Hyperbeln INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL. Text Nr Stand 29. Mai 2016

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1 Hpereln Tet Nr Stnd 9. Mi 06 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 54070 Hpereln ls lgerische Kurven Vorwort Um 980 herum wren Hpereln und Ellipsen ls sogennnte Kegelschnitte noch Unterrichts- und Prüfungsstoff. Dieser wurden dnn gelöst von der Vektorrechnung. Heute kennen Schüler nur noch die Hpereln, die zur Gleichung oder komplizierteren 4 Gleichung wie gehören. Diese werden im Bereich Anlsis, lso ei gerochen rtionlen Funktionen untersucht. In vielen Bundesländern wurden diese Funktionen inzwischen uch us den Prüfungen vernnt, der Zeitmngel im G8 ist einer der Gründe. In diesem Tet jedoch fllen lle diese Fesseln, und ich erichte üer Hpereln ls lgerische Kurven. Ordnung. D dieser Stoff jedoch sehr umfngreich ist, git es einen zusätzlichen Tet im Ordner Anltische Geometrie unter der Nummer 400. Dort findet mn dnn uch Konstruktionen und usführliche Aufgen zu Tngenten. Hier eschränke ich mich uf wesentliche Einlicke, wie es uch ei den nderen etw 0 Kurven dieses Ordners geschieht Inhlt Hpereln in -Richtung Detils zu den Gleichungsrten 4. Herleitung der Koordintengleichung (Mittelpunktsform) 4. Bestätigung der Prmetergleichungen 5. Hperelgleichungen mit Polrkoordinten 6 Krümmungskreis zu einer Hperel 9. Verschiedene Methoden 9. Beweise der Krümmungsformel. Konstruktion der Krümmungskreismittelpunkte 5 4 Andere Lgen von Hpereln 6 4. Hpereln, die in -Richtung geöffnet sind 6 4. Hpereln in verschoener Lge 7 Herstellung der Mittelpunktsgleichung durch qudrtische Ergänzung 8 4. Rechtwinklige Hpereln 0 Drehung von Hpereln um 45 O und Verschieung 5 Drehung von in 4 5 Auslick 4

3 54070 Hpereln ls lgerische Kurven Vorschu: Hpereln in -Richtung Geometrische Definition: Eine Hperel ist der geometrische Ort ller Punkte einer Eene, für die der Betrg der Differenz der Astände zu zwei sogennnten Brennpunkten konstnt ist. Diese Konstnte ezeichnet mn in der Regel (günstigerweise) mit. Liegen diese Brennpunkte smmetrisch zum Ursprung uf der -Achse, etw Fe 0, F e 0 dnn erhält mn eine sogennnte Ursprungshperel (zw.. Huptlge).. Ihre Koordintengleichung ist zw. Sie ht zwei schräge Asmptoten: Zu ihr gehören zwei Erstzfunktionen: Der Zusmmenhng zwischen, und der Brennweite e ist: e A.: = 4, =. Weitere Kenngrößen für Hpereln sind die numerische Ezentrizität: 6 9 e Für Hpereln gilt stets - Und der sogennnte Prmeter p: p Liegt der Kurvenmittelpunkt sttt im Ursprung im Punkt M M Koordintengleichung: M M Prmetergleichungen: (Siehe Aschnitt.) M, dnn lutet die t und t tn t cos t für t 0; er t und t oder t cosht und sinht sinh und cosh sind Hperelfunktionen. t t t und t t oder t

4 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 4 Detils zu den Gleichungsrten. Herleitung der Koordintengleichung (Mittelpunktsform) Geometrische Definition: Eine Hperel ist der geometrische Ort ller Punkte einer Eene, für die der Betrg der Differenz der Astände zu zwei sogennnten Brennpunkten konstnt ist (= ). Wir gehen us vom elieigen Kurvenpunkt P und den eiden Brennpunkten F e 0 und F e 0 :. Astnd: PF e 0. Astnd: PF e 0 Bedingung: PFPF zw. PF PF d. h. e e Isolieren der. Wurzel: e e Qudrieren: e 4 4 e e e e 4 4 e e e Isolieren der Wurzel: 4e 4 4 e :4 e e Qudrieren: Günstig umformen: e e e e 4 e 4 e e e e denn uv u v e Ersetzen: e e : :

5 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 5. Bestätigung der Prmetergleichungen: Mn erechnet: t und t tn t cos t tn t sin t sin t cos t cos t cos t cos t cos t cos t Die durch diese Prmetergleichungen erechenren Punkte liegen uf der Ursprungshperel. Bestätigung der Prmetergleichungen: t cosht und sinht Hier muss mn wissen, dss für diese hperolischen Funktionen gilt: cosh t sinh t cosh t sinh t Mn rechnet dher Ergenis: Hperel um den Ursprung. Beispiel: t cosht und t sinht Es folgt cosh t Eingesetzt in für t und sinh t. cosh t sinh t Erhält mn 9 4 Ds ist die Gleichung einer Hperel. Zur Kurve gehört nur der rechte Ast der Hperel, denn die Funktion cosh ht nur Werte, lso liefert diese Formel keine negtiven -Werte. Um diese zu erhlten enötigt mn t cosht (Siehe die Gleichungen in der. Zeile.) Bestätigung der Prmetergleichungen: t t t und t t Berechnung von : t 4 4 t t t t t t t t 4t 4t 4t 4t 4t 4t 4t

6 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 6. Hperelgleichungen mit Polrkoordinten: () p r zw. cos r cos e ecos r Bei dieser Gleichung liegt der Ursprung im linken Brennpunkt Die Lge dieser Hperel knn mn wie folgt untersuchen: 0 ergit O zw. 80 : r e e e r sin sin0 0 0 e e Drus folgt: r cos cos 0 Ds führt zum Punkt S 0 e r e Ds führt zum Punkt S 0 e Für den Mittelpunkt von S und S gilt e e r sin sin 0 0 e e Drus folgt: r cos cos e e e e e e e M Also ht die Hperel den Mittelpunkt Me 0. Der Astnd des Ursprungs von M ist lso e, und dmit liegt der Ursprung im linken F siehe Aildung unten. Brennpunkt: Für den rechten Brennpunkt gilt M e e : F e 0 Die Asmptoten hen die Steigung m und gehen durch M, dher esitzen sie diese Gleichungen: 0 e e Beispiel: Es sei = und =, dnn folgt e und 4 Drus folgt: r cos e 4 p Die eiden Scheitel erechnet mn wie oen: 4 S 0 0,6 0, S 0 5,6 0 4 Es folgt M 0, F 0,F0 0 Koordintengleichung: 9 4 Asmptoten:,

7 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 7 () p r zw. cos r cos e ecos r Bei dieser Gleichung liegt der Ursprung im rechten Brennpunkt Die Lge dieser Hperel knn mn wie folgt untersuchen: 0 ergit O zw. 80 : r e e e r sin sin0 0 e Drus folgt: r cos cos 0 Ds führt zum Punkt S 0 e r e Ds führt zum Punkt S 0 e Für den Mittelpunkt von S und S gilt e e r sin sin 0 e Drus folgt: r cos cos e e e e e e e M Also ht die Hperel den Mittelpunkt M e 0. Der Astnd des Ursprungs von M ist lso e, und dmit liegt der Ursprung im rechten F 0 0 Brennpunkt: Für den linken Brennpunkt gilt M e e : F e 0 Die Asmptoten hen die Steigung m und gehen durch M, dher esitzen sie diese Gleichungen: 0 e e Beispiel: Es sei = und = 4, dnn folgt e 5 5 Drus folgt: 6 r 5cos Die eiden Scheitel erechnet mn wie oen: S 8 0, S 0 Es folgt M 5 0, F0 0,F 0 0 Koordintengleichung: Asmptoten: und

8 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 8 Die Ahängigkeit der Lge und Form der Hperel von den Größen p und knn mn durch Drstellung von Hperelschren mit MtheGrfi sehr schön erkennen. Zuerst Hpereln mit p r. zw. cos p r cos Die Aildungen zeigen Hperelschren für vriles p. Die verwendeten Werte für p gehen von is 9. Alle Kurven hen,. Ich zeige jeweils nur den Hperelst, der sich um den Ursprung windet. Siehe dzu die Aildungen uf den Seiten 4 und 5. Mn erkennt, dss ei wchsendem p die Hperel flcher zw. weiter geöffnet wird. () Die seltsme Form der Scheitelgleichungen lutet e p mit p und (Für ergit diese Gleichung eine Hperel.) knn mn in einer Aildung verdeutlichen: Hier liegt der rechte Hperelscheitel im Ursprung. Die A. zeigt eine Hperelschr für p von is 9 und,

9 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 9 Krümmungskreise zur Hperel Gegeen ist die Kurve K durch 9 4 Berechne die Krümmung und die Gleichung der Krümmungskreise für =.. Es git verschiedene Methoden, den Rdius des Krümmungskreises zu erechnen.. Mit Hilfe der Formel Mit = und = folgt: rk 4 rk. S 0, S 0. Diese Ellipse ht die Scheitel 4 Der Mittelpunkt des Krümmungskreises, der K in S erührt ht Kreisgleichung: 6 9 M 4 Der Mittelpunkt des Krümmungskreises, der K in S erührt ht Kreisgleichung: 6 9 M Die Beweise für diese Krümmungsformel folgen uf den Seiten 0 is.. Methode: Mn verwendet die Krümmungsformel. / Sie stmmt us der Differentilgeometrie (Tet 540). Dzu enötigt mn jedoch eine Prmetergleichung für diese Hperel, lso z. B. t und t tn t cos t oder t cosht und sinht ACHTUNG: Wenn die Hperel durch diese Gleichung gegeen ist und mn nicht sofort erkennt, dss dmit im Grunde gegeen ist, dnn knn mn die oige 9 4 Rechnung nicht durchführen und muss den folgenden mühsmen Weg nehmen.

10 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 0 () Berechnung der Krümmung zur Kurve t und t tn t durch cos t Aleitungen: / sin t t cos t t cos t sin t cos t Für die. Aleitung enötigt mn die Quotientenregel: u' v v' u 4 cos t cos t cos t sin t sin t cos t cos t sin t t 4 4 cos t cos t cos(t) im Zähler usklmmern und gegen den Nenner kürzen ergit t t cos t sin t cos t tn t (t) tn t tn t t 4 tn t tn t ' 4 tn t tn t 4 tn t 4 tn t Wenn mn sich jetzt die Mühe mcht, und in die Krümmungsformel einsetzt, erhält mn dieses Monster: sin t cos t sin t 4tn t 4tn t tn t cos t cos t / / sin t tn t cos t Ds knn mn umgehen, indem mn sich üerlegt, dss mn j die Krümmung nur n der Scheitelstelle = enötigt. Mn muss us der Gleichung Scheitelstelle = für t = 0 erhält. Also suchen wir 0. t erkennen, dss mn die cos t Dzu erechnet mn die 4 enötigten Aleitungswerte und setzt dnn erst ein: sin cos 0 cos 0 cos 0 sin (0) tn 0 0 Jetzt wird eingesetzt: t 0 / denn tn 0 4tn / 4 / oder so: / Für den Krümmungskreisrdius gilt: r K / wie uf Seite 7.

11 54070 Hpereln ls lgerische Kurven () Berechnung der Krümmung zur Kurve cosh t und t sinh t t mit / Aleitungen: t sinh t, t cosh t (t) cosh t, t sinh t () Mn knn jetzt die Krümmung llgemein erechnen indem mn in die Formel einsetzt. 6 sinh t cosh t sinh t sinh t cosh t cosh t 9sinh t 4cosh t 9sinh t 4cosh t / / WISSEN: Es gilt der so gennnte hperolische Pthgors: Also ist sinh cosh 6 6 9sinh t 4cosh t 9sinh t 4cosh t / cosh sinh Wichtig jetzt: Zur Stelle = gehört der Prmeterwert t = 0, denn es ist: t cosh t cosh t t t e e t t d. h. cosh t e e t e t t t e e 0 d. h. e 0 lso t e t 0 Also ist 0 0 e e sinh e e cosh t sinh 0 4 cosh 0 Krümmungskreisrdius: r 4 0 () Mn knn er uch gleich die Aleitungswerte für t = 0 erechnen und dnn einsetzen: 0 0 e e 0 sinh0 0, 0 0 e e (0) cosh0, Einsetzen: t 0 / denn / e e 0 cosh e e 0 sinh / / 4 oder so: / Für den Krümmungskreisrdius gilt: r K / wie uf Seite 7. Es ist lso günstiger zuerst die Aleitungswerte für t = 0 zu erechnen.

12 54070 Hpereln ls lgerische Kurven. Beweise der Krümmungsrdienformel. Beweis der Krümmungsrdienformel r K n Hnd der Gleichungen: t und t tn t mit cos t u' v v' u 4 cos t cos t cos t sin t sin t cos t cos t sin t t 4 4 cos t cos t / Aleitungen: sin t t cos t t cos t sin t cos t Für die. Aleitung enötigt mn die Quotientenregel: cos(t) im Zähler usklmmern und gegen den Nenner kürzen ergit t t cos t sin t cos t tn t (t) tn t t tn t tn t ' tn t tn t Berechnung der Aleitungswerte für t = 0 (d. h. n der Scheitelstelle = ) sin cos 0 cos 0 cos 0 sin (0) tn 0 0 Einsetzen: t 0 denn / 0 tn 0 tn / / Für den Krümmungskreisrdius gilt: / 0 r K wie uf Seite 7.

13 54070 Hpereln ls lgerische Kurven. Beweis der Krümmungsrdienformel r K n Hnd der Gleichungen: cosht und t sinht t Aleitungen: t sinh t, t cosht (t) cosh t, t sinht 0 0 e e mit 0 sinh0 0, 0 0 e e (0) cosh0, Einsetzen: t 0 denn / / 0 / 0 0 e e 0 cosh e e 0 sinh / / Für den Krümmungskreisrdius gilt: r K wie uf Seite 7. Kommentr: Es ist schon erstunlich, wie kurz diese Rechnung ist im Vergleich zu der vorngegngenen. Die vermeintlich schwierigen Funktionen sinh und cosh helfen hier deutlich weiter. Nicht nur deshl ht mn sie eingeführt

14 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 4. Beweis der Krümmungsrdienformel r K mit einer Methode der nltischen Geometrie. Zur Herleitung verwende ich Hpereln in der Lge, in der sie den Mittelpunkt M 0 E ht und somit durch den Ursprung geht. Sie ht dnn diese Gleichung: Dnn setze ich einen Kreis mit zunächst elieigem Rdius n, der eenflls im Ursprung die -Achse erührt. Sein Mittelpunkt ist dnn MK r 0. Er ht somit diese Gleichung: r r und schneidet die Hperel zusätzlich in P, P. Berechnung dieser Schnittpunkte.. Schritt: Kreisgleichung: r r d. h. Hperelgleichung: rr r r 0 zw. Multipliktion mit dem Huptnenner zw. r () ergit - 0 (). Schritt: Einsetzen von () in () und umformen: r 0 r0 Ausklmmern:. Schritt: Weiter usklmmern: r 0 r 0 Der. Fktor liefert die eknnte Berührstelle = 0. Der. Fktor, lso die eckige Klmmer, liefert die -Koordinten der Schnittpunkte: r r 0 r 4. Schritt: Wir verkleinern jetzt den Kreis, dmit rücken die eiden Schnittpunkte näher zusmmen. Schließlich erreicht mn die Sitution, in der die eiden Schnittpunkte mit dem Ursprung zusmmenfllen. Dmit es nur noch die eine Lösung = 0 git, muss die Zählerklmmer 0 werden. Ds geht nur mit r 0. Es muss lso gelten: r.

15 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 5. Konstruktion der Krümmungskreismittelpunkte Beispiel: Gegeen ist die Kurve K durch 9 4 Mn zeichne im Hperelscheitel eine senkrechte Linie is zu einem Schnittpunkt mit einer Asmptote. Die Senkrechte zur Asmptote in diesem Schnittpinkt schneidet die Hperelchse In einem Krümmungskreismittelpunkt.. Beweis Geht mn us von der Mittelpunktsform und die Scheitel S 0,., dnn ht die Hperel die Asmptoten Beginnend in S kommt mn so zum Punkt A Die Senkrechte zur Asmptote in A ht die Gleichung: uf der Asmptote Sie schneidet die -Achse für M 0, lso ei 0 M Die Länge der Strecke SM ist lso SM rkr () Im Dreieck A S M ht der Winkel ei A diesele Größe, lso uch. SM SM Hier gilt: tn SA (). Beweis: Es sei der Winkel ei O im Dreieck OS A. Dnn gilt: tn SM Dher folgt us () und (): SM rkr Ds geht noch kürzer, wenn mn die eiden Dreiecke ls ähnlich erkennt.

16 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 6 4 Andere Lgen von Hpereln 4. Hpereln, die in -Richtung geöffnet sind. Vertuscht mn die eiden Brüche, dnn entsteht eine in -Richtung geöffnete Hperel: Beispiel: K : K : Ich he die eiden Kurven von MtheGrfi durch die Prmetergleichungen 4 cos(t) K : t, t tn t cos(t) K : t 4 tn t, t erstellen lssen. Zu K erechne ich sin t sin t cos t tn t 4 cos t cos t cos t cos t cos t Also, d.h. die zweite Prmetergleichung gehört wirklich zu K. 9 6 Mn nennt die Hperel die konjugierte Hperel zu Diese eiden Hpereln hen dieselen Asmptoten:.

17 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 7 4. Hpereln, in verschoener Lge Verschiet mn die Hperel um c in -Richtung und um d in -Richtung, dnn Mc d und die Gleichung der Hperel lutet dnn ekommt der Mittelpunkt die Koordinten c d Die Asmptoten gehen dnn durch M und hen weiterhin die Steigungen m Ihre Gleichungen erhält mn dnn durch die Punkt-Steigungsform, z. B.: Beispiel: d c c d zw. c d ht den Mittelpunkt M, = und =, 9 4 lso ht sie die Scheitel S 5, S und wegen Hierzu die Aildung: e die Brennpunkte F, Die Asmptoten hen die Gleichungen 7 lso und lso Wenn mn die Hperelgleichung usmultipliziert, verliert sie ihre ussgekräftige Form: Mn knn nur noch erkennen, dss = 4, lso = ist (Koeffizient von ) und =. Und weil die Koeffizienten von und verschiedene Vorzeichen hen, knn es sich um eine Hperel hndeln. Doch der Mittelpunkt ist nicht mehr erkennr. Mn hüte sich lso, ohne wichtigen Grund diese Umformung vorzunehmen! Doch, ws tut mn, wenn mn von der Hperel nur diese Gleichung kennt? Mn muss die Schritte rückwärtsgehen und die Mittelpunktsgleichung wieder herstellen.

18 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 8 Herstellung der Mittelpunktsgleichung durch Qudrtische Ergänzung Beispiel : Gegeen ist die Kurve K durch Bestimme die Art der Kurve und gi ihre Lge n. Neue Anordnung: Koeffizienten usklmmern: Ziel : Qudrtische Ergänzung: z6 Alles ws links ergänzt worden ist, muss uch rechts ergänzt werden: Zusmmenfssen: Kürzen: : Diese Gleichung stellt eine Hperel mit dem Mittelpunkt M dr, mit = und = Beispiel : Gegeen ist Neue Anordnung: Koeffizienten usklmmern: Ziel : Qudrtische Ergänzung: z5 Zusmmenfssen: Ergenis: :5 5 9 lso M zu Beispiel

19 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 9 Prmetergleichungen einer verschoenen Hperel Auf Seite wurde gezeigt, dss die Ursprungshperel uch durch die Gleichungen t und t tn t drgestellt werden knn. cos t M M ei der verschoenen Hperel muss mn die -Koordinten des Mittelpunkts dzu ddieren: t M und t M tn t cos t Ist eine Hperel in -Richtung geöffnet, wie oen gezeigten Gleichungen: 5, dnn vertuscht mn die 9 9 Die Steigung der Asmptoten ist t tn t und t 5 cos t m : 5 4 : 5 6. Sie gehen durch M 5 :

20 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 0 4. Rechtwinklige Hpereln Für = erhält mn die sogennnte rechtwinklige Hperel: zw. Sie ht die Asmptoten Rechts sieht mn die Kurve für = : 4. Ich führe nun zwei Aildungen durch: Zuerst eine Drehung der Kurve gegen den Uhrzeigersinn um 45 O : Im Tet 00 findet mn uf Seite 6 die Aildungsgleichungen für Drehungen um den Ursprung: ' cos sin ' sin cos Für O 45 : ' ' Zum Ailden einer Kurve muss mn die Gleichungen zum Einsetzen nch und umstellen. Dzu vereinfche ich sie zuerst, indem ich mit multipliziere, woei gilt Dnn entsteht ' ' Addiert mn eide Gleichungen, erhält mn ' ' ' ' Sutrhiert mn die erste von der zweiten: ' ' ' ' Berechnung der Drehung: Aildungsgleichungen in einsetzen: ' ' ' ' Vor dem Weiterrechnen lsse ich die Striche n 'und ' weg: 4 4 Es leit ürig: d. h. lso zw. Die Aildung zeigt die Drehung von 4 in k Allgemein geht ei dieser Drehung üer in die Hperel mit Doch ds muss mn sich nicht merken.

21 54070 Hpereln ls lgerische Kurven k v Dnn Verschieung der Kurve um den Vektor v v. Verschieungsgleichungen (jetzt rucht mn neue Striche zur Kennzeichnung): Einsetzen: ' ' ' v zw. ' c ' c zum k k k ' c zw. ' c ' ' k c ' c' c k ' ' ' ' Dies ist ein Bruchterm dieser Form: A B C D Ergenis: Durch eine Drehung um 45 O und eine Verschieung, entsteht us der rechtwinkligen A B Hperel eine Hperel der Form C D Zhleneispiel: Aus K: 4 wurde durch die Drehung K':. * Diese Kurve wird verschoen um v : * * * Eingesetzt: Endkurve: Die Aildung zeigt, wie der Scheitel S 0 durch die Drehung nch S' und durch die Verschieung nch S' geildet wird. Der Mittelpunkt der Endkurve K* ist M*. * * 5 * * * * * * * 5 K*: * *

22 54070 Hpereln ls lgerische Kurven Umkehrung: Durch welche Aildungen knn mn 5 4 in ilden? Mn erhält den Mittelpunkt der Hperel ls Schnittpunkt ihrer Asmptoten: Die Nullstelle des Nenners ist, lso ht K die senkrechte Asmptote. Der Grenzwert für : Also ht K die wgerechte Asmptote. Aildung: Verschieung: Hperelmittelpunkt lso: M,5 5 lim lim lim 4 Ich verschiee nun diese Kurve so, dss der Ursprung neuer Mittelpunkt wird, lso um Aildungsgleichungen: Einsetzen: Weiter ohne Striche:. Aildung: Drehung im Uhrzeigersinn um 45 O ' ' ',5 ',5 5 ' 5 ' ',5 4 ' 4 ',5 zw. ' cos sin Drehung um den Ursprung: ' sin cos Für die Drehung im Uhrzeigersinn um 45 O muss mn O 45 verwenden: O O Wegen sin45 sin45 und O O cos 45 cos45 folgt: ' ' Dnn vereinfche ich, indem ich mit multipliziere, woei gilt: Dnn entsteht ' ' () + () ergit: ' ' ' ' () () ergit: : ' ' ' ' Durchführung der Drehung: Einsetzen in 5,5 zw. 5,5:. inomische Formel: ' ' 5,5 ' ' ' ' 5,5 *) 5,5 v, 5 : Ohne Striche weiter: 5,5 Siehe Aildung nächste Seite. *) denn. 4

23 54070 Hpereln ls lgerische Kurven Hinweis: Auf Seite 6 wurde gezeigt, dss in durch Drehung um 45 O gegen den Uhrzeigersinn üergeht. Kennt mn dieses Ergenis, dnn knn mn die Endgleichung uch durch Vergleichen erhlten: Ds Ergenis ist lso: 5,5. Die folgende Aildung enthält die gegeene Kurve K: die um v verschoene Kurve K : die um 45 O gedrehte Kurve K*: 5 mit den lu gestrichelten Asmptoten, 4 5,5 mit dem Mittelpunkt im Ursprung und mit den schrägen Asmptoten.

24 54070 Hpereln ls lgerische Kurven 4 5 Auslick Tngentengleichungen und viele geometrische Eigenschften der Hpereln stehen im Tet