Skript für die Oberstufe und das Abitur 2011 Baden-Württemberg - allg. Gymnasium

Transkript

1 Skrip für die Obersufe und ds Abiur 0 Bden-Würemberg - llg. Gymnsium Anlyische Geomerie - Lehrbuch (Tschenrechner Tes Insrumens und Shrp) Dipl.-Mh. Alender Schwrz Im Weinberg Cleebronn E-Mil: schwrz@mhe-ufgben.com Homepge: Wichiger Hinweis: Ich bie den Eigenümer dieses Skripes, weder ds gesme Skrip noch Teiluszüge drus zu kopieren, einzuscnnen oder uf ndere Ar und Weise zu vervielfäligen, um es n ndere weierzugeben. Der Preis dieser Unerlgen seh in keinem Verhälnis zu dem Zeiufwnd, den ich dfür invesier hbe und für den Inhl, den mn bekomm. Ich bie um Firness und dnke dfür Alender Schwrz

2 Einige Hinweise Zunächs einml bednke ich mich für ds Verruen, ds ihr mir mi dem Kuf dieses Skripes für die Abiurprüfung in Mhemik engegengebrch hb! Der drin enhlene Soff der Anlyischen Geomerie is uf den Lehrpln von Bden- Würemberg für die Obersufe (Snd 00/0) bgesimm. Ich hoffe, dss dieses Lern- und Übungsskrip euch hilf, den Mhemik-Prüfungssoff besser zu versehen, eure Vorbereiungszei zu reduzieren und schließlich drum geh es nürlich lezendlich die Abiurprüfung erfolgreich zu besehen! Mein Ziel is es, den umfngreichen Soff der Anlyischen Geomerie im Folgenden versändlich und srukurier drzusellen. Zu jedem Aufgbenyp werden in einem llgemeinen Teil die wesenlichen Inhle zu jedem Them usführlich wiederhol. Die Beispiele dienen der näheren Erläuerung und Veriefung. Wichige Tepssgen werden durch grue Unerlegungen gekennzeichne. Achung: Dieses Zeichen uch uf, wenn gerne Fehler gemch werden! Solle ihr euch fi genug fühlen, könn ihr euch mi den Aufgben in dem nderen Skrip beschäfigen. Die Aufgben, die mi dem Sichwor Pflicheil oder Übung ohne GTR gekennzeichne sind, müssen ohne Hilfsmiel gelös werden. Bei Aufgben mi dem Sichwor Whleil oder Übung mi GTR drf die Formelsmmlung und soll der GTR so of wie möglich eingesez werden. Aufgben, die mi Übung bezeichne sind, sind ews einfcher und dürfen direk so im Abiur (leider) nich vorkommen. Eure Ergebnisse könn ihr dnch mi den usführlichen Muserlösungen vergleichen. Nürlich sind meine Muserlösungen nich immer der einzige Weg zum Ziel. Solle ihr lso einen nderen Lösungsweg mi demselben Ergebnis hben, knn dies genuso richig sein. Ich hbe in dem Skrip druf verziche, Originlufgben ler Abiurprüfungen zu sellen. Diese könn ihr kosenfrei uf meiner Homepge mi den Muserlösungen herunerlden. Noch ein Hinweis zum GTR: Die GTR-Befehlsngben im Skrip orienieren sich m GTR von Tes Insrumens (TI -8 Plus, TI-8 Plus). D die Bedienung des GTR von Shrp ähnlich is wie bei Tes Insrumens, können uch die Nuzer eines Shrp-Rechners die Befehlsngben zum größen Teil nuzen. Dieses Zeichen im Skrip deue druf hin, dss drgesell wird, wie die Lösung einer Aufgbensellung mi Hilfe des GTR durchgeführ wird. Viele Rückmeldungen von Abiurienen sgen us, dss ihnen mi diesem Skrip ein besonders gu geeignees Arbeismiel zur Prüfungsvorbereiung n die Hnd gegeben wurde. Aber roz ller Mühen, Tipp und Flüchigkeisfehler zu vermeiden, können uch mir Fehler unerlufen sein. Solle ihr welche endecken, wäre ich für eine Mieilung dnkbr. Auch Anregungen und konsrukive Kriik werden von mir gerne engegengenommen und bei der Akulisierung berücksichig. Eine kuelle Korrekurlise zu diesem Skrip finde ihr uf meiner Homepge uner Akuelles. Viel Erfolg bei der Berbeiung dieses Skripes und lles Gue für eure Abiurprüfung! Alender Schwrz

3 Inhlsverzeichnis. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND IHRE ANWENDUNGEN. BEGRIFF LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM. LÖSEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME OHNE GTR. LÖSEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME MIT DEM GTR. MÖGLICHE LÖSUNGSMENGEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN.5 ANWENDUNGSAUFGABEN ZU LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN.6 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL. EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG. PUNKTE UND VEKTOREN IM ³. RECHNEN MIT VEKTOREN. LINEARKOMBINATION VON VEKTOREN. LINEARE ABHÄNGIGKEIT / UNABHÄNGIGKEIT VON VEKTOREN.5 BETRAG VON VEKTOREN UND EINHEITSVEKTOR.6 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL. TEILVERHÄLTNISSE UND BEWEISE MITHILFE VON VEKTOREN. BERECHNUNG VON TEILVERHÄLTNISSEN. BEWEISE MIT HILFE VON VEKTOREN (GESCHLOSSENES VEKTORZUGVERFAHREN). ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL. SKALARPRODUKT UND WINKELBERECHNUNG. SKALARPRODUKT UND WINKEL ZWISCHEN ZWEI VEKTOREN. BEWEISE MITHILFE DES SKALARPRODUKTES. ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 5. GERADEN 5. GERADENGLEICHUNGEN IM ³ 5. LAGE VON GERADEN IM DREIDIMENSIONALEN RAUM 5.. Zeichnen einer Gerde im Koordinensysem 5.. Lge zweier Gerden im dreidimensionlen Rum 5.. Gerden im ² 5. ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 5 6. EBENEN 6. TYPEN VON EBENENGLEICHUNGEN 6. DAS KREUZPRODUKT EIN NÜTZLICHES HILFSMITTEL (NICHT IM LEHRPLAN!) 6. AUFSTELLEN VON EBENENGLEICHUNGEN 6. UMFORMEN VON EBENENGLEICHUNGEN 6.. Prmeerform -> Koordinengleichung (ds bruch mn häufig!) 6.. Prmeerform -> Normlenform 6.. Koordinengleichung -> Normlenform 6.. Normlenform -> Koordinengleichung 6..5 Koordinengleichung -> Prmeerform 6..6 Übersich Umformung Ebenengleichungen 6.5 LAGE VON EBENEN ZUEINANDER 6.6 SCHNITTAUFGABEN MIT EBENEN 6.6. Schni Gerde Ebene 6.6. Schni Ebene Ebene 6.7 LAGEBEZIEHUNG ZWISCHEN GERADEN UND EBENEN

4 6.8 VERANSCHAULICHUNG VON EBENEN 6.8. Die drei Koordinenebenen und ihre Prllelebenen 6.8. Ebenen ls Spurdreieck 6.9 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 6 7. ABSTÄNDE UND SCHNITTWINKEL 7. SCHNITTWINKEL 7.. Schniwinkel Gerde Gerde 7.. Schniwinkel Ebene - Ebene 7.. Schniwinkel Gerde Ebene 7. ABSTANDSAUFGABEN 7.. Absnd Punk Punk 7.. Absnd Punk Ebene 7.. Absnd Punk Gerde 7.. Absnd zweier prlleler Ebenen 7..5 Absnd einer Ebene von einer dzu prllelen Gerden 7..6 Absnd zweier prlleler Gerden 7..7 Absnd zweier windschiefer Gerden 7. FLÄCHEN- UND VOLUMENBERECHNUNGEN 7.. Berechnung von Dreiecksflächen 7.. Berechnung von Volumen von Pyrmiden 7. ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 7 8. SPIEGELUNGEN 8. SPIEGELUNG PUNKT AN PUNKT 8. SPIEGELUNG PUNKT AN EBENE 8. SPIEGELUNG GERADE AN EBENE 8.. Gerde schneide Ebene 8.. Gerde is prllel zur Ebene 8. PUNKT AN GERADE 8.5 GERADE AN GERADE 8.6 EBENE E AN EBENE F 8.6. Ebene E is prllel zur Ebene F 8.6. Ebene E schneide Ebene F in einer Schnigerde g 8.7 ÜBUNGSAUFGABEN ZU KAPITEL 8 9. AUFGABENTYPEN IM ÜBERBLICK 0. ÜBUNGSAUFGABEN FÜR DEN WAHLTEIL

5 . Linere Gleichungssyseme und ihre Anwendungen. Begriff lineres Gleichungssysem Ein lineres Gleichungssysem (dies wird b jez mi LGS bgekürz) beseh im Allgemeinen us mehreren Gleichungen mi mehreren Unbeknnen. Die Anzhl der Gleichungen muss dbei nich der Anzhl der Unbeknnen ensprechen. Ds Wor liner bedeue, dss die gesuchen Vriblen die Hochzhl besizen und die Vriblen nich durch ein Produk direk mieinnder verbunden sind (siehe Bsp.. c)). Beispiel.: Linere Gleichungssyseme sind beispielsweise ) 5 b) b c 0 c) c 6 ) Gleichungen mi Unbeknnen b) Gleichungen mi Unbeknnen c) Gleichung mi Unbeknnen Beispiel.: Nichlinere Gleichungssyseme sind zum Beispiel ) ² b) b 5 c) y z 7 sin( ) b 9 z 9. Lösen linerer Gleichungssyseme ohne GTR Für die Lösung eines LGS ohne GTR biee sich ds Guss-Verfhren n. Idee des Guss-Verfhrens: Ds LGS wird in eine Sufenform umgewndel, us der die Lösung dnn problemlos berechne werden knn. Beispiel.: Folgendes LGS besiz bereis eine Sufenform: Aus der. Zeile erhäl mn. Nch Einsezen dieser Lösung ergib sich us der.zeile und schließlich us der.zeile Die Lösungsmenge lue { ( / / ) }. Ds LGS des Beispiels. besiz genu eine Lösung (und keine Lösungen!). Dher wäre die Schreibweise { ; ; } flsch, denn ds würde bedeuen, dss es drei verschiedene Lösungen geben würde (wie z.b. bei einer Gleichung.Grdes) 5

6 Ein LGS knn durch folgende Umformungen in eine Sufenform umgewndel werden: Zwei Gleichungen des Gleichungssysems veruschen Eine Gleichung mi einer beliebigen Zhl b 0 durchmuliplizieren Eine Gleichung durch die Summe / Differenz eines Vielfchen von ihr und eines Vielfchen einer nderen Gleichung des LGS ersezen. Wie ein gegebenes LGS sysemisch in eine solche Sufenform umgewndel wird, wird n folgendem Beispiel deulich: Beispiel.: Umwndlung eines LGS in Sufenform Schri.Schri: Ds LGS wird zunächs in Kurzschreibweise (Mrischreibweise) umgeschrieben. Hierbei werden nur die Koeffizienen (Zhlen vor den Vriblen) des LGS in einer Tbelle ufgeschrieben und die Vriblen weggelssen..schri: Die Zeilen des LGS müssen verusch werden, flls der Einrg links oben 0 wäre. Dieser Schri knn hier enfllen, d dor eine seh. Anschließend muss mn durch Addiion der.zeile und.zeile bzw. der.zeile und.zeile erreichen, dss die Einräge der.sple mi Ausnhme des Einrgs links oben 0 ergeben. Hierzu müssen vorher die Zeilen ensprechend durchmuliplizier werden, dmi sich bei der Addiion 0 ergib. Die Pfeile bedeuen jeweils eine Addiion der ensprechenden Zeilen wobei die Pfeilspize dor hinzeig, wo ds Ergebnis der Summe sehen wird. 5 6 ( ) 7 ( ) Die Zeile, von der die Pfeile wegzeigen (hier die.zeile) wird dbei wieder bgeschrieben. Die Muliplikion mi - solle lso nur im Kopf sfinden. Ergebnis: ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) 6 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 7 ( ) Schri: In der zweien Sple soll nun durch Addiion der. und. Zeile der unere Einrg uf 0 gesez: 6

7 ( ) Die. Zeile, von der der Pfeil wegzeig, wird dbei wieder bgeschrieben. Ergebnis: Im.Schri drf nich die. und.zeile mieinnder verrechne werden, weil ddurch der wichige 0-Einrg links unen, der im.schri erzeug wurde, wieder zersör werden würde. Nun besiz ds Gleichungssysem die gefordere Sufenform, d unerhlb der eingezeichneen Digonlen die Zhlen lle 0 sind. Nun knn mn die Vriblen berechnen: Aus der.zeile: 88 Aus der.zeile: 9 9 Aus der.zeile: 6 Die Lösungsmenge lue { ( / / ) }, ds LGS besiz lso genu Lösung. Die Umwndlung in Sufenform wie in Beispiel. vorgesell is eine Möglichkei von vielen. Nürlich könne mn im.schri z.b. uch die Einräge in der.sple zu 0 mchen. Es is lso nur eines von mehreren Kochrezep und ein geüber Rechner knn nürlich von diesem Kochrezep bweichen.. Lösen linerer Gleichungssyseme mi dem GTR In den GTR werden nur die Zhlen der Kurzschreibweise eingegeben. Beispiel.5: Lösung eines LGS mi GTR Ds LGS us Beispiel. wird nun mi dem GTR berechne:.schri: Tsenkombinion: nd ; MATRX ; EDIT ; [A] ; ; ENTER ; Anschließend werden die Zhlen us dem LGS in die Mri eingergen: X bedeue die Eingbe einer Mri von Zeilen und Splen.Schri: Nch Eingbe der Tbelle geh es weier mi folgender Tsenkombinion: nd ; QUIT ; nd ; MATRX ; MATH ; rref( ; ENTER ; nd ; MATRX ; NAME ; [A] ; ENTER ; ) ; ENTER 7

8 Aus der rechen Mri knn die Lösung bgelesen werden: und ( ).6 Übungsufgben zu Kpiel Aufgbe -: (Pflicheil) Löse ds folgende linere Gleichungssysem und inerpreiere ds Ergebnis geomerisch: ) b) 5 0 Aufgbe -: (Pflicheil) Besimme die Lösungsmenge des lineren Gleichungssysems. ) b)

9 9 5. Gerden 5. Gerdengleichungen im ³ Die Gleichung einer Gerden im dreidimensionlen Rum ³ wird mi Hilfe von Vekoren drgesell. Der Gleichungsyp wird Prmeerform gennn. Prmeerform einer Gerdengleichung: u u u s u s r r, s Der Vekor wird ls Orsvekor oder Süzvekor bezeichne, der Vekor u r ls Richungsvekor oder Spnnvekor der Gerden. X g u A u s O Beispiel 5.: Gegeben is die Gerdengleichung 0 : g mi Der Orsvekor lue 0 und der Richungsvekor Die Koordinen des Orsvekors ensprechen gleichzeiig den Koordinen eines Punkes A(0//), der uf der Gerden g lieg. Der Orsvekor is der Pfeil, der vom Ursprung us uf den Punk A zeig. Sez mn nun ncheinnder für den Prmeer verschiedene Zhlen ein, erhäl mn Orsvekoren OX gemäß der Skizze, deren Koordinen Punken ensprechen, die uf der Gerde liegen. ) / A(0 / 0 0 lieg uf g ) / P(6 / 6 lieg uf g. Es gib übrigens unendlich viele weiere Gerdengleichungen, die nschulich dieselbe Gerde drsellen. Als Orsvekor könne mn z.b. uch die Koordinen des Gerdenpunkes P(6//) verwenden. Außerdem is es möglich, den Richungsvekor in beliebiger Weise zu vervielfchen bzw. zu kürzen (z.b. lle Koordinen des Vekors durch eilen).

10 0 Die Gleichung von g könne dher uch luen: 6 : g mi Mi Hilfe der Prmeerform knn mn ußerdem rechnerisch prüfen, ob ein gegebener Punk uf einer Gerden lieg. Beispiel 5.: Prüfe rechnerisch, ob die Punke P(7/-/) und Q(0//) uf : g liegen. Nun werden die Koordinen der Punke ls Orsvekor geschrieben und links in die Gerdengleichung für eingesez. Punkprobe für P: 7 Diese Vekorgleichung läss sich zeilenweise schreiben ls Gleichungen mi einer Unbeknnen : D sich in jeder Zeile derselbe Wer für ergib, is ds LGS lösbr, lso lieg P uf g Punkprobe für Q: 0 0 Hier knn mn nch der zweien Zeile schon ufhören, weil sich ein Widerspruch ergib. Q lieg folglich nich uf der Gerde. Bei vielen Aufgben is die Gleichung der Gerden nich gegeben, sondern mn kenn nur Punke, mi deren Hilfe die Gerdengleichung ufgesell werden soll. Kenn mn von einer Gerde die Punke ) / / ( A und ) b / b / (b B dnn besiz sie die Prmeerform: b b b AB OA : g, Diese Prmeerform is nich eindeuig (siehe Beispiel 5.)

11 A B X OA O Beispiel 5.: Eine Gerde enhäl die Punke A(//-) und B(/0/). Gib mögliche Prmeerformen n. g : OA AB oder 5 g : OB BA 0 5, D zu einer Gerde unendlich viele Gerdengleichungen eisieren, sell sich die Frge, worn mn bei zwei gegebenen Gerdengleichungen erkenn, ob diese nschulich dieselbe Gerde drsellen? Dies wird im folgenden Kpiel benwore. ( ) 9. Aufgbenypen im Überblick Bevor ihr zu den Whleilufgben in Kpiel 0 geh, solle ihr nhnd der folgenden Checklise prüfen, ob ihr in llen Themen ds nowendige Hndwerkszeug beherrsch. Ihr solle in der Lge sein, die nowendigen Rechenschrie der drgesellen Aufgben im Kopf durchzugehen und den Abluf der Berbeiung gegebenenflls n Skizzen zu beschreiben. In Klmmer sind die Kpiel/Beispiele/Aufgben ngegeben, n denen mn die Theorie flls nowendig nochmls uffrischen knn. Zwei Punke Gegeben sind zwei Punke A und B. ) Wie besimm mn den Verbindungsvekor zweier Punke? (Kp..) b) Besimme eine Gleichung der Gerden, die durch den Punk A und B verläuf. (Kp. 5.) c) Welche Koordinen besiz der Mielpunk der Srecke AB? (Kp..) d) A wird durch eine Spiegelung n der Ebene E uf B bgebilde. Wie besimm mn eine Gleichung von E? (Bsp. 8.) e) Wie spiegel mn einen Punk A n einem Punk B? (Kp 8.) Drei Punke Gegeben sind die Punke A, B und C. ) Wie überprüf mn, ob die drei Punke uf einer Gerden liegen? (Aufg. 5-) b) B lieg zwischen A und C uf einer Gerden. Wie is ds Teilverhälnis TV(ABC) definier? (Kp..) c) A, B und C bilden ein Dreieck. Wie berechne mn seine Seienlängen, die Innenwinkel und seinen Flächeninhl? (Kp..5, Bsp.., Kp 7..) Vier Punke ) Wie überprüf mn, ob die Punke in einer Ebene liegen? (Aufg. -) b) A, B, C und D bilden eine Pyrmide. Wie besimm mn ihr Volumen? (Kp 7..)

12 Punk Gerde Gegeben is der Punk P und die Gerde g. ) Wie überprüf mn, ob der Punk P uf der Gerde g lieg? (Bsp. 5.) b) P und g liegen in der Ebene E. Wie lue eine Gleichung von E? (Kp. 6.) c) Wie lue eine Gleichung der Ebene F, die orhogonl zu g durch P verläuf? (Kp. 6.) d) Wie besimme mn den Absnd von P zu g? (Kp. 7..) e) Wie besimm mn den Spiegelpunk zu P bei einer Spiegelung n g? (Kp. 8.) Punk Ebene Gegeben is der Punk P und die Ebene E. ) Wie berechne mn den Absnd des Punkes P von der Ebene E? (Kp. 7..) b) Wie besimm mn den Spiegelpunk zu P bei einer Spiegelung n E? (Kp. 8.) Gerde Gerde Gegeben sind die Gerden g und h. ) Welche gegenseiigen Lgebeziehungen zweier Gerden gib es? Wie is die Vorgehensweise bei der Unersuchung? (Kp. 5..) b) Wie besimm mn den Absnd zweier prlleler Gerden? (Kp. 7..6) c) Zwei prllele Gerden bzw. zwei sich schneidende Gerden liegen in der Ebene E. Besimme die Gleichung von E. (Kp. 6.) d) Wie besimm mn Schnipunk & Schniwinkel zweier Gerden? (Kp. 5.. und 7..) e) Wie berechne mn den Absnd zweier windschiefer Gerden? (Kp. 7..7) f) Wie spiegel mn eine Gerde n einer Gerden? (Kp 8.5) Gerde Ebene Gegeben sind die Gerde g und die Ebene E. ) Welche Lgebeziehungen gib es zwischen einer Gerde und einer Ebene? (Kp. 6.7) b) Die Gerde g und die Ebene E verlufen zueinnder prllel. Wie besimm mn ihren Absnd? (Kp. 7..5) c) Wie berechne mn den Schnipunk und den Schniwinkel zwischen einer Gerden und einer Ebene? (Kp 6.6. bzw. 7..) d) Wie erhäl mn die Gleichung der Spiegelgerden von g bei einer Spiegelung n der Ebene E? ( Fälle: g ech prllel zu E und g schneide E) (Kp. 8.) Ebene Ebene Gegeben sind die Ebenen E und F. ) Welche Lgebeziehungen gib es zwischen zwei Ebenen? (Kp. 6.5) b) Wie besimm mn den Absnd zweier prlleler Ebenen? (Kp. 7..) c) Wie besimm mn die Schnigerde und den Schniwinkel zweier Ebenen? (Kp bzw. 7..) d) Wie spiegel mn eine Ebene E n einer Ebene F? (Kp. 8.6)

13 0. Übungsufgben für den Whleil Aufgbe 0-: Hus Ein Hus h die Form eines Quders mi ufgesezem symmerischem Wlmdch. ) Gib die Koordinen der Eckpunke des Huses n. b) Besimme den Flächeninhl der Dchoberfläche. c) Gib eine Koordinendrsellung der Ebene E n, welche die Dchfläche Q,Q, R enhäl. Berechne den Winkel, den die Dchkne Q R mi der Huskne P Q bilde. Berechne den Winkel, den die Ebene E mi der Huskne P Q bilde. d) S sei der Schwerpunk der Dchfläche Q Q R. In S is nch ußen eine 5m lnge gerde Anenne ST ngebrch, die senkrech uf dieser Dchfläche seh. Wie hoch lieg T über dem Erdboden? e) Im Punk Q sei eine 8 m lnge Anenne mi dem Endpunk U lu Skizze ngebrch. Die beiden Husnennen sollen durch ein möglichs kurzes Drhsück mieinnder verbunden werden. Berechne die Länge des Drhsücks und gib die Koordinen der Befesigungspunke n. Muserlösungen Kpiel Aufgbe -: ) Ds LGS wird in Mrischreibweise umgeform und dnn in die Sufenform gebrch: 0 ( ) 0 ( ) Drus ergib sich,,, lso eine eindeuige Lösung. Lösungsmenge: L { (/-/) } (uf die Reihenfolge chen!)

14