Verlauf der Bewegung beider Seine im z()-diagramm! a) Beide Seine führen eine gleichmäßig beschleunige Bewegung nach unen (in posiive z-richung) aus. Die Or-Zei-Funkion laue für den ersen Sein: Für den zweien Sein gil z = 1 2 g2 (3) z = 1 2 g( )2 + v z( ) (4) wobei der späere Sar dadurch berücksichig is, dass > von der Zei abgezogen wurde. Beim Überholvorgang, der zur Zei 1 safinde, sind beide Seine am gleichen Or: z 1 = z 1. Daraus folg: 1 2 g2 1 = 1 2 g( 1 ) 2 + v z( 1 ) (5)

5 Ferienkurs Experimenalphysik 1 5 Diese Gleichung muss nun nach 1 aufgelös werden. 1 2 g2 1 = 1 2 g2 1 g g( )2 + v z 1 v z (6) 1 (v z g ) = (v z 1 g ) (7) 2 1 = v z 1 2 g = 1,5 s (8) v z g Das Problem is nur sinnvoll lösbar, wenn v z > g, d. h., die Sargeschwindigkei des zweien Seins muss größer sein als die Geschwindigkei, die der erse Sein bis dahin erreich ha. b) z 1 = 1 2 g2 1 = 11 m c) Beide Kurven sind, weil der Or von der Zei abhäng, Parablen. Beide sind wegen z = z = g > nach oben geöffne. Der Scheiel von z = 1 2 g2 (Sein 1) (9) lieg im Koordinaenursprung und die zughörige Parabel muss durch den Punk ( 1, z 1 ) gehen. Die zweie Parabel z = v z( ) g( )2 (Sein 2) (1) geh durch den gleichen Punk. Sie beginn aber zur Zei < 1 am Or z = mi posiiver Seigung (v z > ). GRAFIK ERGÄNZEN Aufgabe 4: Golf auf dem Mond ( ) Um das Leben auf dem Mond angenehmer zu gesalen, soll ein Golfplaz erriche werden. Dazu is es nowendig zu wissen, wie wei Golfbälle auf dem Mond fliegen können. Hinweis: Vernachlässigen Sie Reibungseffeke sowie die Krümmung der Mondoberfläche bei Ihren Rechnungen. Die Beziehung 2 sin α cos α = sin(2α) könne hilfreich sein. a) Der Mond ha 1,23 % der Erdmasse und 27,3 % des Erdradius. Berechnen Sie daraus die Fallbeschleunigung g M auf der Mondoberfläche.

6 6 Ferienkurs Experimenalphysik 1 Ersazlösung: g M = 2 m/s 2 b) Geben Sie die Flugweie L eines Golfballs in Abhängigkei vom Abschlagwinkel α und dem Berag v der Anfangsgeschwindigkei an. Zeigen Sie, dass L für α = 45 maximal wird. c) Berechnen Sie die maximale Flugweie für v = 5 m/s. Welche maximale Höhe H über dem Boden erreich der Ball dabei? a) Die Fallbeschleunigung is durch die Graviaionskraf zwischen Mond (Masse M M ) bzw. Erde (Masse M E ) und einem Objek mi der Masse m gegeben: m g M = G m M M R 2 M und g M = g E M M M E R2 E R 2 M m g E = G m M E RE 2 (11) = 9,81 m/s 2, 123, 273 = 1,62 2 m/s2 (12) b) Wir zerlegen die Flugbahn des Golfballes (Wurfparabel) in x- und y-komponene. Die Anfangsbedingungen sind x( = ) = und y( = ) = : x() = v cos α (13) y() = v sin α 1 2 g M 2 (14) Die Flugzei F is durch die Bedingung y( F ) = gegeben, dami folg: F = 2 v sin α g M (15) Wir sezen nun F in die Gleichung für x() ein und erhalen x( F ) = L = v2 g M 2 sin α cos α = v2 g M sin(2α) (16) Offensichlich wird L maximal wenn sin(2α) maximal wird und dies is der Fall füα = 9, also α = 45.

7 Ferienkurs Experimenalphysik 1 7 c) Für die maximale Flugweie sezen wir α = 45 und v = 5 m/s in Gleichung 16 ein und erhalen L max = v2 g M = 1,54 km (17) Am Scheielpunk is die Geschwindigkei in y-richung null, also ẏ( S ) = S = v sin α g M (18) und dami folg die Höhe am Scheielpunk (=maximale Höhe über dem Boden) zu y( S ) = H = v2 sin2 α 2 g M = v2 4 g M = 386 m (19) Aufgabe 5: Gleichförmige Kreisbewegung ( ) Ein Auo fähr geradlinig mi der Geschwindigkei v = 96 km/h auf der Auobahn. Die Räder haben den Durchmesser d = 2 = 58 cm a) Welche Radialbeschleunigung a r ha die Venilkappe das Rades, die sich im Absand r 1 = 14,5 cm von der Achse befinde? b) In welcher Zei 1 änder sich die Richung der Tangenialgeschwindigkei dieser Kappe um den Winkel ϕ 1 = 6? (Hierbei soll die Drehung um die mibewege Achse des Rades berache werden.) c) Angenommen, die Venilkappe löse sich gerade beim Durchgang im oberen Punk. In welcher Richung würde sie sich unmielbar nach dem Lösen bewegen und wie groß wäre die Geschwindigkei v K? a) Die Radialbeschleunigung der Venilkappe is a r = ω 2 r 1 mi ω = v (2) also a r = ( v 2 ) r 1 = 1,2 1 3 m/s 2 (21)

8 8 Ferienkurs Experimenalphysik 1 Das is das 122-fache der Erdbeschleunigung g. b) Der Zusammenhang zwischen Drehwinkel ϕ und Zei folg aus der Winkelgeschwindigkei dϕ d = ω (22) die hier konsan is. Diese Gleichung wird inegrier: ϕ 1 dϕ = ω 1 d (23) Als Grenzen wurden die zusammengehörigen Were der Variablen eingesez. Dami is ϕ 1 = ω 1. Mi ω = v erhalen wir weier 1 = ϕ 1 v = 1, s (24) c) Die Führung auf der Kreisbahn hör im oberen Punk auf. Die Bahngeschwindigkei der Kappe zeig in diesem Punk in Fahrrichung. In diese Richung wird sie auch weggeschleuder. Um die Gesamgeschwindigkei der Kappe in diesem Punk zu ermieln, muss zur Fahrgeschwindigkei v noch die Umlaufgeschwindigkei v 1 = ωr 1 der Kappe addier werden: v K = v + r 1 ω, wobei ω = v (25) v K = v (1 + r 1 ) = 1, 5v = 143 km/h (26) Aufgabe 6: Der Nord-Süd-Pol-Express ( ) Sie bauen eine Srecke für Schnellzüge die in einem Kreis einmal um die Erde und dabei über beide Pole geh. Nun fähr ein Schnellzug mi konsan 36 km/h auf dieser Srecke. Vernachlässigen sie Reibung. Der Zug ha eine Masse von 4. a) An welcher/-n Selle(n) is die seiwärs auf die Schienen wirkende Kraf am größen, wo am kleinsen? b) Was is der Wer der Kraf, an der/-n Selle(n), an denen die Kraf minimal wird? c) Berechnen sie den Berag der Kraf, die die Schienen maximal seiwärs auf den Zug ausüben müssen! In welche Richung wirk die Kraf?

9 Ferienkurs Experimenalphysik 1 9 d) Wie schnell dürfe der Zug fahren, wenn die Schienen seiwärs maximal eine Kraf von 1kN auf den Zug ausüben können, ungeache davon ob das geh? a) An den Polen is die Seiwärskraf (Corioliskraf) am größen am Äquaor is sie minimal. b) Am Äquaor wird die Corioliskraf gleich. c) F C = 2 4kg 1 m s 2π = 5, 8kN (27) 36 24s d) v max = 1N 36 24s 2 4kg 2π = 172m s (28) Aufgabe 7: Der Äquaor-Express ( ) Nun wollen sie ihr Sreckennez um eine Srecke erweiern. Die geplane Srecke führ um den Äquaor. Der Zug ha wieder die Masse 4. Der Radius der Erde am Äquaor is 6378 km. a) Gib es eine Geschwindigkei, bei der man im Zug Schwerelosigkei erleb? Wenn ja, berechnen Sie sie! Vernachlässigen sie die Drehung der Erde hierfür! b) Kann man die Schwerkraf des Mondes im Zug simulieren? Wenn ja, bei welcher Geschwindigkei? c) Jez überlegen Sie, was man beachen muss, wenn man die Drehung der Erde nich mehr vernachlässig! (Tipp: Die Geschwindigkei des Zuges wird relaiv zur Erdoberfläche gemessen.)

10 1 Ferienkurs Experimenalphysik 1 a) Ja, wenn die Zenrifugalkraf gleich der Erdanziehungskraf is. G mm = mg = mv2 r (29) v = gr = 9, m s = 791m s (3) b) Ja das geh. Hierfür muss die Erdanziehung abzüglich der Zenrifugalkraf die Anziehung des Mondes ergeben. mg M = mg E mv2 r v = r(g E g M ) = ( ) m s = 7232m s (31) (32) c) Man muss die Geschwindigkei der Erde am Äquaor (ca. 464 m ) bei oswäriger s Fahr von der berechneen Geschwindigkei subrahieren und bei weswäriger Fahr dazu addieren um die Geschwindigkei des Zuges relaiv zur Erdoberfläche zu bekommen. Aufgabe 8: Rammbär ( ) Mi einem Rammbär der Masse m 1 = 45 kg wird ein Pfahl der Masse m 2 = 4 kg in den Boden geramm. Das Rammen von Pfählen wird als unelasischer Soß zwischen Rammbär und Pfahl berache. Der Rammbär fäll aus der Höhe h = 1,2 m auf den Pfahl. Beim lezen Schlag sink der Pfahl noch um die Srecke s = 1, cm ein. Wie groß is dabei die milere Widersandskraf des Bodens?

11 Ferienkurs Experimenalphysik 1 11 Der Rammbär fäll aus der Höhe h auf den Pfahl und erreich dabei die Geschwindigkei v 1, die sich durch Anwendung des Energieerhalungssazes besimmen läss. 1 2 m 1 v 2 1 = m 1 g h v 1 = 2 g h (33) Dami finde zwischen Rammbär und Pfahl, der anfangs ruh (v 2 = ) ein inelasischer Soß sa, nach welchem sich beide Körper mi der gemeinsamen Geschwindigkei u weier bewegen. Hierfür gil der Impulserhalungssaz m 1 v 1 = (m 1 + m 2 ) u (34) aus dem sich u besimmen läss: u = m 1 m 1 + m 2 v 1 = m 1 m 1 + m 2 2 g h = 2,57 m/s (35) Schließlich werden durch die konsane Widersandskraf F des Bodens Rammbär und Pfahl auf der Srecke s bis zur Ruhe abgebrems. Beim Abbremsen wird die gesame kineische Energie E kin, die der Rammbär und der Pfahl nach dem Soß haen, in Bremsarbei, das heiß in Arbei gegen die Kraf F, umgewandel. Da sich der Rammbär und Pfahl dabei auch in Richung der Schwerkraf um die Srecke s bewegen, wird zusäzlich poenielle Energie E po in Bremsarbei umgewandel. Für die Bremsarbei W gil dami W = E kin + E po (36) F s = 1 2 (m 1 + m 2 ) u 2 + (m 1 + m 2 ) g s (37) Sez man in diese Formel die bereis ermiele Geschwindigkei u ein und lös nach F auf, so ergib sich die Widersandskraf des Bodens F = m 2 1 g h s (m 1 + m 2 ) + (m 1 + m 2 ) g = 288 kn (38)