x x x Eine solche Verzweigung ist als Verzweigung der vom Signal getragenen Information

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1 Signlflußplndrstellung Neben dem bisher behndelten rein mthemtischen Modellen in Gleichungsform zur Beschreibung des Signlübertrgungsverhltens dynmischer Systeme eistiert noch eine bildliche und dher sehr nschuliche Beschreibungsform: Der Signlflußpln. Dieser soll jetzt usgehend von einem Zustndsmodell bzw. einer Differentilgleichung höherer (n.) Ordnung für linere zeitinvrinte dynmische Systeme eingeführt werden. Die Bestneile eines solchen Signlflußplnes sind:. Signllinien Sie symbolisieren den gerichteten Fluß eines Signls. 2. Signlverzweigung Eine solche Verzweigung ist ls Verzweigung der vom Signl getrgenen Informtion zu verstehen! 3. Signlddition bzw. -subtrktion = = - 2 Auch diese Opertionen beziehen sich nur uf die Signlinformtionen! 4. Multipliktion eines Signls mit einer Konstnten, z.b. i u R u = R i 5. Integrtoren (Integrierer)

2 74 Signlflußpln us Zustndsmodell Gnz besonders einfch und trnsprent ist der Zusmmenhng zwischen einem Zustndsmodell eines lineren zeitinvrinten Systems und dem zugehörigen Signlflußpln. Die Gewinnung des Signlflußplnes us dem Zustndsmodell soll für ds Zustndsmodell (3.44) des RLC-Netzwerkes us Bild 3.4 gezeigt werden: d i = uc C u = R L L i + uc 0 ( 0 ) i u c L u 0 e (3.44) In ufgelöster Form besteht dieses Zustndsmodell us n=2 Differentilgleichungen. Ordnung mit konstnten Koeffizienten di R L i t L u t = ( ) c( ) + L u e ( t ) (3.83) duc = C i ( t ) (3.84) und einer lgebrischen Ausgbegleichung, die hier zu einer Identität u = u c (3.85) wird. di Um die Zustndsvrible (t)=i(t) us der ersten Ableitung = zu erhlten, muß di ( t ) einml integriert werden, wofür mn einen Integrierer benötigt. Mn benötigt einen zweiten Integrierer, um 2 = uc us 2 = zu erhlten. duc Diese n=2 Integrierer sind nun so zu beschlten, wie es die n=2 Differentilgleichungen. Ordnung mit ihren rechten Seiten jeweils vorschreiben; die rechte Seite von (3.83) wird unter Benutzung der o.g. Bestneile ), 3) und 4) relisiert und die rechte Seite von (3.84) mit 2) und 4), während die Ausgbegleichung (3.85) noch einml die Verwendung von 2) erfordert. Dmit ht mn den Signlflußpln gefunden (Bild 3.8):

3 75 Bild 3.8: Signlflußpln zum Zustndsmodell (3.44) des RLC-Netzwerkes us Bild 3.4 Mn erkennt, dß die Zustndsvriblen ls Ausgänge von Integrierern erscheinen. Für ds Zustndsmodell eines beliebigen lineren zeitinvrinten Systems n=2. Ordnung 2 = b + b u y = ( c c2 ) + d u 2 erhält mn nch gleichem Muster den Signlflußpln in Bild 3.9: 2 Bild 3.9: Signlflußpln für ein llgemeines Zustndsmodell eines lineren zeitinvrinten Systems 2. Ordnung

4 76 Für ein System n. Ordnung werden n Integrierer benötigt. Bei voll besetzten Mtrizen A, b, c T, d wird ds Bild des zugehörigen Signlflußplnes für n 4 unübersichtlich. Ds Zustndsmodell in Vektor-Mtri-Schreibweise (3.43) = A + b u, ( t ) = 0 0 T y = c + d u knn jedoch uch durch einen Mtri-Signlflußpln gemäß Bild 3.0 vernschulicht werden: Bild 3.0: Mtri-Signlflußpln eines Zustndsmodells n. Ordnung (3.39)-(3.43) Dbei stellen Doppellinien vektorielle Signle dr. Außerdem ist der Anfngszustnd 0, mit dem die Integrtion bei t 0 strtet, ngedeutet. Der Integrierer ist n-dimensionl, d.h. mn muß ihn sich us n sklren Integrierern bestehend vorstellen. Sein Eingng wird so beschltet, wie es die rechte Seite der Vektordifferentilgleichung. Ordnung (3.4) vorschreibt. Mtri-Blöcke sind im Signlflußpln mit den in sie hineinfließenden (vektoriellen) Signlen immer entgegengesetzt zur Signlflußrichtung zu multiplizieren, um den durch die Mtrizenmultipliktion vorgeschriebenen Regeln zu genügen. Bild 3.0 zeigt sehr nschulich, dß die Zeitopertion, die in dem dynmischen System mit der Signlübertrgung relisiert wird, usschließlich nur in der inneren Schleife, ds ist der durch die Systemmtri A rückgekoppelte n-dimensionle Integrierer, stttfindet. Alle nderen Signlopertionen sind rein lgebrischer Ntur. Der Chrkter des dynmischen Verhltens wird lso nur durch die Systemmtri A -genuer durch die Eigenwerte λ i ( A), i =, 2,..., n - bestimmt. Weiterhin zeigt Bild 3.0 sehr nschulich die Rolle und Wirkung des Druchgngsterms d in der Ausgbegleichung des Zustndsmodells. Wenn d vorhnden ist, lso wenn d 0, dnn ruft ein in t 0 =0 m Eingng ufgeschltetes Signl u(t)=σ(t) den Anfngswert y = ( + 0) = d = d beim Ausgngssignl y(t) hervor, und dies immer uch dnn, wenn der Anfngszustnd 0 ls Resultt der Vorgeschichte in t<0 Null ist, lso ( 0) = = 0. Linere Systeme mit d 0 nennt mn dher sprungfähig. 0

5 77 Signlflußln us Differentilgleichung höherer Ordnung Liegt ds Modell zur Beschreibung des Signlübertrgungsverhltens primär ls Differentilgleichung höherer Ordnung vor, so knn drus uch unmittelbr ein Signlflußpln gewonnen werden. Ds dzu erforderliche Vorgehen wurde in der Anlogrechentechnik zur Gewinnung des Koppelplnes entwickelt. Heute ist dies für sog. blockorientierte (digitle) Simultion mit einem PC ggf. uch von prktischem Interesse. Ds Vorgehen wird m Beispiel eines lineren zeitinvrinten Systems der Ordnung n=3 demonstriert: Gegeben sei die zugehörige Differentilgleichung dritter Ordnung in der Stndrdform mit 3 = y + y + y + y = b u + b u + b u + b u (3.86) Es ist m=n=3. Die höchste vorkommende Ableitung des Ausgngssignls wird sepriert y = b u + ( b u y) + ( b u y) + ( b u y), wobei die rechte Seite nch gleichen Ableitungen fllend geordnet wurde. Nun wird ncheinnder n=3 ml integriert y = b u + ( b u y) + ( b u y) + ( b u y) y = b u + ( b u y) + ( b u y) + ( b u y) y = b u + ( b u y) + ( b u y) + ( b u y) (3.87) Zur Gewinnung von y sind demnch n=3 Integrierer notwendig. Fßt mn die rechte Seite der letzten Gleichung ls Vorschrift für die Bildung des Ausngssignls y(t) uf, so müssen b0u 0y n = 3 ml integriert bu y 2 ml integriert b2u 2y ml integriert b u 0 ml integriert 3 werden und die Summe drus gebildet werden. Drus ergibt sich unmittelbr der folgende Signlflußpln zur Simultion der ursprünglichen Differentilgleichung:

6 78 Bild 3.: Signlflußpln zur Differentilgleichung (3.86) eines lineren zeitinvrinten Systems der Ordnung n=3 Bild 3. ist die bildliche Drstellung von (3.87), d.h. der zu (3.86) äquivlenten Integrlgleichung für y(t). Mn sieht, y wird intern rückgekoppelt, ws in (3.87) dem Auftreten von y in den 3 Integrltermen uf der rechten Seite entspricht. Mn nennt deshlb die hier vorgestellte Vorschrift zur Gewinnung eines Signlflußplnes zur Differentilgleichung n. Ordnung uch Methode durch Integrtion mit Rückkopplung. Der Signlflußpln knn nhezu rezeptmäßig uch für n>3 gezeichnet werden. Folgender Hinweis verdient Bechtung: Ist m<n, d.h. ist b n =0, so fehlt im Signlflußpln der direkte Durchgngsblock von u(t) nch y(t); Systeme mit m<n in der Differentilgleichung sind dher nicht sprungfähig! Der Block (Koeffizient) b n entspricht dher dem Durchgngsterm d im Zustndsmodell: Ist b n =0, so ist uch d=0. Ht mn den Signlflußpln eines Systems (entweder us dem Zustndsmodell, der Differentilgleichung höherer Ordnung oder uf ndere Weise gewonnen) vorliegen, so knn dvon usgehend eine blockorientierte Simultion des Signlübertrgungsverhltens mit dem (Anlog- oder Digitl-) Rechner erfolgen. Die Rechenschltung bzw. ds Progrmm ergibt sich durch entsprechende Umsetzung der im Bild vorkommenden Opertionen und deren Verknüpfungen. In diesem Sinne ist der Signlflußpln eine sehr nschuliche Grundlge für die Relisierung einer rechnergestützten Simultion. Für die Erzeugung der erforderlichen bzw. gewünschten Eingngssignle u(t) sind noch entsprechende Funktionsgenertoren rechnerintern zu relisieren, die für die üblichen Testsignle meist vorkonfektioniert verfügbr sind. Die Anfngswerte der Integrierer sind beim Strt entsprechend der Vorgeschichte des Systems, ds simuliert (dessen Signlübertrgungsverhlten uf dem Rechner nchgebildet, berechnet) werden soll, zu setzen (Initilisierung). In der letzten Zeit werden in der Systemtheorie bevorzugt Signlflußgrphen nstelle von Signlflußplänen verwendet. Die Symbolik unterscheidet sich etws: In einem Signlflußgrph wird jedes Signl durch einen sog. Knoten drgestellt. Die weiteren Elemente sind gerichtete Knten, die mit Kntengewichten versehen werden. Die gerichteten Knten zeigen, welches Signl direkt uf welches ndere

7 79 Signl wirkt. Die Kntengewichte stellen die Integrtion und Elemente der Mtrizen des Zustndsmodells bzw. Koeffizienten us der Differentilgleichung dr. Im Vergleich zu Bild 3.9 zeigt Bild 3.2 den Signlflußgrph zum Zustndsmodell eines lineren Systems zweiter Ordnung: Bild 3.2: Signlflußgrph zum Zustndsmodell eines lineren Systems zweiter Ordnung Die Reltionen zum Signlflußpln sind offenkundig. Der mit dem Signlflußgrph vollzogene Brückenschlg zur Theorie gerichteter Grphen läßt sich weiter usbuen. Dmit ergeben sich bei der Anlyse kompleerer, größerer Systeme ggf. neue, vorteilhfte Möglichkeiten durch die Nutzung grphentheoretischer Methoden.