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1 Funkionen und Kurven Inhls-Informionen zur Reihe der Tee üer Kurven im Ordner 54 Te Nummer: Snd:. i 06 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULATHEATIK

2 54000 Algerische Kurven Informionen Der Ordner 54 Algerische Kurven einhle zwei Tee zu den Grundlgen der Kurvenheorie: 5400 Gleichungsformen und Umrechnungen. Kurven knn mn eschreien durch (kresische) Koordinengleichungen Gleichungen mi Prmeern Gleichungen in Polrkoordinen Diese Gleichungsformen knn mn ineinnder umrechnen. 540 Differenilgeomerie mi diesem Inhl:. Aleiungen. Krümmung. Bogenlänge 4. Flächenerechnung Theorie und viele Beispielen und Aufgen und dnn viele Spezilee, die uf der nächsen Seie gelise werden. Es sind noch einige Tee in Plnung. Der Soff is vor llem für Lehrer und Sudenen konzipier. Ds mhemische Niveu vor llem hinsichlich der verwendeen Inegrlerechnungen üerseig ds Schulniveu deulich. Dennoch knn mn im Gymnsium diese Kurven ehndeln, wenn mn sich ews eschränk. Der Soff is hochineressn und lohn sich uch für Fchreien usw.

3 54000 Algerische Kurven Informionen Spezilee zu esimmen Kurvenypen, mi Infoseie Algerische Kurven: Rollkurven: Kurven. Ordnung: Kreise Te Ellipsen Te Hypereln Te Preln Te Kurven. Ordnung: Srophoide Te Zissoide (Kissoiden) Te Neilsche Prel Te Kresisches Bl Te 5450 Versier der Agnesi Te Serpenine Te Prol nod Te 5405 Kurven 4. Ordnung und höher: Cssinische Kurven und Lemniske Te Konchoide Te Krdioide Te 54 4 Kleel-Kurve Te 540 Psclsche Schnecke Te Zykloiden und Epizykloide Te Aseroide (Hypozykloide) Te Nephroide fehl noch 8 Spirlen: Te Archimedische Spirle Logrihmische Spirle Hyperolische Spirle 4 Andere Kurven: Trkri Te 540 Lissjous-Figuren Te 5470 Keenlinie Te 5480

4 54000 Algerische Kurven Informionen 4 Te Kreise Die lgerische Koordinengleichung lue yy r. Speziell für den Ursprungskreis: y r Prmeergleichungen für den Ursprungskreis: r cos und y r sin für 0; In Vekorschreiweise: r cos r sin Bei elieigem ielpunk : r cos und y y r sin zw. rcos rcos m zw. rsin y rsin Es sind er uch ndere Prmeergleichungen möglich. Beispiel:, y für D ; y 4 mi D Vierelkreis: 0; Die Gleichung mi Polrkoordinen is ei einem Ursprungskreis erem einfch: Der Winkel is elieig, unerlieg lso keiner Bedingung. Dher komm er uch nich in der Gleichung vor, sondern nur der Rdius: r 4 Dies is eispielsweise die Gleichung des Kreises um den Ursprung mi Rdius 4. Auch dies führ zu einem Kreis: r sin 0,r ( 0) oder r cos 0, r ( 0) usw. Für einen Kreis mi dem ielpunk, dessen Polrkoordinen r = d und sind, woei dnn R der Kreisrdius is, lue die Gleichung in Polrkoordinen: r dcos d cos (d R )

5 54000 Algerische Kurven Informionen 5 Te Ellipsen Es gi verschiedenrige Gleichungen: (Hier werden keine schräg liegenden Ellipsen erche.) () Koordinengleichung, ielpunksform Lieg der ielpunk in y : y mi 0 0. yy () Scheielgleichung y p ( e ) (c) Prmeerform y (d) cos sin is der Winkel, den der Vekor y y mi der -Achse ilde. i Polrkoordinen gi es mehrere Gleichungsformen: p (4) r woei 0 gelen muss. cos 0; Die Bedeuung der Prmeer p und sudieren wir n Hnd zweier Schuilder: r p r 0,6 cos 4 cos mi p,,,4,5 und 0,6 mi 0,; 0,; 0,5; 0,7; 0,9 und p 4 Der Prmeer p ewirk eine zenrische Sreckung, änder lso die Größe, er nich die Form. is die numerische Ezenriziä der Ellipse. Für lieg ein Kreis vor, mi zunehmenden 0; wird die Ellipse flcher.

6 54000 Algerische Kurven Informionen 6 (4) p r woei 0 gelen muss. cos Zwei Schuilder: p r 0,6 cos r 4 cos mi p,,,4,5 und 0,6 mi 0,; 0,; 0,5; 0,7; 0,9 mi p = 4. Jez lieg der Ursprung im rechen Brennpunk der Ellipse. (4c) r cos woei 0 gelen muss. Zwei Schuilder: Hier lieg der Pol im rechen Brennpunk. (4c) r cos Jez lieg der Pol im ielpunk der Ellipse. r 0,6 cos r 4 cos mi,,,4,5 und 0,6 mi 0,; 0,; 0,5; 0,7; 0,9 und = 4

7 54000 Algerische Kurven Informionen 7 Te Hypereln Geomerische Definiion: Eine Hyperel is der geomerische Or ller Punke einer Eene, für die der Berg der Differenz der Asände zu zwei sogennnen Brennpunken konsn is. Diese Konsne ezeichne mn in der Regel (günsigerweise) mi. Liegen diese Brennpunke symmerisch zum Ursprung uf der -Achse, ew F e 0, F e 0 dnn erhäl mn eine sogennne Ursprungshyperel (zw.. Huplge).. Ihre Koordinengleichung is y zw. Sie h zwei schräge Asympoen: y Zu ihr gehören zwei Erszfunkionen: y Der Zusmmenhng zwischen, und der Brennweie e is: y e A: = 4, =. Lieg der Kurvenmielpunk s im Ursprung im Punk Koordinengleichung: yy y, dnn lue die Prmeergleichungen: und y n cos für 0; er und oder cosh und y sinh sinh und cosh sind Hyperelfunkionen und y oder

8 54000 Algerische Kurven Informionen 8 In Polrkoordinen: p r cos Die A. zeig eine Hyperelschr für p von is 9 und,. i erhäl mn rechen Äse, mi + die linken. Für Hypereln muss sein. Oder: r cos Die A. zeig eine Hyperelschr für von is 9 und, Drus ergi sich: e, e, Und wegen e folg, 44 0, 44 Also is,5 0,44 Die nächse Aildung zeig eine Hyperelschr, in der nun = fes is, dfür vriier von, is (Sep 0,) Hinweis: Aus = und folg e, lso e = und dnn e 4 lso Wenn lso = is, dnn folg,5 Die selsme Form der Scheielgleichungen lue e y p mi p und (Für ergi diese Gleichung eine Hyperel.) knn mn in einer Aildung verdeulichen: Hier lieg der reche Hyperelscheiel im Ursprung. Die A. zeig eine Hyperelschr für p von is 9 und, Auch Kurven der Form y nenn mn Hypereln. c d Sie hen eine um 45 Grd gedrehe Achsenrichung und ihre Asympoen sind Prllelen zu den Koordinenchsen. Die einfchse und eknnese Kurve dvon is y

9 54000 Algerische Kurven Informionen 9 Te Preln Geomerische Definiion: Die enge ller Punke, für welche die Enfernung von einem fesen Punk F und von einer fesen Gerden L gleich groß is, nenn mn (zw. is eine) Prel. F nenn mn Brennpunk der Prel, L heiß Leilinie. Lieg der Scheiel im Ursprung und is die Prel in -Richung geöffne, dnn folg hierus die Gleichung y p Algerische Gleichung. Grdes für Öffnung in y-richung: Scheielgleichung: y= - +y Algerische Gleichung. Grdes für Öffnung in -Richung: Scheielgleichung: yy p S S S O y c y cy d 0 Gleichung mi Polrkoordinen: p r wenn der Pol (Ursprung) im Brennpunk lieg cos cos r p sin zw. r p cos co Der Krümmunskreisrdius is r = p. Die A. zeig y 4, lso mi p =. wenn der Pol im Scheiel O lieg.

10 54000 Algerische Kurven Informionen 0 Te 540 Zykloiden und Epizykloiden Prmeergleichungen für Zykloiden: r sin y r cos Gewöhnliche Zykloide: = Verkürze Zykloide: < Verlängere Zykloide: > (Schleifenzykloide) Prmeergleichungen für die Epizykloide: r q cos r cos q y r q sin r sin q Beispiele: r =, q = 4 r =, q = 6

11 54000 Algerische Kurven Informionen Te 540 Kleelkurven Für diese Kurven gi es je nch Ausrichung und Größe unerschiedliche Gleichungen. Prmeergleichungen: Beispiele: für 0; er 0; sin cos sin sin ei ungerdem, dnn is die Anzhl der Bläer ei gerden, dnn is die Anzhl der Bläer. gi den Rdius des Ursprungskreises n, den die Bläer von innen erühren. 4sin sin 4sin cos = = 5 = = 4 = Bei ungerden erhäl mn ein regelmäßiges Kleel und gi die Anzhl der Bläer n. Die Kurven erühren den Ursprungskreis mi Rdius von innen. Gleichung in Polrkoordinen: r sin Beispiele für = : 4sin sin r 4sin ensprich 4sincos (. Aildung) : r 4sin r 4 cos : Andere Prmeergleichungen sind: cos() cos sin sin() cos() cos sin sin() :

12 54000 Algerische Kurven Informionen Te 5405 Prol nod (Knoenprel) Prmeergleichung: 4 für. zw. und y Koordinengleichung: y zw. 8 66y 0 (lgerische Kurve. Grdes). Erszfunkionen: y 4 4

13 54000 Algerische Kurven Informionen Te 540 Trkri ögliche Prmeergleichungen: nh () cosh oder () cosh nh oder cos ln n () sin oder sin() (4) cos() ln n Hier sind - und y-richung gegenüer () verusch: Koordinengleichung: y r cosh Chrkerisische Eigenschf einer Trki Die Trkri eschrei die Bhn eines Punkes, der miels einer Snge gezogen wird. Die Ausgngslge is P0 0, der gezogene Punk, in der Aildung is = 4. Der Zieher is T o 0 0. Er wnder nch rechs und zieh dmi P ü enlng der Bhnkurve. Dei zeig die Verindungslinie ses uf den Trkor T zu. Bei einer Trkri hen lso lle Tngenenschnie vom Kurvenpunk is zum ziehenden Punk uf der Symmeriechse die gleiche Länge.

14 54000 Algerische Kurven Informionen 4 Te 54 Krdioiden Die Gleichungen vriieren je nch Lge der Kurve. Prmeergleichungen: cos cos oder cos sin cos cos cos sin Of wird s uch der Fkor verwende. i Polrkoordinen: oder r cos r cos Koordinengleichung: cos cos cos sin oder (uch mi sin s cos) y y y 0 oder y 4 y 4 y 0 Beispiele:, r cos r cos r sin r sin

15 54000 Algerische Kurven Informionen 5 Te 545 Aseroiden (Asroiden, Sernkurve) ögliche Prmeergleichungen: Aildung mi = 4: cos für 0; sin oder: cos cos (q ) Rr r sin sin (q ) Zur Aildung gehör: cos() cos sin sin Koordinengleichung: y Weiere Beispiele: cos() cos für 0; sin sin 4 cos() cos 4 für 0; 4 sin sin 4 und,8 cos() cos,8 für 0;0.8 sin sin,8 Aseroiden können uf zwei Aren geomerisch erzeug werden: () ls Rollkurve im Innern eines Kreises dher heiß sie uch Hypozykloide, () ls Einhüllende einer gleienden Srecke oder uch von esimmen Ellipsenschren. Informionen: Der Flächeninhl der Aseroide eräg A, der Umfng is U 6. Die Bogenlänge im Kurvenvierel 0 Der Krümmungsrdius is sin 8 is s sin. Hinweis: is der griechische Buchse Rho.

16 54000 Algerische Kurven Informionen 6 Te 540 Cssini-Kurven und Lemniske Uner einer Cssini-Kurve verseh mn die enge der Punke P y, für die ds Produk der Asände r und r von zwei (Brenn-)Punken F e 0 und F e 0 konsn is. Diesen Wer ezeichne mn of mi k>0, er uch mi k, um klrzumchen, dss ds Produk nich negiv is. Je nch k-wer erhäl mn is zu 5 verschiedene Formen für diese Cssini-Kurven. Für e = k heiß diese Kurve dnn Lemniske (A. rechs). Koordinengleichungen: zw. Erszfunkionen:, zw., 4 4 y e y k e mi e > 0 und k > 0 y e y 0 für die Lemniske. y e 4e k 4 y e 4e e 4 für die Lemniske. In Polrkoordinen: r e cos e 4 cos k 4 e 4 zw. r e cos für die Lemniske. Hierus folg die Prmeerdrsellung: y rcos ecos cos rsin e sin cos n finde uch diese Formeln: e cos ( ) sin und sin e cos sin y( )

17 54000 Algerische Kurven Informionen 7 Te 545 Srophoiden Koordinengleichung: y (lgerische Kurve. Grdes) Erszfunkionen: Gleichungen in Polrkoordinen: f cos r cos für 0; \ Prmeergleichung: und y Srophoiden in der rechs drgesellen Lge hen diese Gleichungen: sin r cos y oder sin r cos llerdings für Oder für diese Lge: y y y cos r sin und y Oder: und y

18 54000 Algerische Kurven Informionen 8 Te 548 Zissoiden (Kissoiden) ) Koordinengleichung: y y 0 y 0 Für > 0. Sie h die senkreche Asympoe: y =. In mnchen Gleichungen wird s gerne verwende. oder ) Prmeergleichung:, y c) Gleichung mi Polrkoordinen: r sin n Informion: Die Fläche zwischen der Kurve und der Asympoen h den Inhl A 4 Es gi eine zur Kissoide verwnde Kurve: Die Hypo-Kissoide Sie h die Gleichung: y (d) y 0

19 54000 Algerische Kurven Informionen 9 Te 540 Konchoiden (Hundekurve, uschelkurve) Gleichungen: y ) Koordinengleichung: Erszfunkionen: f ) Prmeergleichung:, cos nsin c) Gleichung mi Polrkoordinen: r cos Kreiskonchoide: ) Koordinengleichung: ) Prmeergleichung: y c y 0 0 cos cos 5sin sin c) Gleichung mi Polrkoordinen: r cos c (Beispiel) Beispielkurven:

20 54000 Algerische Kurven Informionen 0 Te 545 Spirlen Es gi verschiedene sogennne Spirlkurven, ew die Archimedische Spirle: mi den Gleichungsren r cos sin Hyperolische Spirle: mi den Gleichungsren: r r zw. cos sin Logrihmische Spirle: i der Gleichung r( ) e e e cos sin Uner dem Nmen logrihmische Spirle finde mn uch diese Kurve: r ln Für die Aildung is, lso r. Drgesell is ds Inervll 0,050

21 54000 Algerische Kurven Informionen Te 5450 Kresisches Bl Ds Kresische Bl (folium cresii) is eine eene lgerische Kurve. Ordnung, die nch dem frnzösischen hemiker und Philosophen René Descres ennn is. n definier sie in kresischen Koordinen durch die Gleichung: y F,y y 0 mi > 0 Die Zhl is unwichige Trdiion und knn durch jede ndere Zhl ersez werden. Eine Prmeerdrsellung is:, y für. Ürigens is = n, woei Winkel zwischen den Pfeilen OE und OP is mi E 0 Die Kurve wird so durchlufen: Für > - is = 0 wndern die Kurvenpunke von links oen nch rechs unen zum Ursprung. Dnn durchlufen sie für posiive -Were die Schleife und nähern sich sympoisch für wieder dem Ursprung. Es sieh dnn so us, ls o die Kurve den Ursprung mi senkrecher Tngene schneide und dnn nch rechs unen weiergeh. n eschrei den uneren rechen Kurvenogen esser so: Für < - efinde sich ein Punk uf diesem Bogen, für wnder der Punk sympoisch uf den Ursprung zu, für näher sie sich nch unen der schrägen Asympoe y. Drsellung in Polrkoordinen: sin cos r sin cos Der Scheielpunk h die Koordinen S. n erhäl ihn für den Prmeerwer =, siehe Aildung. Der Kurvenhochpunk is H 4 Rechspunk R 4. n erhäl ihn für. Die Kurve esiz uch einen mi senkrecher Tngene. n erhäl ihn für. Dreh mn die Kurve um 45 O im Uhrzeigersinn, enseh diese Kurve: n knn sie durch zwei Erszfunkionen drsellen: Dei is k. Aildung für k = 4. k y k

22 54000 Algerische Kurven Informionen Te 5470 Lissjous-Figuren Lissjus-Figuren ensehen, wenn mn zwei zueinnder senkreche Schwingungen üerlger, lso je eine Sinusschwingung enlng der -Achse und eine enlng der y-achse. n knn lso die llgemeine Gleichungen z. B. so ufsellen: und y sin sin mi, 0, 0 n erhäl die Kurven uch durch die vereinfchen Gleichungen: und y sin sin mi, 0, 0 Die Formen der Kurven hängen von (Ampliudenverhälnis), (Frequenzverhälnis) zw. k in der vereinfchen Form sowie der Phsenverschieung zw. der eiden Schwingungen. Durch Vriion dieser Kennden knn mn elieig viele unerschiedliche Figuren erzeugen, dzu gehören dnn uch so nle Kurven wie Srecke, Kreis, Prelogen, Ellipse und nürlich dnn lle die fszinierenden Kurvenilder, die mn so in der Lierur finde. Eine Lissjous-Figur is eine geschlossene Kurve, wenn ds Frequenzverhälnis eine rionle Zhl is. Ew diese: Gleiche Frequenzverhälnisse ergeen ei verschiedenen Weren die gleichen Kurven. Is die Kurve nich geschlossen, eweg sie sich dich im Recheck mi den Eckpunken E :,,,4 Beispiel: sin und y sin Hier he ich 0;50 verwende. Je größer mn ds Inervll mch, deso dicher wird ds Recheck von der Kurve eleg. (hegrfi!)

23 54000 Algerische Kurven Informionen Te 5480 Keenlinie e e Die Kurve y heiß Keenlinie, weil sie den Verluf einer durchhängenden Kee eschrei. n h der zugrunde liegenden Funkion einen neuen Nmen gegeen: f cosh (Cosinus Hyperolicus, hyperolischer Kosinus). Als Keenlinie ezeichne mn uch die Kurven, die durch zenrische Sreckung us y cosh ensehen und folglich diese Gleichung hen: y cosh Für = erhäl mn:

24 54000 Algerische Kurven Informionen 4 Te 5455 Versier der Agnesi Konsrukion der Versier ls Orskurve:. Zeichne den Kreis k um 0 R, hier mi R =.. In Q0 R zeichne die Prllele p zur -Achse.. Eine elieige Ursprungsgerde mi posiiver Seigung schneide k in U und p in V. 4. Die Prllelen zur -Achse durch U und zur y-achse durch V schneiden sich in einem Punk P. Die Versier is die Kurve, die us llen diesen Punk P und deren Spiegelild ezüglich der y-achse eseh, zusmmen noch mi dem Punk Q. Diese Versier h folgende Gleichungen: Prmeergleichungen: Für 0; gil: cos R Rco R sin n y R sin i wchse von 0 is wchsendem durchläuf mn die Kurve von rechs nch links, lso von is. Koordinengleichung Implizi: mi = R, lso > 0. y 0 Eplizi: y Wgreche Asympoe is die -Achse: y = 0, 0 denn lim lim Wendepunke sind: W, Die Fläche zwischen der Kurve und der -Achse h den Inhl 4 R

25 54000 Algerische Kurven Informionen 5 Te 5455 Serpenine Konsrukion der Serpenine ls Orskurve:. Zeichne den Kreis k um 0 mi Rdius und eine Prllele zur -Achse mi der Gleichung y =.. Eine Ursprungsgerde g: y m schneide g in U und k in V.. Die Prllelen zur -Achse durch U und zur y-achse durch V schneiden sich in einem Punk P. Die Serpenine is die Kurve, die us llen diesen Punk P und deren Spiegelild ezüglich des Ursprungs eseh, zusmmen noch mi dem Ursprung. Diese Serpenine h folgende Gleichungen: Prmeergleichungen: cos co n sin y sin cos i wchsendem von 0 is wchsendem durchläuf mn die Kurve von rechs nch links, lso von is. Koordinengleichung: Implizi: y f y und eplizi: Wgreche Asympoe is die -Achse: y = 0 0 denn lim lim 0 0 K is punksymmerisch zum Ursprung, weil f f is.

26 54000 Algerische Kurven Informionen 6 Te 5465 Psclsche Schnecke Definiion: Gegeen is der Kreis k um r 0 und dem Rdius r. Ein Punk P k umlufe den Kreis. i ihm dreh sich die Ursprungsgerde (OP k ). Träg mn uf ihr von P k us die Srecke nch eiden Seien, erhäl mn zwei Punke P und P. Als Psclsche Schnecke ezeichne mn die Orskurve der Punke P (gesrichel). Ürigens lieg dnn uch P uf dieser Kurve. Kurvenilder Die Kurvenilder hängen von den Größen r und. n unerscheide gewöhnlich drei Fälle: r > r = r < r, r,5 r,5, 4 Prmeergleichungen für 0;. Of wird r durch ersez. r cos cos und y r cos sin sin Oder: r cos cos und y r cos sin sin Hinweis: Die Aildungen drüer wurden mi den Gleichungen ersell, die ein inuszeichen enhlen. Verwende mn ds Pluszeichen, erhäl mn dieselen Kurven, nur mi Anderen Zuordnungen Punk. Koordinengleichung: y r y 0 Polrkoordinengleichung für 0; Äußerer Punk: R OP rcos Innerer Punk: e OP rcos

27 54000 Algerische Kurven Informionen 7 Te 5445 Neilsche Prel Als Neilsche Prel ezeichne mn die Kurve mi der lgerischen Gleichung ( > 0) y 0 () n knn die Gleichung nch y uflösen und dnn zwei Erszfunkionen ilden: y y () Die -Were in der Aildung sind (von rechs nch links): 0,0-0, 0,5 0,9 -,,7 - Die Prmeergleichungen für diese Neilsche Prel luen: y. Dreh mn diese Kurve um 90 O in die horizonle Lge, dnn lue ihre Gleichung: y 0 (Ad. Für = 8) Die Prmeergleichungen für die horizonle Lge sind: () y() n gi sie of uch in dieser Form en: (). y() Dnn h dieses er nich denselen wer wie ds in der Koordinengleichung.