3.4.1 Beschreibung des E/A-Verhaltens durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

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1 Beshreibung des E/A-Verhlens durh linere Differenilgleihungen mi konsnen Koeffizienen Die jez vorliegende Sndrdform einer solhen Differenilgleihung eines Sysems mi n unbhängigen Speihern wurde mi (3.) bereis ngegeben. Die Koeffizienen i, b j sind konsn und lssen sih zhlenmäßig us den Den der Buelemene, Auslegungsden des Sysems usw. berehnen. Als Beispiel wird folgendes C-Nezwerk (Bild 3.4) behndel. Bild 3.4: C-Nezwerk Shri : Anszgleihungen u ( ) = u ( ) + u ( ) + u ( ) e u ( ) = u( ) = i ( τ ) d τ u ( ) = i( ) u di ( ) ( ) = d Shri : Eliminion ller Zwishenvriblen i(), u (), u (), die nih Eingng oder Ausgng sind! i C du ( ( ) ) = d u C du ( ) C d u ( ) e ( ) = + + u d d ( ) Ordnen und hinshreiben in der Sndrdform (3.): C d u d drus folg: ( ) C du ( ) + + u( ) = ue( ) (3.37) d = C = C = b = b = b =.

2 5 Die Ordnung ( höhse vorkommende Ableiung des Ausgngs) is n=, ws uh zu erwren wr, d ds Sysem n= unbhängige Speiherelemene ( und C) besiz. Ds Eingngssignl komm nur in nihbgeleieer Form vor, d.h. m=<n=; ds Sysem is selbsversändlih kusl. Um für ein spezielles, für gegebenes Eingngssignl u e () die zugehörige Sysemnwor u () zu ermieln, muß die Differenilgleihung (3.37) gelös werden. du Neben u e () müssen dfür noh die n= Anfngswere u ( ), u( ) = = d beknn sein! ezere können nun nih irgendwie beliebig gewähl werden, denn es hndel sih hier um die mhemishe Beshreibung (Modellierung) eines speziellen Signlüberrgungsverhlens eines gnz konkreen ehnishen Sysems! Die Anfngswere müssen mi der relen Siuion des ehnishen Sysems kompibel sein, d.h. sie müssen die rele Siuion wiedergeben. Wenn ds Sysem im Zeipunk = des Aufshlens des speziellen Eingngssignls u e () in uhe is oder wie mn uh sg, sih im Nullzusnd befinde, dnn sind die n= Speiher leer, d.h. uf is keine mgneishe esenergie und uf C keine esldungsenergie us der Vorgeshihe mehr vorhnden: i( ) =, u( ) = u( ) =. D u( ) = i( ) C is lso u( ) =. Für diese Siuion sind lso die beiden Anfngswere Null. Dmi knn die ösung der Differenilgleihung (3.37) ls Anfngswerproblem nh dem klssishen ösungslgorihmus für gegebenes Eingngssignl u e () berehne werden. (3.37) is die us der Mhemik, Elekroehnik,..., hinlänglih beknne Shwingungsdifferenilgleihung, n der der klssishe ösungslgorihmus exzerzier wurde und die möglihen unershiedlihen Zeiverläufe der ösungen inerpreier wurden (periodish, shwingend usw.). Dies wird hier nih wiederhol. Dzu wird uf die Übungsufgben hingewiesen. Werden die gleihen Buelemene,,C nders vershle, so enseh ein nderes Sysem mi nderem Signlüberrgungsverhlen. Dzu wird ds Sysem in Bild 3.5 berhe: Bild 3.5: Die Elemene,,C zu einem nderen Sysem vershle Sell mn dfür die Differenilgleihung uf, so erhäl mn in den zwei Shrien

3 53 Shri : ue ( ) = i( ) + C i ( τ ) d τ + u ( ) u u di ( ) = ( ) =. d Shri : u i( ) = u ( τ ) d τ u d τ ( ) = ( τ ) τ + u ( υ) dυ dτ + u ( ) C e due ( ) d ( ) u C u d du( ) = ( ) + τ τ + d d ue( ) du( ) d d C u d u( ) = + ( ) + d C d u d drus folg: ( ) C du ( ) u C d u e ( ) + + ( ) = d. (3.38) d = C = C = b = C b = b = m = n =. Die Differenilgleihung. Ordnung (3.38) h wieder die Sndrdform (3.), unersheide sih ber von (3.37)! Zwr simmen die linken Seien von (3.37) und (3.38) überein, nih ber die rehen! Ds heiß, ds Signlüberrgungsverhlen des in Bild 3.5 drgesellen und durh (3.38) mhemish modellieren Sysems is ein nderes ls ds von dem in Bild 3.4 gezeigen und durh (3.37) beshriebenen Sysem. Dieses unershiedlihe Signlüberrgungsverhlen der beiden Syseme könne mn uh messen. Für den Fll, dß shwingungsfähiges Verhlen durh ensprehende Dimensionierung von, und C vorliegen möge ( genügend klein) und die Speiher leer sind, erhäl mn folgende Sprungnworen uf ds Einshlen einer Gleihspnnung ue ( ) = [ V] σ ( ) im Zeipunk =:

4 54 Bild 3.6: Sprungnworen der beiden C-Nezwerke bei Erregung us dem Nullzusnd (Speiher leer) Diese experimenell erhlenen Sprungnworen können rehnerish durh ösen der Differenilgleihungen (3.37) bzw. (3.38) für u e ()=σ() ermiel und dmi heoreish besäig werden. Die ösung der Differenilgleihung (3.37) für u e ()=σ() und die oben bereis ermielen, zureffenden Anfngswere u ()=, u ( ) = mi dem beknnen, klssishen ösungsverfhren bereie keine Shwierigkeien. Gnz nders und viel shwieriger is die rehnerishe ösung von (3.38) für ds zweie C-Nezwerk us Bild 3.5: Auf der rehen Seie dieser Differenilgleihung seh die zweie Abläeiung des Eingngssignls u e (); diese is ber für ds spezielle, jez verwendee sprungförmige Eingngssignl u e ()=σ() im klssishen Sinne gr nih bildbr! Im Einshlpunk = is der Sprung nih differenzierbr. Für (3.38) is m=n=. Auh uner der geroffenen Annhme, dß ds Sysem im Nullzusnd is, d.h. beide Speiher leer sind, wenn in = ds sprungförmige Eingngssignl ufgeshle wird, sind die Anfngsbedingungen u (), u ( ), die mn für die klssishe ösungsmehode der Differenilgleihung benöig, um die Sprungnwor zu berehnen, nih beide Null! Ds Bild 3.6 zeig, dß die Sprungnwor für = bei Eins beginn, lso u (+)=, und dies obwohl uf beiden Speihern und C ls esul der Vorgeshihe keine esenergie mehr gespeiher wr! Der Wer u ( + ) is nih ohne weieres zu ersehen. Auf ähnlih diffizile Siuionen us der Sih der ösung einer Differenilgleihung ls Modell eines ehnishen Sysems mi der klssishen ösungsmehode söß mn immer dnn, wenn m> und gnz besonders, wenn m=n und ds Eingngssignl im klssishen Sinne nih im Inervll [ =, ] differenzierbr is, lso z.b. in = eine Sprungunseigkei h. Vor llem im Fll m=n mh die Ermilung der zureffenden Anfngswere u (+), u ( + ),..., die mi der Vorgeshihe des Sysems kompibel, d.h. sählih verräglih sind, Shwierigkeien. Die Vorgeshihe des Sysems ende nämlih in = -, lso unmielbr vor dem Einshlen des Eingngssignls in =. Bei sprungförmigem Eingng komm es

5 55 dnn im Fll m=n zu einer ebenflls sprungförmigen Veränderung des Ausgngssignlweres im Einshlpunk: Der Wer des Ausgngssignls u (+) is nih gleih dem Wer u (-) m Ende der Vorgeshihe! D die klssishe ösungsmehode für die Differenilgleihung ber die Anfngswere bei + benöig, lso die, die ls ekion uf ds eingeshlee Eingngssignl vorliegen, muß mn diese ers einml gesonder ermieln! Mn kenn sie vorb nih, uh dnn nih, wenn mn weiß, dß ls esul der Vorgeshihe lle Speiher leer sind und dmi lle Anfngsbedingungen für =- Null sind. Die Sprungnwor für ds obige zweie Beispiel mh dies deulih (siehe Bild 3.6). Wie knn mn nun in einem solhen Fll, der äußerlih durh m=n in der Differenilgleihung gekennzeihne is, die rihigen und für die klssishe ösungsmehode benöigen Anfngswere bei =+ ermieln? Dzu benöig mn physiklish ehnishes Bsiswissen us der Wel des zu beshreibenden Sysems. Für ds obige elekrishe Nezwerk weiß mn: Der Srom durh eine Indukiviä knn nih springen: i Die Spnnung n einer Kpziä knn nih springen: u ( ) = i ( + ) ( ) = u ( + ). Als esul der Vorgeshihe sind im gennnen Beispiel beide Speiher und C leer, d.h. ds Nezwerk befinde sih im Nullzusnd bevor in = der Sprungeingng ufgeshle wird: i ( ) = i( + ) = drus folg u ( ) = u ( + ) =. Die Spnnungsbilnz im Nezwerk wird für jeden Zeipunk in < < durh die Mshengleihung beshrieben: u ( ) = u ( ) + u ( ) + u ( ) e u ( ) = i( ) + u ( ) + u ( ). e = : = + + u( ) drus folg u( ) =. = + : [ V] = + + u ( + ) drus folg u ( + ) = [ V]. Der zweie für die ösung der Differenilgleihung benöige Anfngswer u ( +) wird uner Benuzung der bei der Aufsellung von (3.38) bereis gefundenen Gleihung u ( ) ( ) ( ) ( ) u = + C u τ d τ + u e erhlen. Für =+ erhäl mn drus für ds spezielle Eingngssignl ue ( ) = [ V] σ ( )

6 56 u u = + : e ( + ) = ( + ) + C u ( τ ) d τ + u ( + ) + = + + u( + ) drus folg u ( + ) =. Ers jez is lles beknn, ws für die Berehnung der Sprungnwor des Nezwerkes durh ösen der Differenilgleihung (3.38) mi der klssishen Mehode benöig wird: d ue ) ue ( ) = [ V] σ ( ) = σ ( ) drus folg = für + d ) u( + ) =, u( + ) = ( ) ( ) C d u C du 3) + + u( ) = für +. d d ) und 3) bilden ds nun uf klssishen Wege lösbre Anfngswerproblem; seine ösung - nur gülig für +! - liefer den rihigen Verluf der Sprungnwor u () des Nezwerkes, so wie mn ihn uh messen würde, wenn mn ds ensprehende Experimen durhführ (siehe Bild 3.6). Es is zusmmenfssend feszuhlen: Die rihige Berehnung des Signlüberrgungsverhlens für ehnishe Syseme, deren Differenilgleihung uh ds Eingngssignl in bgeleieer Form enhäl (m>), bereie Shwierigkeien, wenn ein eigenlih nih differenzierbres Eingngssignl vorlieg. Shon ds ehnish gnz einfhe und elemenre Signl u( ) = σ ( ), ds einen Einshlvorgng symbolisier, gehör dzu. Wenn dnn noh in der Differenilgleihung m=n is, werden die Shwierigkeien bei der Berehnung der Sprungnwor besonders hoh, weil die Ermilung der für die mhemishe ösungsvorshrif benöigen Anfngswere bei + us der beknnen Vorgeshihe des Sysems in diesen Fällen nur uf Umwegen und mi z.t. wenig nshulihen Zwishenshrien geling. Shon n dem behndelen, gnz einfhen Beispiel des C-Nezwerkes mi der Ordnung n= wurde dies deulih. Für höhere Ordnungen n nehmen die Shwierigkeien, die llein mi der Anfngswerproblemik verbunden sind, deulih zu. Dies minder die Arkiviä, Prkikbiliä und Anshulihkei der mhemishen Beshreibungsform Differenilgleihung höherer (n.) Ordnung im Zusmmenhng mi der Signlüberrgung in lineren dynmishen Sysemen und is mi ein Grund, dß Zusndsmodelle zu einer immer mehr bevorzugen Beshreibungsform uh für diese Klsse von Sysemen geworden sind.