3.2. Flächenberechnungen

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1 Anlysis Inegrlrechnung.. Flächenerechnungen... Die Flächenfunkion ) Flächenfunkionen ufzeichnen Skizziere zur gegeenen Funkion diejenige Funkion, welche die Fläche unerhl der Funkionskurve miss. Die Flächenfunkion gehör ins oere Koordinensysem. ) ) Wir sellen fes:... ) Theorieeil An dieser folg der Beweis dfür, dss die Aleiung der Flächenfunkion gerde die Funkionskurve seler ergi.

2 Anlysis Inegrlrechnung ) Konkree Berechnung der Fläche unerhl einer Kurve Gegeen is eine Funkion y = f(). Um Sonderfälle uszuschliessen soll sie weder Sprung- noch Knicksellen ufweisen und im Inervll [,] oerhl der -Achse verlufen. Zum Berechnen der Fläche der skizzieren Ar denken wir sie uns in viele kleine Sreifen der Breie geschnien. Die ngedeueen Rechecke hen dnn den Flächeninhl f() und somi eräg die gesuche Fläche: = lim = f () Dfür schreien wir f () d... Zum Berechnen dieses esimmen Inegrls nüzen wir us, dss die Flächenfunkion F() eine Smmfunkion von f() is. Wir mchen die reche Grenze der Fläche vriel und nennen diese Vrile. Dnn is f () d = F() + c. Für = is die Fläche gleich Null. Somi folg = F() + c, lso c = F() Somi is f () d = F() F(). Zum Schluss fiieren wir die reche Grenze wieder ei und erhlen: f () d = F() F()... Wir schreien: f () d = F() = F() F()... 4) Berechnungseispiel Die Fläche unerhl der Kurve y =, egrenz durch die -Achse und die Gerde = eräg d = = =

3 Anlysis Inegrlrechnung... Flächenerechnungen und esimme Inegrle ) Musereispiele Berechne die drgesellen Flächen unerhl der Prel y =. ) ) c) ) Technik des Inegrierens Berechne die drgesellen Flächen. (Löse ohne Tschenrechner.) ) y = + ) y = e c) y = 4 ) Besimme Inegrle Löse ohne Tschenrechner: ) 4 d = e 5 ) d = 5 4 c) d = d) e d = e) sin( ) d = f) d = π 4) Grundufge Berechne die im I. Qudrnen unerhl der Kurve y= f() liegende Fläche. ) y = f() = 6 ) y = f() = + + 5) Negive Were Berechne die zwischen der Prel y = 4 und der -Achse eingeschlossene endliche Fläche. Welche Schlussfolgerung zieh mn us dem Resul? 6) Flächen zwischen zwei Kurven Berechne die zwischen den Kurven y = und y = + 6 eingeschlossene Fläche. 7) Mehr ls zwei Schnipunke Berechne die (endliche) Fläche, welche von den Kurven y = und y = + eingeschlossen wird. 8) Angewnde Flächenerechnung In welchem Verhälnis eil die Funkion y = y = 6 liegende Fläche? die im I. Qudrnen uner der Gerden

4 Anlysis Inegrlrechnung 9) Oere Grenze gesuch Berche ds im I. Qudrnen liegende Kurvensück von y = f () =. Die im I. Qudrnen unerhl der Kurve liegende Fläche wird links egrenz durch die Gerde =. An welcher Selle = muss mn rechs schneiden, wenn die Fläche Inhl hen soll? ) Prmeer Wie gross muss sein, dmi die zwischen der Kurve y = und der -Achse liegende Fläche Inhl h? ) Fläche zwischen der Kurve und der Kurvenngene Die Kurve y = und deren Kurvenngene im Punk ( ) schliessen eine Fläche ein. Berechne den Inhl dieser Fläche. ) Funkionsgleichung esimmen Gesuch is eine Prel (Polynomfunkion. Grdes) mi folgenden Eigenschfen: Die Kurve geh durch den Ursprung und h dor Seigung 6. Die Kurve schliess mi der -Achse eine Fläche vom Inhl ein. ) Fläche zereilen Die Gerde y = m soll die im. Qudrnen unerhl der Kurve y = liegende Fläche hlieren. Wie gross is m? 4) Feszel Der Boden des drgesellen Feszels (siehe die Skizze) is ein Qudr von Meern Seienlänge. Ds Zel is 6 Meer hoch. Weier weiss mn, dss die Kurve zwischen der Fronwnd und dem gekrümmen Dch eine Prel is. Welches Volumen h ds Zel? 5 cm P 9 cm cm cm 5) Liegesuhl Welches Volumen h der skizziere Liegesuhl? (Die Kurve is eine Polynomfunkion. Grdes und h in P ihr lokles Minimum.) 6) Eremlwerufge Für welchen Wer von > wird die Fläche zwischen den Preln y = y = ereml? Hndel es sich um ein Mimum oder ein Minimum? und 4

5 Anlysis Inegrlrechnung... Weiere Anwendungen der Inegrlrechnung ) Uneigenliche Inegrle ) Berechne die im I. Qudrnen unerhl der Kurve y = e - liegende Fläche. ) Die im I. Qudrnen unerhl der Kurve y = liegende Fläche wird links egrenz durch =. Wie gross wird diese Fläche? ) Volumen von Roionskörpern Ds skizziere Flächensück roier um die -Achse und ilde so die Form eines Roionskörpers. Wir hlen fes:... ) Volumenformeln Beweise mi Hilfe gu gewähler Funkionen die Volumenformeln für Kegel und Kugel. 4) Musereispiel Ds in der Skizze links drgeselle, mrkiere Viereck roier um die -Achse. Beschreie den ensehenden Körper und erechne sein Volumen. 5) Roionsproloid Die rechs drgeselle "Glocke" h ls Bodenfläche einen Kreis mi 6 cm Durchmesser, is 5 cm hoch und enseh, indem ein Prelogen um eine Achse roier. Berechne ds Volumen der Glocke. 5