Lösungen der Aufgaben zu Kegelschnitte I

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1 ' ' Dr. Sefn Lnge, Dr. Krlhors eer Lösungen der ufgen zu Kegelschnie I Zu..: n öge in der ngegeenen Weise seln. Zu..: Zu..: n knn die Kreiseene und die ildeene so erchen, dss sich die unen sehende Skizze ergi. Die ildellipse h dnn den Kreisrdius, c ls große chse und für die kleine chse gil cos o, c. Zu..: Druckfehler: Es üsse heißen: eweise den Sz.... Es genüg Definiion..: Jeder Konsrukionsschri liefer ein eindeuiges Ergenis. Die Ukehrildung genüg derselen Definiion i derselen chse und der Konsnen /c.. Is die Gerde g ein chsenlo, so werden ihre unke geäß Definiion.. innerhl dieses schsenloes geilde; ds ild is lso wiederu eine Gerde. Is die Gerde g kein chsenlo, so knn g prllel zur chse sein. lle unke werden dnn längs chsenloen i selen Verhälnis veränder. Es ensehen Rechecke, die die Zwischenpunke rgen, die dnn lso erls uf einer zur chse prllelen Gerden liegen. Is die Gerde g kein chsenlo und nich prllel zur chse, so schneide g die chse. Es enseh die neensehende Figur. Die ildpunke, und R liegen dnn wegen einer Ukehrung des Srhlenszes uf einer Gerden. R R' ' ' g ' g' s. Sind die prllelen Gerden g und h prllel zur chse, so gil dies nch. uch für ihre ilder. Schneiden g und h die chse, so gil in der neensehenden Figur: u:u v:v c oder u:v u :v : Nch einer nderen Ukehrung des Srhlenszes folg hierus: g und h sind prllel. g' g s ' h' h v v u u Die uoren ednken sich ei Herrn Gusv Vogl für die ereisellung geeigneer Hpereln, die llerdings nich üerll zu Einsz gerch werden konnen. Der Leser öge enschuldigen, dss nche Zeichnung esser wiedergegeen sein könne.

2 . Der folgende linke Fll is rivil; ei rechen Fll wird der Srhlensz ngewnd. R' g' ' g' ' s ' ' g R g g RR'. Sind die Srecken s und senkrech, so werden sie nch. in cs und c verzerr, lso i selen Verhälnis. Sind eide Srecken prllel, so leien ihre Längen unveränder. In jeder nderen Lge schneiden die Trägergerden der Srecke die chse (siehe neensehende Zeichnung). Nch. sind dnn uch die ildgerden prllel und geäß cos α : cos α lso i selen Verhälnis verzerr. 6. Siehe oen uner. zw. Definiion... ' s s' 7. Nch Definiion.. sind die unke der chse Fipunke. Deshl gehör der chsenschnipunk uch zur ildgerden. 8. Wegen der Eineindeuigkei der ildung knn us einer Tngene keine ssne oder ehrfch schneidende Gerde werden. α' α Zu..: i den ezeichnungen der. Figur Seie 6 us I gil: Die chsensreckung i der -chse ls chse und c : führ in üer. Dies is us einer Srhlenszfigur i Zenru zulesen. Zu..6: Die Eigenschfen von Sz.. liefern für jeden Konsrukionsschri ehrere öglichkeien, uf deren gegenseiige Konrollfunkion zwecks Veresserung der Genuigkei seiens des Lehrers hingewiesen werden solle. Der Verzerrungsfkor dieser chsensreckung eräg c - :. Die Were der -Koordinen leien unveränder. us der Ordine wird c. So finde n ls ildpunke ei ) und R ( - ); ) ( -), (7 ), C( ), D( -), E(8 - ). ' R R' ' ' ' E E' D C' D' C ei der neensehenden Zeichnung wurden

3 vor lle die Schnipunke der zuildenden Gerden i der chse verwende. Zu..7: ) Die Gleichung eschrei eine Ellipse, deren chsen prllel zu den Koordinenchsen sind, deren ielpunk die Koordinen ( o o ) h und deren Hlchsen und luen. ) r c) ± ( ) ( ) ( ) d) 6 e) is die ie zwischen den Scheieln und C, lso (- ); drus ergeen sich die Hlchsen ls ( C ) und. Für den. Scheiel D gil dnn D. Di gil D(- ). ( ) ( ) Die Gleichung der Ellipse lue lso. 9 Zu..: Siehe die neensehende Zeichnung: Zunächs wird us nch der Wipelkonsrukion esi. Die Neenkreisngene in (senkrech zu Rdius) h ihren Schnipunk T i der Neenchse ls Fipunk ei einer chsensreckung. T is die gesuche Tngene. T Zu..: Der Zeichner sel Erfhrungen: Lieg nhe ei Hupscheiel, so lieg der Hupchsenschnipunk der Tngene noch näher ei diese; die Tngene is lso Verindungsgerde eng enchrer unke und deshl nur ungenu zu zeichnen. Lieg p nhe ei Neenscheiel, so lieg der Hupchsenschnipunk prkisch unzugänglich wei ußerhl des Zeichenles. Verwende n die chsensreckung zu Neenkreis, so geschieh Ensprechendes, nur verusch. Zu..: nlog zu den vorhergehenden ufgen. Zu.. (Vorussezung für.7.6):

4 6 Die Hupkreisngene in ( ) seh senkrech uf der den Rdius rgenden Gerden i Deshl is nch der eerkung der ufge die Hupkreisngene in fesgeleg durch Durch usuliplizieren erhäl n hierus :, () weil uf de Hupkreis i Rdius lieg. nlog eko n für die Neenkreisngene in ( ): () Die ildungsgleichungen für die chsensreckung us de Hupkreis sind:, ; lös n dies nch und uf und erechne di die Koordinen des ildpunkes ( ) ei chesesreckung z.. us, so finde n und ; lös n die lezere Gleichung nch uf und sez dies in () ein, so erhäl n für die Tngene i Ellipsenpunk ( ): p. Dies norier n zu. Dssele Ergenis erhäl n, wenn n i Hilfe der Gleichung () den Ellipsenpunk s Tngene us de Neenkreis herus enwickel... Zu..: ) n wende uf die Geskonfigurion die chsensreckung n, die in üerführ. is dnn ls chsenpunk Fipunk. n erhäl so die Richung der Tngenen n den Hupkreis. Die Gegenildung liefer dnn die gewünschen Ellipsenngenen s ihren erührpunken. ' ' ' ' ) n such sich zu gegeenen unk R ds Urild ei chsensreckung. Dies geschieh z.. i de Zusenhng D D und eine Fipunk. Schließlich leg n von R us die Tngenen n den Hupkreis und finde die dzugehörigen erührpunke. Die Gegenildung liefer dnn die gesuchen Ellipsenngenen s ihren erührpunken. 6 7 R R

5 7 c) Wähle den Hupkreis ls ild der Ellipse ei einer chsensreckung. Suche zu S ds ild S. Schneide S i de Hupkreis und ilde durch die Ukehrildung die Schnipunke zu Ellipsenpunken. Die neensehende Zeichnung knn vereinfch werden, wenn n erkenn, dss S wgrech is. S 6 uf die Geeinskei in der Lösungssregie der drei ufgen solle vo Lehrer hingewiesen werden. Fss n die gegeene Ellipse ls ild des Neenkreises ei chsensreckung uf, so ergeen sich für die drei Frgen die folgenden Lösungen (dies is esonders zu epfehlen, flls ei ) der unk R uf der Neenchse lieg; vgl. ufge.. c) und e)): ) ) c) ' R 6 R S ' Zu..6: Der folgende Te ezieh sich uf Zeichnungen in I Seie 8 unen. n solle hier zuers eine ndere ufge einschieen: Führe die piersreifenkonsrukion zu uffinden eines Ellipsenpunkes llein i Zirkel und Linel us. Lösung: Zeichne u einen elieigen unk Y der -chse einen Kreis i Rdius zw. -. Verinde n jeweils den Schnipunk X uf der -chse i Y, so erhäl n eine Lge des piersreifens. Träg n nun von Y uf de piersreifen, so erhäl n einen Ellipsenpunk. Die ufge..6 is gewisserßen die Ukehrung des een esprochenen roles: n zeichne u den eknnen Ellipsenpunk einen Kreis i Rdius, der die -chse in Y schneide. Y schneide die -chse in X. X is dnn die kleine chse. CD: n leg eine unendlich dünne Ellipse der vorgegeenen großen chsenlänge uf die richige Hlchse und zieh die Ellipse in der dzu senkrechen Richung so lnge, is sie durch den gegeenen unk geh. Dnn knn n die kleine Hlchsenlänge uf der Lge der kleinen Hlchse lesen. Zu..7: Der folgende Te ezieh sich uf Zeichnungen in I Seie 8 unen.

6 8 Der Kreis u i Rdius schneide die -chse in unken X. X sind die Lgen von piersreifen, die die -chse in unken Y schneiden. Y is dnn die große Hlchsenlänge. Zu..8: ) ) c) ewerung: ei Verwendung des äußeren piersreifens lieg der Ellipsenpunk ses zwischen X und Y, is lso ses genu. ei Verwendung des inneren piersreifens lieg der Ellipsenpunk ses ußerhl von XY, is lso weniger genu. Insesondere ei dicken Ellipsen wird dieser piersreifen ls Verindungsgerde eng enchrer unke ungenu esi (z.. ei c)). Zu..9: is zw.. is 6: (,6 ) und (,6) verfähr n wie ei ufge is : Für den Ellipsenpunk (?) esi n zunächs die Richung des piersreifens; hierzu räg n von ( ) us zur -chse hin. n verlänger diese Gerde zur nderen Seie u und verschie so lnge, is der Endpunk von uf der - chse zu liegen ko. n h so den piersreifen durch (?) gefunden. is : Is die -Koordine des Ellipsenpunkes gegeen, so eko n die Richung des piersreifens durch rgen der Srecke von eine unk (elieig,8) zur -chse hin; n räg uf der so gefundenen Gerden pssend und verschie so lnge, is der Endpunk des piersreifens die -chse riff

7 9 Zu..: ) ) c) ewerung: Lieg der eknne unk nhe ei eknnen Scheiel, so eko n für die piersreifenpunke uf der nderen chse schleifende Schnie, lso ein ungenues Ergenis. Zu..: Der Kreis wurde i der eknnen chse s i de Lo zu ihr geschnien. Zu..: Nch nge des ielpunkes und des einen Scheiels h die Ellipsengleichung die folgende Gesl c 6, die von de gegeenen unk erfüll sein uss. lso gil ; hierus folg d 9 d 9 6 d 6. Die Ellipsengleichung lue lso. Die Ellipse h die Neenscheiel (±9 ) und die Hupscheiel ( ±6). Zu..: ) Rechnerische Lösung: Die Verindungssehne der eiden ersen unke is -prllel; ihr ielpunk lieg lso uf der -prllelen chse. Di sind die nderen unke die Scheiel uf dieser chse, deren ie ( ) der Ellispenielpunk und die dzugehörige Hlchse sind. Di h n für die Gleichung der Ellipse ( ) ( ) d lue die Gleichung ( ) ( ). Sez n den unk ( ) ein, so erhäl n d 7 i der großen Hlchse und der kleinen Hlchse.. Di ) Zeichnerische Lösung: uch hier werden zunächs Serien wie ei der Rechnung usgenüz. n erhäl ielpunk, große chse und die Richung der kleinen Hlchse. i der Ukehrung der piersreifenkonsrukion eko n dnn die kleine Hlchse us eine der gegeenen unke.

8 Zu..: Die Koordinen von und üssen die ielpunksgleichung der Ellipse c d erfüllen. Ds liefer zwei linere Gleichungen für und. c d Durch Spiegeln der gegeenen unke n den Koordinenchsen knn n ier erreichen, dss eide unke i. udrnen des Koordinensses liegen. Hier üssen die eiden unke verschieden sein und ihre Verindungsgerde uss negive Seigung hen. Dies gil ei Kreis und lei ei chsensreckung us de Hupkreis erhlen. Ds edeue insges, dss und verschiedene Vorzeichen hen üssen. i u und c d I 6 u, v II 9 u 6 v v ergi sich ds folgende Gleichungssse: 6 I, II ergi: u(6 6-9, ) 6, Hierus erechne sich u 6 und di 6. Eingesez in II finde n v 6 und di,. Hinweis: Eine konsrukive Lösung dieser ufge is Gegensnd von ufge.6.7) uf Seie 7 von I. ufge.6.7) is idenisch i ufge... Zu..: ( ) ( ) Die Ellipsengleichung knn ugefor werden zu -. Führ n weiere reer ein, so zeig sich diese Gleichung in der For c D. Durch Einsezen der Koordinen von unken werden drus vier linere Gleichungen für,, C und D. Is dieses Gleichungssse lösr, so wird C C,, D und. Die vier zu wählenden unke üssen weiere edingungen erfüllen, die hier nur ungenu useinnder gesez werden können. Der heiker sg, dss die vier zulez gennnen Gleichungen liner unhängig sein üssen. Ds is z.. nich erfüll, wenn die vier unke ein Trpez i zwei zu einer Koordinenchse prllelen Seien ilden. Denn die in ufge.. verwendeen Serieussgen erzwingen die Gleichschenkligkei dieses Trpezes. Dnn er is us drei seiner Ecken die viere ereis esi, lso nich ehr unhängig von den nderen. zu..6 (Vorussezung für.7.9): ) Sez n die Gerdengleichung in die Ellipsengleichung ein, so is ds folgende role zu lösen:. ( ) ; hierus folg ( ) ; hierus folg die qudrische Gleichung

9 ( ) ( ) ; diese Gleichung h die Lösungen ( ) ± ( ) ± ± ±. () Dies sez n in die Gerdengleichung ein und erhäl für : ± ± Für den Sehnenielpunk erhäl n di: S und S () ) g is Tngene, flls die eiden Schnipunke zu erührpunk zusenfllen. In dieser Siuion h die Wurzel von () den Wer null: ; hierus folg: ± c) Der erührpunk h di die Koordinen und ±. () us () und () folg: S S Für konsnes is dies die Gleichung einer Gerden durch den Ursprung, d. h. den ielpunk der Ellip- se. lso hndel es sich u einen Ellipsendurchesser. Zu..: Die Erzeugung der Ellipse us eine Hupkreis (Rdius is die große Hlchse) geschieh in ller Regel in den folgenden Schrien:. Die Länge der großen Hlchse wird gese und dnn

10 . ein unk hochgezogen uf die Länge der kleinen Hlchse. Es wird lso eine chsensreckung verwende. In eine zweien nluf is dnn ds Koordinenkreuz zu drehen, di die Ellipse die richige Lge eko. Es sind er uch ndere ehoden denkr. Zu..: Für die Ellipse wird f() ±. () Hierus finde n: f '() () f ' f () ( ) ( ) Durch Einsezen in die ngegeene Forel erhäl n: ( ) ( ) ( ) f' r f" () Der Krüungsielpunk (k l) lieg uf der Norlen i dzugehörigen Ellipsenpunk ( ). us der neensehenden Zeichnung finde n: () k r cos α l r sin α r () n α r n α i n α n α f '() (6) Norle (;) Tngene Ellipse Hierzu: us de Dreieck wurde der Zusenhng zwischen Tngens und Cosinus hergeleie. Zwei Gerden i den Seigungskoeffizienen und sehen genu dnn ufeinnder senkrech, wenn - is. (k;l) α i () und () folg hierus durch Einsezen: k ( ) n α l ( ) α

11 Diese Foreln knn n vereinfchen; hieruf wurde hier verziche. Sez n in (), so erhäl n den Krüungskreisrdius für den Neenscheiel ls r. Sez n in (), so erhäl n den Krüungskreisrdius für den Hupscheiel ls r. Hier is die Srecke r i eine Vorzeichen versehen, je nchde n den ielpunk links oder rechs zw. oen oder unen vo Scheiel finde. Es ergeen sich hieri für die Hupscheielkrüungskreise die folgenden Gleichungen: ± Für die Neenscheielkrüungskreise finde n nlog: ± Hinweis: ei der erechnung der ielpunkkoordinen gi es Schwierigkeien, die n ers durch eine Grenzwererchung eheen knn. Ds is er nich gefrg. Zu..:

12 U die vorliegende Zeichnung i Konsrukionslinien, die ei einer norlen Hndzeichnung rdier werden, nich zu üerlden, wurden die Scheielkrüungskreise nur i jeweiligen oeren und linken Scheiel gezeichne. Den zu konsruierenden unk wähl n zwischen den Scheielkrüungskreisen und spiegel ihn n den chsen. n knn dnn i.. i eine guen Kurvenlinel die Ellipse sehr ordenlich zeichnen und enöig keine weieren unke. In oiger Zeichnung wurde diese unkkonsrukion uch vereinfch. Zu..: ) Wenn die Ellispen denselen Scheielkrüungskreis hen, hen sie diesele Norle, die Seriechse is. ) us r folg r. Für r, c erhäl n deshl,,, 8, c,,..,8., c c) us, c folg, c, d. h.: Die Ellipse is i ihre Scheielkrüungskreis idenisch. Deshl knn n i () uf Seie den Scheielkrüungskreis nich erechnen, d sich der sinnlose Wer : ergeen würde. d) Die Ellipsen wurden nch den oen in der Telle gegeenen ßen gezeichne. Zu..: Kreis: ( r) r drus folg: -r drus folg: Ellipse: ( )

13 Eliinier n, so erhäl n: r Flls is, folg hierus: r lso: r i den Lösungen und r. Ds wird zu für r. Zu.. (of Vorussezung): In der neensehenden Figur sind die Dreiecke EC, EC und E ähnlich, weil lle Winkel reche oder solche sind, deren Schenkel prweise ufeinnder senkrech sehen. Deshl gil i den Krüungsrdien r und r zw. den Hlchsenlängen und : r : : und r : : Drus folg: r zw. r Zu..: us der neensehenden Figur lies n : r 6, c und sin α r 7, c α,(8 o 7 ) o zu.6.: Die Lösung finde n in heikinforion uf Seie 9. C E r 7 α α ο

14 6 Zu.6. : ) is e) siehe ds Foo. f) Es is die Figur uf Seie 6 von heikinforion zuzeichnen. n öge echen, dss es hierei zwei Schren von Ellipsen gi, die enweder in Feldecken oder in den Feldien ihre Scheiel hen. g) Siehe uch c). h) Hierzu: () Is die Schriweie klein gegenüer de Rdius, knn die Krüung der Kreise vernchlässig werden. n erhäl lso prllele Seien. () ei gleicher konsner Schriweie eider Kreisschren eko n näherungsweise rllelogre i gleichen Höhen, lso Ruen. () Ruendigonlen sehen ufeinnder senkrech und hlieren die Winkel der Rue. () Ruendigonlen hlieren uch die Winkel der Ruenhöhen. i) Werden die Kreisschren i gleicher Geschwindigkei durchlufen, so liefern die Ruenhöhen Koponenen der Geschwindigkei eines Schnipunkes. Ds Vekorprllelogr für deren ddiion is nch h) eenflls eine Rue. Die Winkelhlierende lieg dnn ls resulierender Geschwindigkeisvekor des Ellipsenpunkes in der Tngenenrichung, lso die ndere Digonle in Norlenrichung. Ds Ugekehre uss dnn für die ndere Kurvenschr (Hpereln) gelen. Zu.6.: ) Wegen e eko n nch de Sz des YTHGORS die Neenscheiel durch rgen der großen Hlchse von F zur Neenchse hin. In der sogennnen ielpunklge der Ellipse is ( ), ( ), F(e ). Di ergeen sich ( ) und D( -) i F ) D e. Zu.6.: i den rennpunken is der ielpunk der Ellipse und die chsenrichungen gegeen. Ds Koordinensse zu ) wähl n ensprechend. n finde i der piersreifenehode die Hlchsenlängen ) T 8 G 9 F () Hlieren der Srecke FF ergi den Ellipsenielpunk () und ls Lo uf diese Srecke die Richung der Neenchse. () rgen der Sreckenlänge von F uf der 7 6

15 7 Verlängerung von F üer hinus liefer G. () Hlieren der Srecke F G ergi die Hlchse. () rgen von uf F F us liefer die Hupscheiel. (6) rgen von us F oder F zur Neenchse hin gi die Neenscheiel. (7) U die Tngene zu ekoen, führ n durch chsensreckung uf den Hupkreis nch. (8) Die Hupkreisngene in (Lo zu ) schneide die Hupchse in T. (9) T is die Ellipsenngene in. In Vorgriff uf Sz.7. knn n die Tngene uch durch Hlieren des Winkels F G ekoen. ) Es sei F (-e ), F (e ) und ( ). Nch Sz.6. gil: ( ) ( ) e e Di is die kleine chse e. Die Scheiel hen dnn die Koordinen ( ), C(- ), ( ) und D( -). Wie in ufge.. hergeleie h dnn die Tngene die Gleichung. Hinweis: Einen weieren Lösungsweg für die Tngenenerechnung finde n uner ufge.7.6. llerdings is dieser Weg rechnerisch usändlicher. Zu.6. (Vorussezung für.6.6): ) is ei chsensreckung ild von. is eensolches ild von ; deshl lieg uf de THLESkreis üer T. Hierus liefer die Wipelkonsrukion die Längen der großen und kleinen Hlchse. Hierus finde n die Scheiel und knn die Ellipse zeichnen. ) Die Zweipunkegleichung z.. liefer die chsen- schnisfor der Gerden:. 8 (), Nch ufge.. lue die Gleichung der Ellipsenngene in (,): () Koeffizienenvergleich der Gleichungen () und () ergi und chung der Ellipse: Di lue die Glei- T Zu.6.6 (vorher..): ) lieg jez i Innern des Dreiecks us den chsen und der Tngene. liefer deshl uf T den Neenscheiel. ) Die Rechnung von.6.) ergi 8 und. c) Eine Ellipse ls Kreis lieg genu dnn vor, wenn R R R is, d. h. R uf de THLESkreis üer T lieg.

16 8 d) Der Hlierungspunk der Tngenensrecke liefer eine Ellipse, deren Hlchsen sich wie die chsschnie der Tngene verhlen. eche: Die Scheielsehne is dnn prllel zur Tngene. S RR R ie TS T Zu.6.7: ) is Sehne in der Ellipse, lso is ls ild einer chsensreckung Sehne eines Kreises und deshl uss die ie R des ildes die Eigenschf R hen, lso R uf de THLES-Kreis üer S liegen. Hierus ergi sich die neensehende Konsrukion für die Hlch- sen wie ei ufge.6.. ) Ergenis: ; siehe Lösung zu 6,, R R 6 Zu.6.8: e) Is die Teilung eine Hlierung, so erhäl n den Kreisdurchesser. ) Is die Teilung keine Hlierung, so lieg eine Teilung für jede Hlsehne in eine fesen Verhälnis vor, d. h. es lieg eine chsensreckung vor. Die chse is derjenige Kreisdurchesser, der uf der gegeenen rllelenschr senkrech is. Ds ild is lso eine hle Ellipse. Zu.6.9: 7 8 F 9 k G H F K

17 9 ) Üerlegung und Konsrukion: () F uss von denselen snd wie F hen. F lieg lso uf eine Kreis k durch F u. Nch der rennpunkeigenschf der Ellipse h dieser Kreis ls Rdius die Länge der Hlchse. () Wegen der rennpunkeigenschf der Ellipse lieg F uf eine Kreis k u i Rdius F.Diese Länge eko n z.. ddurch, dss n vo Durchesser F G des F Kreises k die Länge F HF zieh. Die eiden Kreise schneiden sich hier in zwei verschiedenen unken F. ) Durch die rennpunke F und F sind jeweils die chsenrichungen und der ielpunk der Ellipse esi. Die eine chsenlänge is durch die Lge von vorgegeen, die ndere durch ) (). Zusz zu.6.9: Wird uf die nge der Zhlenwere in.6.9 verziche, so is die Lösung hängig von einer Deerinion: Wie drf zu fesen und F der unk gewähl werden, dss die Lösungsellipse zweideuig, eindeuig oder nich reell esi is? Wie sieh dnn die enge der Lösungsellipsen us? Es ergi sich der reizvolle Fll einer einprerigen enge von Lösungsellipsen, owohl ein zweidiensionles Geie durchlufen knn: Deerinion: Der einzige Schri in der ngegeenen Konsrukion, der zur Unlösrkei oder ehrdeuigkei der Lösung führen knn, is der Schni der Kreise k und k. Ds führ zu der folgenden Fllunerscheidung: ) Ein erührpunk lieg vor und di eine eindeuige Lösung für F, ) wenn enweder ecksungleichung F F is (lso is ein unk der Srecke, weil sons wegen der Drei- > gil) oder ) wenn ein unk der Srecke G is (in den Fällen ) und ) wird F G ein Scheiel, F der nde- re Scheiel und D, d. h. die Ellipse enre zur Srecke c) wenn G F F ) oder F is, d. h. wenn uf der srichpunkieren Ellipse i den rennpunken F und und Hlchsen und lieg. Die Lösungsellipsen sind hierei nich enre, ußer für K G uf F. Hier erhäl n F F, lso den Kreis u F durch K und. ) Zwei verschiedene Schnipunke der Kreise k und k erhäl n (und di zwei i..nich kongruene Lösungen) für < F <, lso für lle unke i Inneren der Ellipse us c), die nich der Srecke F G ngehören; unke i Inneren der Srecke F K und nur solche liefern je zwei serische

18 und di kongruene Lösungsellipsen. c) unke i F >, lso ußerhl der srichpunkieren Ellipse, liefern keine Lösung, d sich hier die Konsrukionskreise k und k nich schneiden. eschreiung der Lösungsenge: Owohl ein zweidiensionles Geie durchlufen drf, is die Gesenge ller Lösungsellipsen für fese und F nur eine einprerige Schr, deren ielpunke uf de THLESkreis üer F, deren zweie Neenscheiel uf de THLESkreis üer K und deren zweie rennpunke uf de THLESkreis üer F G liegen, während ihre Hupscheiel uf der Crdioide i de Scheiel G und der Spize F liegen. Jede der Lösungsellipsen erühr die srichpunkiere Ellipse in ihre zweien Schnipunk i der Gerden F. Die gennnen geoerischen Orskurven für, F und die Ellipsenscheiel und der erührpunk i der srichpunkieren Ellipse (jeweils ohne die uf F G gelegenen unke) werden je genu einl durchlufen, u lle nich enreen Lösungsellipsen zu erzeugen. Durch jeden unk innerhl der srichpunkieren Ellipse ohne die Srecke F G gehen genu zwei der Lösungsellipsen, een die eiden, die von diese unk erzeug werden. So enseh eine ukehrr eindeuige Zuordnung der unke uf und i Inneren der srichpunkieren Ellipse ohne die Srecke F G zur enge der ungeordneen re zur enge der Lösungsellipsen, woei die unke der srichpunkieren Ellipse den idenischen ren, die unke vo Inneren der Srecke ren zugeordne sind. F K den serischen Zu.7.: Der Kreispunk, der nch der Flung i F zusenfäll, is ei Zurückklppen Spiegelild von F n der Knicklinie. Sein Rdius wird lso n der Knicklinie nch F reflekier. Sein Schnipunk i der Knicklinie erfüll lso genu die edingung von Sz.7.., lieg dench uf der Ellipse und die Knicklinie is lso Winkelhlierende zwischen den rennsrhlen und i Sz.7. Tngene der Ellipse. Zu.7. (Vorussezung für.7.,. Lösung): Der Ellipsenielpunk in der Zeichnung zu Sz.7. is die ie von F F. ei Spiegeln n geh F üer in G. F G is lso Lo zu i Fußpunk L, ws die ie von F G is. Deshl is nch de Srhlensz L ielprllele i Dreieck F GF und h di die hle Länge von F G, d. h. iss. lso lieg L uf de Kreis u i Rdius, de Hupkreis der Ellipse. Zu.7. (. Lösung nch.7.):.lösung i Hilfe einer chsensreckung finde n nlog zu ufge.. )..Lösung: Nch de Sz der ufge.7. sind die Schnipunke L und L des Loes von F uf g i de Hupkreis der Ellipse die Fußpunke der zu g prllelen Tngenen. Nch de eweis zur ufge.7. schneiden die rllelen zu L i für i und durch F zw. F die erührpunke i us. Siehe die neensehende Zeichnung Ds Lo uf g us F ergänz die Figur zu eine Recheck, ds genu die Schr der in ufge.7. verlngen Rechecke üersreich, wenn L i den Hupkreis durchläuf..lösung: ls Spiegelpunk von F n einer Tngene finde g G C F g F F F

19 n den zugehörigen Leikreispunk G uf de Lo zur Tngenenrichung durch F. is dnn iello zu F G, der erührpunk ihr Schni i de rennsrhl G F. Die zweie Tngene s erührpunk eko n plzsprend durch Spiegelung n.. Zu.7.:.Lösung i Hilfe einer chsensreckung finde n nlog zu ufge.. )..Lösung: lle Lofußpunke von F uf Gerden durch R liegen uf de THLESkreis üer RF. Durch seine Schnipunke i de Hupkreis gehen die gesuchen Tngenen i i i oder. Die erührpunke i erhäl n wie ei.7. uf den rllelen zu L i durch F.. Lösung: D G i für i oder uf de Leikreis Spiegelpunke von F n den gesuchen Tngenen i sind, is R jeweils gleich wei von ihnen enfern wie von F. G und G liegen lso uf de Kreis u R durch F. Dnn sind die i die Loe von R zu F G i. Die rennsrhlen F G i schneiden die erührpunke i us. R G Zu.7.: Die Lösung finde n uner der. Lösung zu.7.. G C F F Zu.7.6 (nch.., Voruss. für.7.): Die folgende Lösung is für ielsufenschüler gedch, d. h. ohne nlsis und HESSEsche Norlfor; es wird die Lösung von ufge.. enuz: 6 () Durch Einsezen in die Ellipsengleichung erhäl n die. Koordine von : us erhäl n 6, 6,6 () Di erhäl n die Gleichung der Tngene. ring n z.. diese Gleichung uf die 6 8 Gesl, so knn n den Seigungskoeffizienen der Tngene ls lesen. () Die Gerden und n sehen ufeinnder senkrech, wenn für ihre Seigungskoeffizienen gil: n - Drus ergi sich der Seigungskoeffizien für die Norle ls n. 8 () i der sogennnen Einpunkegleichung erhäl n drus die Gleichung,6. 8 Hierus ergi sich die Gleichung der Norlen n ls. 8 8 o o () Die Tngene schließ i der -chse den Winkel α rc n 7, ein. Hinweis: n knn uch die rennspiegeleigenschf (Sz.7.) enuzen. Dnn knn n llerdings die Gleichung der Winkelhlierenden nur iels der HESSEschen Norlfor usrechnen.

20 Zu.7.7(Vorussezung für..8): Die gesuchen Kreisielpunke sind ls solche vo Feskreis k und von gleich wei enfern. Sie liegen lso nch Sz.7.. uf der Ellipse, die und den ielpunk von k ls rennpunke und den Kreis k ls Leikreis esiz. Zu.7.8 (nch.7.7): Die Feskreise k und k ögen die ielpunke F zw. F und die Rdien r zw. r hen. Uner den erührkreisen gi es solche (i Folgenden siehe )), die den inneren Feskreis k uschließen und solche (i Folgenden )), die ds nich un. I Folgenden wird die Schrupf-uflsehode enuz, deren Güligkei llgeein vi kopleer projekiver Geoerie ewiesen werden knn. n knn er uch z.. n der vorliegenden Konfigurion eleenrgeoerisch eweisen, dss die folgenden ehupungen gelen. ) Läss n lle Kreise (uch k und k ) u diesele Rdiendifferenz schrupfen, so leien die erührungen und die ielpunke erhlen. n läss den kleineren Kreis k zu unk schrupfen und h die Siuion der ufge.7.7. D. h. die ielpunke der gesuchen erührkreise liegen lle uf einer Ellipse i den rennpunken F und F und de Leikreis u F i Rdius r r. ) läs n lle erührkreise u eine fese Rdiendifferenz uf, so leien ihre ielpunke und lle erührungen erhlen, wenn gleichzeiig k i ufgelsen wird, während k u diesele Rdiendifferenz schrupf. Schließlich läss n k zu unk schrupfen und erhäl erls die Siuion von ufge.7.7. Die ielpunke der gesuchen erührkreise liegen eenflls uf einer Ellipse i den rennpunken F und F und de Leikreis u F i Rdius r r. Zusen gil lso: Die erührkreisielpunke sind die unke zweier konfokler Ellipsen i den r r r r rennpunken F und F und den großen Hlchsen zw.. Zu.7.9 (nch..6 für ): Y U n X -Kreis -Kreis ()-Kreis ) Zwei zueinnder senkreche Hupkreishlesser ilden i ihren Tngenen ein udr, d jede Kreisngene uf ihre erührkreisrdius senkrech seh und diese lle gleich lng sind. Der Üergng vo Hupkreis zur Ellipse (nch der Wipelkonsrukion) is eine chsensreckung, die prllele Gerden in eensolche üerführ. Di wird ds udr ein rllelogr. ) Die Norlen sehen senkrech uf den ereis gezeichneen Tngenen. n knn llerdings die geselle Frge schärfer uffssen: Die Norlen sollen llein uner enuzung von Zirkel und Linel (eine ineressne Frgesellung des 9. Jhrhunders) gefunden werden:

21 is konjugier zu, weil senkrech zu is. Dreh n deshl den Wipel u 9 o, so geh die Wgreche üer in die Senkreche und die Senkreche üer in die Wgreche. Nch ) is prllel zu und deshl senkrech zu. Deshl gi diese Gerde die Richung der Norlen in. D nch Konsrukion ein Recheck is, knn n es durch unkspiegelung n U in sich üerführen. Hierei geh üer in o. Dieser unk lieg dnn uf de Kreis u i Rdius (siehe die oen eingezeichneen Frsäue). n knn lso üer den ()-Kreis und die Wipelkonsrukion die Norle n o llein i Zirkel und Linel konsruieren.. Hinweis: Diese Konsrukion wird uch enuz, u die Ellipsenngene üer die Ellipsennorle ohne chsensreckung zu konsruieren. Dies is esonders ruchr in Scheielnähe, wo die chsensreckungskonsrukion ungenu wird. c) Die Digonle des uner ) konsruieren Rechecks schneide die -chse in X und die - chse in Y. D die Seien des Rechecks zu den chsen prllel liegen, läss sich durch Spiegeln n seinen ielprllelen lesen: piersreifens für. Wünschenswer wäre noch folgende zusäzliche Frge: Y und X. XY is lso die äußere Lge des d) egründe, dss es uf jede Ellipsenqudrnen nur einen unk geen knn, für den Ellipsenngene und piersreifen zusenfllen (dies läss sich leich z.. i CRI deonsrieren). nwor: In den Scheieln sehen sie jeweils ufeinnder senkrech. ei Durchlufen der Ellipse dreh sich die Tngene i selen Drehsinn wie der erührrdius, und der piersreifen i engegengesezen Sinn. lso egegnen sich die Richungen in jede udrnen genu einl. Hinweis: n knn diesen Ellipsenpunk erechnen und uch eine Konsrukion uner lleiniger enuzung von Zirkel und Linel ngeen. Zu.7. (nch.. und.7.6): ) ) us den Rdien der Scheielkrüungskreise r und r ergeen sich die Koordinen ihrer ielpunke zu ( ) und ( ) i e, () e. () Y U E X X n E K Y E us der nlog zu ufge.7.6 hergeleieen Gleichung der Norlen in ( ) () erhäl n durch Nullsezen von zw. die Koordinen der Schnipunke U( U ) und V( V ) der Norlen i den Koordinenchsen, woei gil: e U () V e () V K

22 c) In der oigen Figur sind die Scheielkrüungskreisielpunke K und K und die Wipelkonsrukion für einen elieigen unk gezeichne. Zusäzlich wurden die Digonle E gezeichne, die Wgreche der Wipelkonsrukion is Y zw. E Y verlänger, eenso die Senkreche durch is X üer E verlänger. Die genue edeuung dieser unke ennehe n der Zeichnung. Wegen der eingezeichneen rlleliäen sind dnn offenr die folgenden Figuren durch Sreckungen i jeweils Zenru useinnder hervorgegngen: EK und E X XU i de Sreckungsfkor und (6) EK und E YV i de Sreckungsfkor. (7) Für U(u ) und V( v) finde n i (6) und () zw. (7) und (): e e u (8) e e v (9) Nch (8) und () zw. (9) und () sind U und V unke der Ellipsennorlen in. Hinweis: Diese Üerlegungen lssen sich uf die Hperel üerrgen. Ds wäre eine wünschenswere Ergänzung zu ufge... Zu..: Für jede Schniellipse E i (i,,,...) h ds rechwinklige Dreieck i ei i den Winkel δ i der Schnieene gegen die Tngenileene des Zlinders in. Es esiz ls verikle Khee den Zlinderrdius r gleich der kleinen Hlchse und ls r Hpoenuse die große Hlchse i i sin δ der Ellipse E i. Fäll n von ds Lo uf die Eene von E i (Fußpunk K i ), so is der Winkel K i δ i, weil Winkel, deren Schenkel prweise ufeinnder senkrech sehen, gleich groß sind. lso is r K i r sin δi der Scheielkrüungskreisrdius von E i in, lso K i dessen ielpunk. Weil die Schenkel der rechen Winkel ei K i lle durch die eiden fesen unke und gehen, liegen lle unke K i nch der Ukehrung des Szes von THLES uf eine Kreis üer. i i K Α δ E E δ K K K Zlinder δ E E E E Zu..: I ufriss ilden die prllelen z.. nch rechs fllenden Urissnellinien der eiden Kegel zusen i jeweils zwei der eingezeichneen wgrechen Schnie ein rllelogr, dessen wgreche Seien lso gleich lng sind. Jede dieser Seien is die Sue us den zu selen Ellipsenpunk führenden rllelkreisrdien der eiden Kegel und de snd der Kegelchsen d und d. D dieser konsn is, gil ds lso uch für die Sue der eiden Kreisrdien llein. Dies is er zugleich die sndsue des jeweiligen Grundrissellipsenpunkes von den Grundrissen von d und d. Di erfüll der Grundriss der Schniellipse genu die Vorussezungen von Sz.6. i den Grundrissen von d und d ls rennpunken. Di is der eweis geliefer. Zu.. (Vorussezung für..):

23 ) ) c) d) e) Der Kreisdurchesser is gleich der großen chse, lso 6, c. De ufriss enni n cos β : und di β 7, o. De ufriss is zu ennehen α 9 o - β 9,7 o. De ufriss ennehen wir: h nβ cos β cos β ,9 Die Grundrissellipse des schlusskreises k des Kegels is durch ihre Hlchsen gegeen. Die Kegelchse fäll i der Neenchse der Ellipse k zusen. Die Neenchse der Ellipse fäll uch i der uflgenellinie des Kegels zusen; de ufriss enni n die Länge dieser nellinie zu ew 9, c. Nch de S Kheensz des EUKLID erechne sich ihre Länge ek zu 9 c. Die Urissnellinien des k Kegels erscheinen ls Tngenen us S n die Ellipse. n ergänz die Figur u eine Kugel, die den Kegel längs des Kreises k erühr. Der Grundrissuriss dieser Kugel is ihr wgrecher Großkreis k. Seine Schnipunke i k (siehe ufriss!) sind lso i Grundriss zugleich Urisspunke der Kugel und des Kegels und liegen uf der ildellipse von k. Die gesuchen Kegelurissnellinien i Grundriss sind lso die Tngenen von S n den Grundriss der Kugel, ihre erührpunke lso Lofußpunke us de Kugelielpunk. k k β α h S Zu.. ( nch..): ßs dieser Zeichnung: : Ku k Ku w k K K u u S S ) n eginn i K i ufriss (die ngegeenen Koordinen für K i ngene eziehen sich uf den ufriss; dies wurde vergessen nzugeen) und dnn in ew 6, c snd den dzugehörigen Kreuzriss von K; dor zeichne n zur gegeenen Richung die Kreischse s Kreis (ls Srecke) und erhäl i Kreuzriss. i Hilfe der, o -Winkel erhäl n i Kreuzriss die Kegelspize S und den dzugehörigen

24 6 ufriss der unke S und. Die Wnd w is nich durch Vorgen fesgeleg; n öge sie nch ugenß üernehen. ) Die große Hlchse des ufrisses vo schlusskreis is der Kreisrdius, die kleine Hlchse der snd K i ufriss. c) Wie ei ufge.. wird jez i Kreuzriss eine Kugel K u, die den Kegel längs k erühr, eingepss und in den ufriss üernoen. Die ufrissurissnellinien dor sind dnn die Tngenen n den ufriss dieser Kugel. Ihre erührpunke erhäl n wie in... d) Die chsenrichungen des ufrisses der Wndellipse sind us Seriegründen wgrech und senkrech, ihr ielpunk ergi sich us der ie des ensprechenden Kreuzrisses. Die große Hlchse lieg i ufriss senkrech und h die Länge wie i Kreuzriss (vgl. die Frsäue). Die Länge der kleinen Hlchse erhäl n z.. i Kreuzriss durch einen Kreisschni des Kegels. I ürigen wird uf die verschiedenen ehoden von heikinforion uf den Seien und hingewiesen. e) i Hilfe der Kugel K u wird der Kreuzriss der ufrissurissnellinien u und u des Kegels gefunden. Ihre Schnipunke i der Wndeene liefern i ufriss die Unrisserührpunke der Wndellipse. Zu..: n zeichne zunächs den Seienriss und üerräg dnn in den ufriss den Kegel s chse und den Dchfirs. Die Hupscheiel der Ellipse i ufriss finde n üer Ordner, den Ellipsenielpunk durch Hlieren der Srecke zwischen den Hupscheieln. Der Teil der Ellipse, der Verschneidungskurve zwischen Kegel und Dch is, ende ei U und U. Di knn n i Hilfe der Ukehrung der piersreifenehode die Länge der kleinen Hlchse esien. n eche: Der Kegeluriss i ufriss erühr die Ellipse in U und U. Die folgende Lösung is i ßs : gezeichne. U U U U Zu..6 Wiederholungsufge: Nehen wir n, die ildeene he die Gleichung z. Dnn h ds ild den ielpunk ( ) und die große Hlchse der Länge 8 lieg prllel zur Schnigerden zwischen Kreiseene und ildeene. Senkrech hierzu durch den Ellipsenielpunk is die Neenhlchse der Länge r cos o r 69. Die rennweie der k e z o 6 o

25 7 ildellipse eräg: e r r Zu..: Zu.. (Vorussezung für.. is..7): ) uflösen der Hperelgleichung nch liefer lso, ) uflösen der Hperelgleichung nch liefer lso. c) n knn die Hperelgleichung so nch zw. uflösen, dss rechs nur, und der ngegeene uoien vorko: lso lso 8, 6 6 Zu.. (Vorussezung für..,..,..6,.. is..6):. Ds uflösen der Hperelgleichung nch ergi ±.. Sez n hierin u, () dnn folg u. (). Nch de Srhlensz gil für die Figur in I Nr. Seie : NU : : lso is u.. Di is () die ussge des Szes von YTHGORS für ds Dreieck NV. Zu.. (nch.., Vorussezung für..6,.. is..6): Diese ufge ezieh sich uf ufge.. und nich.. (Druckfehler!):

26 8 Gegeen sind die spoen einer Hperel und ein unk zwischen ihnen. Gesuch werden die Richungen und Längen der Hlchsen der Hperel.. Die Hupchse is die Winkelhlierende des spoenwinkels, in de lieg, die Neenchse dzu senkrech.. Ds Lo zur Hupchse durch schneide uf dieser N, uf der spoe U us.. NU wird von us zur Hupchse hin gergen is V.. NV is die Länge der iginären Hlchse. Ds U N V chsenprllele Recheck i Ecken uf den spoen liefer die Scheiel. Zu.. (nch.., Vorussezung für..6,.. is..6): ) Gegeen sind, und, gesuch werden die ürigen Scheiel.. Die Neenchse geh durch und is senkrech zu.. n zeichne die rllele zur Hupchse durch ; sie schneide R uf der Neenchse us.. rgen von R von zur der Neenchse hin liefer T. R T 6 7. rgen von T von R uf R liefer den spoenpunk.. Schneide n die Scheielngene in i der gefundenen spoe, so erhäl n. U ) Gegeen sind, C und ; gesuch werden die ürigen Scheiel.. Die Hupchse geh durch und is senkrech zu C.. Ds Lo von uf die Hupchse liefer dor N.. rgen von von N uf der Hupchse ergi V. C. rgen von V von N uf N liefer den spoenpunk U.. Ds chsenprllele Recheck us C ergi den Scheiel. N V Zu..6 (nch.. is..): ) ls unkkonsrukion einer gegeenen Hperel is die erse Sechzirkelkonsrukion ses genu, während die zweie in der Nähe des Scheiels wegen eines schleifenden Schnies ungenu wird. ) Zur esiung der Hlchsen us spoen und unk werden die Ukehrungen eider Sechzirkelkonsrukionen wegen schleifender Schnie ungenu, wenn der unk vo Scheiel wei enfern is. c) Die Ukehrung der ersen Sechzirkelkonsrukion usgehend von der reellen Hlchse und eine unk wird doppel ungenu, wenn der unk nhe ei Scheiel lieg: T wird ungenu durch schleifenden Schni, die spoe is ußerde Verindungsgerde nhe enchrer unke. d) Die Ukehrung der zweien Sechzirkelkonsrukion usgehend von der iginären Hlchse und eine unk is ses genu.

27 9 Zu..7 (Vorussezung für.. is..7): Wegen e - is die rennweie gleich de spoenschni vo ielpunk is zu Schni i der Scheielngene. Jede der Vorgen gese lso, ds rechwinklige Dreieck us Hupchse, Scheielngene und spoe zu konsruieren. Zu..8 (Vorussezung für.. is..7): ) wie..7. ) wie..7. c) Nch Sz.. gil F F ; so erhäl n die Länge der reellen Hlchse (siehe die neensehende Zeichnung). nschließend verfähr n wie ei ufge..8 ). 7 F 8 6 F 7 Zu..9: Die egründung is der Sz... ei Einrichen is zu echen: Die Seckndeln F und F sind uf der Hupchse je i snd e vo ielpunk einzusechen. Der Fden is äußeren Linelende so zu efesigen, dss eine Endschlinge für F ei gesrecke Fden in U i snd vo Drehpunk F des Linels zu liegen ko. Zu..: Der eweis verläuf Schri für Schri nlog zu de von ufge..: I ufriss der neensehenden Zeichnung ilden die prllelen z.. nch rechs fllenden Urissnellinien der eiden Kegel zusen i jeweils zwei der eingezeichneen wgrechen Schnie ein rllelogr, dessen wgreche Seien lso gleich lng sind (vgl. ds fein schrffiere rllelogr). Diese Länge is jeweils Rdius des rechen Kegels plus snd d d inus Rdius des linken Kegels. D der snd d d konsn is, is uch die Differenz der Rdien konsn. Dies is er zugleich die sndsdifferenz des jeweiligen Hperelgrundrisspunkes von den Grundrissen von d und d. Di erfüll die Grundrisskurve die S d d C d d S edingung der Definiion.. i d und d ls rennpunken. Wie zu h

28 eweisen wr. Zu..: Ds inuszeichen vor s edeue eine Veruschung der Rollen von und. So wird die -chse zur Hupchse i der reellen Hlchsenlänge und die -chse zur Neenchse i der iginären Hlchsenlänge. Die neensehende Zeichnung h ew die Einhei,. Die unke werden i der Sechzirkelehode oder i Hilfe einer Wereelle gezeichne. ßs : Zu..: ) D eine Koordinenildung i den Gleichungen c und d, die die ielpunkfor der Hperel hereiführ, eine rllelverschieung des Koordinensses edeue, sind und die Hlchsen einer Hperel i koordinenprllelen chsen und de ielpunk (c d). Die neensehende Zeichnung h ew die Einhei. ) ßs : Zu..: Ds role läss sich i de vorliegenden Wissen nur lösen, wenn eine Winkelhlierende der eiden gegeenen Gerden prllel zur -chse is. Dies is der Fll, weil die Gerden die Seigungen ± hen. ) Der Hperelielpunk is der Schnipunk der spoen: : 6 6 () : 6 () () plus () ergi 6 8 und di ; () inus () ergi und di. Der Hperelielpunk is lso ( ).. ) Ds Hlchsenverhälnis is gleich de erg der spoenseigung c) Di knn n die Gleichung der Hperel nsezen:. Es is lso. ()

29 n knn diese Forel uch uforen zu Soll diese Gleichung für den Ursprung erfüll sein, so uss 9 sein oder. i () folg hierus. Di erhäl n ls Hperelgleichung 8 8 oder. Zu.. (Vorussezung für.. is..6): Sind G und H die spoenschnipunke der Hperelngene i unk (vgl. die leze Zeichnung uf Seie von I Nr. ), so is nch Sz.. ielpunk der Srecke GH. Die rllelen zu den spoen durch sind lso ielprllelen des Dreiecks GH, hlieren lso die Srecken G und H in I und J. Folglich is IJ die drie ielprllele dieses Dreiecks, deshl prllel zur Tngene GH in. Di is die Richigkei der Konsrukion ewiesen. Is ew die Hlspoe H unzugänglich, so eko n den Tngenenpunk G durch Verdoppeln der Srecke I. Zu..: Die Genuigkei ei den Sechzirkelkonsrukionen und ihren Ukehrungen fäll durchus verschieden us, je nchde, ws gegeen und ws gesuch is. Siehe die Lösung zu ufge,,6. Zu..6: Eine elieige Sekne durch schneide die spoe in G und die spoe in H. rgen von H us G in Richung G liefer den zweien Hperelpunk uf der Sekne. Dei wird derjenige der unke G und H, der vo spoenschnipunk weier enfern is, durch einen spizwinkligen Schni esi, der i wchsende snd von schnell schleifend wird. Seine Ungenuigkei üerräg sich uf. Ds läss sich vereiden, inde n ei der Whl der Sekne druf che, den weier von enfernen spoenschnipunk ls G zu wählen und lso G ls Sekne zu enuzen. So wird der zu gehörige unk ses genu. U nch dieser ehode eine Hperel zu zeichnen, enöig n für den s, uf de lieg, spoenpunke, die weier von enfern sind ls die zugehörigen Hperelpunke. G H Für den nderen s liegen die spoenpunke weier innen. ei lzngel verwende n deshl für den s durch dessen Spiegelpunk n.

30 Zu..7 (Vorussezung für.. is..6): ) Gegeen sind,, und.. G sei der Schnipunk von i. Die Länge der Srecke G wird uf von us in engegengesezer Richung is H gergen.. H is die ndere spoe.. Die chsen sind die Winkelhlierenden der spoen, die Hupchse lieg in de Winkelru, in de und liegen.. Die Hlchsenlängen eko n durch die Ukehrung einer Sechzirkelkonsrukion. ) Gegeen sind eine spoe, die Richung der nderen längs h und zwei unke. Die Konsrukion verläuf fs wie ei ); es uss nur ei. durch H eine rllele zu h gezeichne werden. H G c) Dieser Fll unerscheide sich von ) nur ddurch, dss die Tngene die Rolle der Gerden üerni, woei und zu Tngenenerührpunk zusenfllen. Zu..8 (Vorussezung für..): Zunächs sind vier Fälle zu unerscheiden, je nchde, welche Lge die Schnipunke G und H der gegeenen Gerden g i den spoen zur Hperel einnehen: ) Die Srecke GH lieg in eine spoenwinkelru i Hperelpunken. ) Die Srecke GH lieg in eine spoenwinkelru ohne Hperelpunke. c) G und H fllen i ielpunk der Hperel zusen. d) Die Schnigerde g is prllel zu einer spoe, ew zu. In den Fällen ), ) und c) werden die spoen ls Riss eines Drehkegels i einer zur Risseene (Hpereleene) prllelen chse gedeue, die Gerde g ls Riss einer projizierenden Hilfsschnieene des Kegels. Der Hilfsschni is dnn serisch zu der rlleleene zur Risseene durch die Kegelchse, deren snd von der Hpereleene gleich deren iginärer Hlchse is. Didkischer Hinweis: Inerpreionen dieser r, lso ds Eineen von zweidiensionlen roleen in den dreidiensionlen Ru is chrkerisisch. Hinsichlich der Grundlgen der Geoerie solle n llerdings edenken, dss dies nur so lnge öglich is, ls ds zweidiensionle role in einer Koordineneene üer eine Körper forulier is. I Fll ) erhäl n ls Hilfsschni eine Ellipse, i Fll ) eine Hperel, woei jeweils die Schnipunke G und H von g i den spoen Hupscheiel des Hilfsschnies sind. I Fll c) zerfäll der Hilfsschni in zwei nellinien des Kegels, wenn g i Winkelru i Hperelpunken lieg; sons gi es keine Schnipunke. Durch Uklppen erhäl n in llen drei Fällen die whre Gesl des Hilfsschnis. zu ) I Ellipsenfll eko n die kleine Hlchse durch Uklppen des durch den ielpunk von GH gelegen rllelkreises des Kegels. Flls diese kleine Hlchse größer ls is, können die gesuchen Schnipunke i Hilfe G G

31 der Wipelkonsrukion esi und in die usgngslge zurück geklpp werden. Flls diese kleine Hlchse kleiner ls is, gi es keine Schnipunke von g i der Hperel. Is die kleine Hlchse gleich lng i, so is g Tngene und der ielpunk von GH ihr erührpunk. zu ) I Hperelfll verschie n zunächs die Srecke GH prllel so nch G o H o, dss der ielpunk dieser Srecke in den Riss der Kegelspize fäll. Dnn is g o der Riss der Kegelnellinien, die zu den spoen des Hilfsschnis prllel sind und G o is dessen prllelverschoene Scheielngene. Uklppen des durch G o gelegen Kegelprllelkreises liefer lso die iginäre Hlchse der Hilfsschnihperel. Die erse Sechzirkelkonsrukion liefer schließlich die gesuchen Schnipunke uf der ugeklppen Hilfsschnihperel, von wo sie nur noch in die usgngslge zurückgeklpp werden üssen. zu c) In diese Fll eseh der Hilfsschni us eine r zur Rissfel serischer Kegelnellinien, deren Uklppung n durch Uklppen eines elieigen Kegelprllelkreises eko. Die gesuchen Schnipunke lssen sich unielr lesen und in die usgngslge zurückklppen (siehe ds linke ild). g 6 7 g 6 g G zu d) In de Sonderfll, dss g zu einer spoe prllel is, läss sich nch Sz.. i Hilfe einer Srhlenszfigur derjenige unk H uf der nderen spoe konsruieren, den die Verindungsgerde des gesuchen unkes zu eine Hperelscheiel ls Sekne uf usschneide. Der zweie Schnipunk von g i der Hperel is der Fernpunk der spoe (siehe ds reche ild).

32 Zu..9 nlogon zu ufge..; siehe diese): Durch Spiegeln n den chsen wird die Hperel in sich üergeführ. Deshl knn n durch Spiegeln n den chsen ses erreichen, dss die gegeenen unke und i. udrnen liegen. Einsezen ihrer Koordinen in die ielpunkgleichung liefer zwei linere Gleichungen für und. Weil die unke und nun i. udrnen liegen is > und >. Di die gefordere Hperel eisier, üssen und gleiches Vorzeichen hen. Ds ri ein, wenn > is. Es werden eide Hlchsenqudre posiiv zw. negiv, wenn - > zw. - < is. Dnn is die Hperel nch rechs und links zw. nch oen und unen geöffne, weil dnn die Srecke seiler zw. flcher ls der Durchesser durch ihren ielpunk geneig is. Wären die eiden Seigungen gleich, dnn lägen und uf deselen Durchesser und die Hperel wäre zu ihren spoen enre. Desgleichen wären dnn die eiden Gleichungen für und liner hängig. Zu.. (nlogon zur Ellipse, siehe ufge..6, Vorussezung für..): Sez n die Gerdengleichung in die Ellipsengleichung ein, so is ds folgende role zu lösen: ) ( ; hierus folg - ( ) ; hierus folg die qudrische Gleichung ( - ) - - ( ) ; diese Gleichung h die Lösungen ( ) ± ( ) ± ± ±. () Dies sez n in die Gerdengleichung ein und erhäl für : ± ± () Soll nun die Gerde g Tngene sein, so üssen die Schnipunke zusenfllen, lso die Wurzel verschwinden. Dies ergi die folgende edingung:

33 ) ( drus So erhäl n: () Für den erührpunk der Tngene erhäl n lso us () zw. (): ± ± () ± () us () und () folg und di. us () und () folg di und. Sez n dies in die Gerdengleichung ein, so erhäl n: Dies läss sich uforen zu. D ± die spoenseigungen sind, zeig ds ufreen der Wurzel in (), () und (), dss lle Tngenen seiler ls die spoen sein üssen. Zu.. (nlogon zu ufge.7.): Die Hperelngene in ( ) h nch der vorherigen ufge die Gleichung. () D uf der Hperel lieg, gil uch. () us () und () folg: Drus folg: ( ) ( ) oder Drus folg:. Die Norle i selen unk uss lso die Gleichung hen. () Dies läss sich wie ei der Ellipse (vgl. ufge.7.6) uforen in (- ) - (- ). Hierus erhäl n: e ) ( Durch Nullsezen von zw. von eko n hierus die Koordinenschnipunke ( e ) und ( e ).

34 6 Hinweis: Wie ei der Ellipse läss sich uch hier us de gefundenen Ergenis die Konsrukion der Hperelnorlen herleien. Zu.. (nch..8 und..):. Nch Sz.. is jeder Tngenenerührpunk ielpunk der Tngenensrecke zwischen den spoen. Die ielpunke der zur Tngene prllelen Seknenschnie, die nch Sz.. zugleich Sehnenien sind, gehen wie die Seknenschnie durch zenrische Sreckung vo Hperelielpunk useinnder hervor, liegen lso uf eine geeinsen Durchesser i de Tngenenerührpunk. Dieser Durchesser wird zur Tngenenrichung konjugier gennn. Er is lso durch Hlieren eines elieigen solchen Seknenschnis ew GH zu gewinnen.. Die Tngenenerührpunke sind Hperelpunke, lso die Schnipunke der Hperel i de in. konsruieren Durchesser. Diese sind zu ekoen wie in ufge..8, Fll c): Die spoen werden ls Riss eines Drehkegels gedeue, die Hperel ls dessen Schni i der ildeene u oerhl der Kegelchse. Der Durchesser wird ls nellinie des Kegels gedeue.. Diese nellinie wird ugeklpp, inde die Höhe eines elieigen ihrer unke, ew, durch Uklppen seines Kegelprllelkreises eriel wird.. I snd von d lieg der ugeklppe Schnipunk, der durch Zurückklppen in den Tngenenerührpunk üergeh. erhäl n durch Spiegeln Hperelielpunk. Die Tngenen und sind die rllelen zu g durch zw.. G g H Zu.. (Vorussezung für.. und..): Nch Sz.. is in der neensehenden Figur ds Dreieck F G gleichschenklig und die Winkelhlierende ei zugleich iello von F G. Deshl is jeder unk i uf von F gleich wei enfern wie von G. Die Dreiecksungleichung für ds jeweilige Dreieck i GF sg lso us: F F G G F ; di erhäl n: i i i F i F i, woei ds Gleichheiszeichen nur für i gil. lso h die Winkelhlierende i der Hperel nur den unk geeins und lieg sons gnz uf einer Seie der Kurve, is lso Tngene. F G H F Zu.. (nch..): n erche uch oige Figur: ) Werden in der Föhnhielfigur in I Seie 6 die eiden Kreisschren i Sinne wchsender Rdien i gleicher Geschwindigkei durchlufen, so änder sich die Differenz der Rdien nich. Ein Schnipunk zweier Kreise eweg sich lso nch Sz.. und Definiion.. uf einer Hperel, die die ielpunke der Kreisschren ls rennpunke esiz. Di sind lle diese Hpereln konfokl. Gleichzeiig läss sich lesen, dss jede dieser Hpereln die Eene in drei Geiee eil: Für lle unke des Geiees zwischen den eiden Äsen der Hperel is die rennsrhlendifferenz kleiner, für lle unke der eiden nderen Geiee größer ls längs der Hperel.

35 7 ) erche n einen Vekor fes gewähler Länge in Richung eines wchsenden Kreisrdius (rennsrhls) ls Geschwindigkeisvekor eines unkes ei Durchlufen der zugehörigen Kreisschr, so h der Geschwindigkeisvekor desselen unkes für die Durchlufung der nderen Kreisschr diessele Länge und die Richung des nderen rennsrhls nch ußen oder innen, je nchde o die Kreisschren in gleiche oder engegengeseze Sinn durchlufen werden (je nchde lso der Schnipunk eine der Ellipsen oder eine der Hpereln eschrei). Für die Geschwindigkei des Schnipunks ls Sue der Einzelgeschwindigkeien eko n di zwei kongruene Ruen ls Vekorddiionsprllelogre, nur jeweils die eine oder ndere Digonle ls Richung des Suenvekors. Di sehen die Durchlufungsrichungen (lso die Tngenen) der Kurven ls Ruendigonlen ufeinnder senkrech und sind us deselen Grund die Winkelhlierenden der rennsrhlen, woi der Sz us ufge.. zw. Sz.7. nochls ewiesen sind. c) Ugekehr sind Tngene und Norle nch Sz.7. und de Sz der ufge.. in eiden Fällen die Winkelhlierenden derselen rennsrhlen und sehen deshl ufeinnder senkrech. Zu.. (nch..): Vergleiche die oige Figur: Nch Konsrukion der Figur is G Spiegelpunk von F n der Tngene, der Lofußpunk H lso ielpunk der Srecke F G. D ses ielpunk der Srecke F F is, is H ielprllele des Dreiecks GF F. Deshl is ihre Länge die Hälfe von, lso gleich der reellen Hlchsenlänge. Deshl is der Kreis u durch H der Hupkreis der Hperel. Wie zu eweisen wr. Zu.. (nch..,..7 und..8): ls Vorrei für die ufgen.. is..7 is ei jeder der Teilufgen ) is e) die Grundfigur jeder Hperel zu zeichnen (vgl. die Zeichnungen der nächsen eiden Seien) i chsen, spoen, Scheielngenen, ielpunk, Scheieln und rennpunken. Dei wird jeweils usgenüz, dss die Schnipunke der Scheielngenen i den spoen, z.. E, von den Scheieln den snd und vo ielpunk den snd e hen. n zeichne zur gegeenen Richung durch die Gerde g. ei ufge e) wird zusäzlich enuz, dss die chsen Winkelhlierende der spoen sind, und es wird der Hupkreis eingezeichne. n öge schon jez echen, dss die Zeichnungen uch für die ufgen.. gedch sind und deshl z.. ei.. üerflüssige Leikreise eingezeichne sind. g Didkischer Hinweis: n solle die ufgen ) is f) uner verschiedenen Schülern vereilen und die ferigen Zeichnungen dnn vergleichen lssen. G H Hupkreis Es folg der für die Zhleneispiele ) is e) geeinse Konsrukionsgng (siehe die neensehenden Zeichnungen und die Zeichnungen der nächsen Seie): F G F n fäll von F ds Lo uf g. Jeder seiner Schnipunke H und H i de Hupkreis is Lofußpunk uf einer der eiden Tngenen zw.. Diese sind lso die rllelen zu g durch H zw. H. Ihre erührpunke werden von den rennsrhlen us F und F usgeschnien, die zu H zw. H prllel sind. Leikreis Zu Teilufge f): D lle Hperelngenen i der Hupchse größere Winkel ls die spoen ilden, knn es i Fll f) keine Tngenen geen. ei den Leikreis G H F F