5. Übung Algorithmen II
|
|
|
- Heinrich Althaus
- vor 9 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Johnnes Singler, Prof. Snders 1 Johnnes Singler: KIT Universität des Lndes Bden-Württemberg und ntionles Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschft Institut für Theoretische Informtik
2 Orgnistorisches Übungsblätter Ds dritte Übungsbltt steht seit Dienstg online. Die Musterlösung des dritten Übungsbltts erscheint m Vernstltungen Heute zuerst Vorlesung durch Übungsleiter. Am keine Übung, sondern nur Vorlesung. 2 Johnnes Singler:
3 Inhlt heute 1 Wiederholung Kostenminimle Flüsse Beispielluf des Algorithmus Demo 2 Beispiel zu Mtchings 3 Wiederholung Rndomisierte Algorithmen 4 Beispiel zu Cuckoo Hshing 5 Perfektes Hshing konkret 3 Johnnes Singler:
4 Wiederholung Kostenminimle Flüsse Problemdefinition: Folie 235 der Vorlesung Bewege Gut unter Einschränkungen möglichst billig von Angebot (Quellen) zu Nchfrge (Senken). Trnsportproblem : keine Beschränkung der Kpzität Modellierung mit s und t wie bei Mximlen Flüssen wäre uch möglich, ist in der Litertur ber nicht üblich. Von s führen Knten zu llen Quellen. Von llen Senken führen Knten zu t Algorithmus mittels Zyklenugmentierung: Folie 236 der Vorlesung bsierend uf Optimlitätskriterium inkrementelle Kostenreduzierung, Fluss bleibt immer zulässig konzeptuell ähnlich zu Ford-Fulkerson genuso lngsme Lufzeit: pseudo-polynomiell (Folie 411 der Vorlesung) 4 Johnnes Singler:
5 Kostenminimle Flüsse: Residulgrph cost f : Residulgrph der Kosten Knte in Gegenrichtung: negtive Kosten der eigentlichen Knte. Fluss über diese Gegenknte zu schicken reduziert Fluss, sprt lso Kosten Fluss f über Zyklus mit negtiven Kosten c im Kreis schieben: Mengen n Knoten ändern sich nicht, ber wir spren f c Kosten Fluss geht quntittiv nicht ein, wir spren so oder so (3/5) 6 (1/2) 4 b b 5 Johnnes Singler:
6 Kostenminimle Flüsse: Negtive Zyklen Wie findet mn einen negtiven Zyklus? Bellmn-Ford-Algorithmus zum Finden kürzester Wege in jeder strken Zusmmenhngskomponente (SCC) extr, von beliebigem Knoten in SCC Algorithmus terminiert mit inkonsistenten Kosten. Finde negtiven Zyklus mit wiederholter Tiefensuche (ist ein Bum, wenn kein negtiver Zyklus vorhnden ist). -1 b c d Johnnes Singler:
7 Kostenminimler Fluss Beispiel Eingbegrph G, noch kein (konsistenter) Fluss b 0 c d -5 e -20 Fluss Kosten Kpzität 7 Johnnes Singler:
8 Kostenminimler Fluss Beispiel Hinzufügen von s und t s b c d e t Fluss Kosten Kpzität 7 Johnnes Singler:
9 Kostenminimler Fluss Beispiel Finden eines Mximlen Flusses zwischen s und t s b c d e t lle Knten usgehend s voll usgelstet zulässiger Fluss Fluss Kosten Kpzität 7 Johnnes Singler:
10 Kostenminimler Fluss Beispiel Initiler zulässiger Fluss, Kosten b d c e Fluss Kosten Kpzität 7 Johnnes Singler:
11 5 1 Kostenminimler Fluss Beispiel Residulgrph, Zyklus mit Gesmtkosten -6 b -4 d c -2 2 e Fluss Kosten Kpzität 7 Johnnes Singler:
12 Kostenminimler Fluss Beispiel Augmentieren mit 15 Kosten b d c e Fluss Kosten Kpzität 7 Johnnes Singler:
13 5 1 Kostenminimler Fluss Beispiel Residulgrph, Zyklus mit Gesmtkosten -4 b -4 d c -2 2 e Fluss Kosten Kpzität 7 Johnnes Singler:
14 Kostenminimler Fluss Beispiel Augmentieren mit 5 Kosten b d c e Fluss Kosten Kpzität 7 Johnnes Singler:
15 5 1 Kostenminimler Fluss Beispiel Residulgrph, Zyklus mit Gesmtkosten b -4 4 d c -2 2 e Fluss Kosten Kpzität 7 Johnnes Singler:
16 Kostenminimler Fluss Beispiel Augmentieren mit 10 Kosten b d c e Fluss Kosten Kpzität 7 Johnnes Singler:
17 5 1 Kostenminimler Fluss Beispiel Residulgrph, keine Zyklen mit negtiven Gesmtkosten mehr -7 7 b -4 4 d 2-6 c -2 2 e Kostenminimler Fluss gefunden! Fluss Kosten Kpzität 7 Johnnes Singler:
18 Kostenminimle Flüsse: Demo CATBox 8 Johnnes Singler:
19 Integrlitätsgrntie Für Mximlen Fluss und Kostenminimlen Fluss gilt: Sind die Kpzitäten (und ggf. die Angebote/Nchfrgen) gnzzhlig, so gibt es einen gnzzhligen Mximlen/Kostenminimlen Fluss, und die Flüsse uf den einzelnen Knten sind ebenflls gnzzhlig. Es knn ntürlich zusätzlich uch nichtgnzzhlige Flüsse geben. Die Algorithmen ergeben gnzzhlige Flüsse, uf Grund von Augmentierung/Push, die von gnzzhliger Residulkpzität beschränkt wird. Wird für viele Anwendungen benötigt (siehe uch Übungsbltt). 9 Johnnes Singler:
20 Wiederholung Mtchings Folien 184, 240 der Vorlesung: Crdinlity bzw. Weighted Anwendung Grphkontrktion in ungerichteten Grphen Reduziere Anzhl Knoten um konstnten Fktor mittels Kontrktion von Mximl (nicht Mximum) Mtching logrithmische Anzhl Phsen hierrchische Grphprtitionierung Boruvk-Algorithmus für Minimle Spnnbäume Ausgngsgrph h f c b i e g d 10 Johnnes Singler:
21 Wiederholung Mtchings Folien 184, 240 der Vorlesung: Crdinlity bzw. Weighted Anwendung Grphkontrktion in ungerichteten Grphen Reduziere Anzhl Knoten um konstnten Fktor mittels Kontrktion von Mximl (nicht Mximum) Mtching logrithmische Anzhl Phsen hierrchische Grphprtitionierung Boruvk-Algorithmus für Minimle Spnnbäume Mtching (eventuell gewichtet) h f c b i e g d 10 Johnnes Singler:
22 Wiederholung Mtchings Folien 184, 240 der Vorlesung: Crdinlity bzw. Weighted Anwendung Grphkontrktion in ungerichteten Grphen Reduziere Anzhl Knoten um konstnten Fktor mittels Kontrktion von Mximl (nicht Mximum) Mtching logrithmische Anzhl Phsen hierrchische Grphprtitionierung Boruvk-Algorithmus für Minimle Spnnbäume Kntenkontrktion h b cf di eg 10 Johnnes Singler:
23 Wiederholung Rndomisierte Algorithmen 1 Ls Vegs: richtig, ber mnchml lngsm 2 Monte Crlo: (immer gleich) schnell, ber mnchml flsch 3 Monte-Crlo-Simultion: zufllsverteilte numerischer Abweichung von korrekter Lösung unserer Meinung nch etws nderes ls ein Monte-Crlo-Algorithmus 11 Johnnes Singler:
24 Wiederholung Cuckoo Hshing Folie 251 der Vorlesung O(1) Zugriff uch im schlechtesten Fll erwrtete Lufzeit wird voll uf insert bgeschoben 12 Johnnes Singler:
25 Cuckoo Hshing Beispiel neu einfügen 13 Johnnes Singler:
26 Cuckoo Hshing Beispiel 13 Johnnes Singler:
27 Cuckoo Hshing Beispiel neu einfügen b 13 Johnnes Singler:
28 Cuckoo Hshing Beispiel b 13 Johnnes Singler:
29 Cuckoo Hshing Beispiel neu einfügen c b 13 Johnnes Singler:
30 Cuckoo Hshing Beispiel c b 13 Johnnes Singler:
31 Cuckoo Hshing Beispiel neu einfügen d c b 13 Johnnes Singler:
32 Cuckoo Hshing Beispiel c b d 13 Johnnes Singler:
33 Cuckoo Hshing Beispiel neu einfügen e c b d 13 Johnnes Singler:
34 Cuckoo Hshing Beispiel c b e d 13 Johnnes Singler:
35 Cuckoo Hshing Beispiel d b e c 13 Johnnes Singler:
36 Cuckoo Hshing Beispiel d b e c 13 Johnnes Singler:
37 Cuckoo Hshing Beispiel d b e c 13 Johnnes Singler:
38 Cuckoo Hshing Beispiel neu einfügen f d b e c 13 Johnnes Singler:
39 Cuckoo Hshing Beispiel d f e c b 13 Johnnes Singler:
40 Cuckoo Hshing Beispiel d b f e c 13 Johnnes Singler:
41 Cuckoo Hshing Beispiel d b f e c 13 Johnnes Singler:
42 Cuckoo Hshing Beispiel d b f e c 13 Johnnes Singler:
43 Cuckoo Hshing Beispiel neu einfügen g d b f e c 13 Johnnes Singler:
44 Cuckoo Hshing Beispiel d b f g c e 13 Johnnes Singler:
45 Cuckoo Hshing Beispiel d e f g c b 13 Johnnes Singler:
46 Cuckoo Hshing Beispiel d e b g c f 13 Johnnes Singler:
47 Cuckoo Hshing Beispiel d e b g f c 13 Johnnes Singler:
48 Cuckoo Hshing Beispiel c e b g f d 13 Johnnes Singler:
49 Cuckoo Hshing Beispiel c e b d f g 13 Johnnes Singler:
50 Cuckoo Hshing Beispiel 5 Knoten, 6 Knten Konflikt c e b d f g 13 Johnnes Singler:
51 Perfektes Hshing Wie groß ist eine Hshfunktion? bisher intuitiv: konstnte bzw. logrithmische Größe, z. B. Linerkombintion mit zwei Koeffizienten: h(x) := (x + b) mod p für perfekte Hshfunktion: Ω(n) Pltz Tbellen, Offsets, usw., keine einfche geschlossene mthemtischer Formel mehr Anwendung: Schlüsselwörter von Sprchen für Compiler, usw. Softwre-Pkete zur (Offline-)Berechnung existieren: gperf, Johnnes Singler:
52 Perfektes Hshing konkret: Zweistufige Hshtbelle 1 Wähle h zufällig. Berechne h(x) für lle x S. 2 Flls i B i 2 4n, wiederhole 1. 3 Konstruiere die Mengen B i. 4 Für lle B i () Wähle h i zufällig. (b) Flls h i uf B i nicht injektiv, wiederhole (). Copyright Christoph Scheideler Mn knn zeigen: erwrtet linere Lufzeit linerer Pltz für lles zusmmen (Tbelle und Funktion) (Hshfunktionen sind Linerkombintionen) geht noch deutlich pltzeffizienter dynmisch noch komplizierter 15 Johnnes Singler:
Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 2 FS 16
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérle de Zurich Politecnico federle di Zurigo Federl Institute of Technology t Zurich Institut für Theoretische Informtik 9. März 2016
Grundlagen zu Datenstrukturen und Algorithmen Schmitt, Schömer SS 2001
Grundlgen zu Dtenstrukturen und Algorithmen Schmitt, Schömer SS 001 http://www.mpi-sb.mpg.de/~sschmitt/info5-ss01 U N S A R I V E R S A V I E I T A S N I S S Lösungsvorschläge für ds 4. Übungsbltt Letzte
11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Multiplikative Inverse
Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll
Effiziente Algorithmen und Komplexitätstheorie
Effiziente Algorithmen und Komplexitätstheorie Vorlesung Ingo Wegener Vertretung Thoms Jnsen 10042006 1 Ws letzten Donnerstg geschh Linere Optimierung Wiederholung der Grundbegriffe und Aussgen M konvex
fa x = VZW fa bei x x Extremstelle von fa 1 Stelle 3 x + 2a 3 x 2a VZW PA Wert
Die Veröffentlichung dieser Lösung geschieht ohne inhltliche Prüfung durch die Bezirksregierung Düsseldorf und den Mthe-Treff. Die Lösung stmmt nicht vom Originlutor der Aufgbe, sondern von einem Leser
2.6 Reduktion endlicher Automaten
Endliche Automten Jörg Roth 153 2.6 Reduktion endlicher Automten Motivtion: Wir sind n Automten interessiert, die mit möglichst wenigen Zuständen uskommen. Automten, die eine Sprche mit einem Minimum n
Quadratische Gleichungen und Funktionen
Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter
Lösungen zum Ergänzungsblatt 4
en zum Ergänzungsltt 4 Letzte Änderung: 23. Novemer 2018 Theoretische Informtik I WS 2018 Crlos Cmino Vorereitungsufgen Vorereitungsufge 1 Sei M = ({p, q, r}, {, }, δ, p, {q, r}) ein DEA mit folgender
Grundlagen der Theoretischen Informatik
Grundlgen der Theoretischen Informtik 3. Endliche Automten (II) 28.04.2016 Vioric Sofronie-Stokkermns e-mil: [email protected] 1 Übersicht 1. Motivtion 2. Terminologie 3. Endliche Automten und reguläre
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 9
D-MAVT/D-MATL Anlysis I HS 26 Dr. Andres Steiger Lösung - Serie 9. MC-Aufgben (Online-Abgbe). Es sei f die Funktion f() = e + 7. Welche der folgenden Funktionen sind Stmmfunktionen von f? () g() = 2 2
Aufgabe 1 mit Lösung. Stelle x x + 2a x 2a VZW EPArt Wert
Aufgbe mit Lösung 4 ( 8 ) ( 4 8 ) f x = x x x + x= f x Achsensymmetrie + =. 4 lim x x + : Fll = c+ d 0! < 0 + x ±... Extrempunkte = = =. NB: f ( x) ( 4x 6 x) x( x ) x( x ) x MESt ( f ) { ;0;}. HB: 0 =
Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,
Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu
Differenzial- und Integralrechnung III
Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in
Algorithmen und Datenstrukturen (Th. Ottmann und P. Widmayer) Folien: Editierdistanz Autor: Sven Schuierer
Algorithmen und Dtenstrukturen (Th. Ottmnn und P. Widmyer) Folien: Editierdistnz Autor: Sven Schuierer Institut für Informtik Georges-Köhler-Allee Albert-Ludwigs-Universität Freiburg 1 Editier-Distnz Gegeben:
Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Bden-Württemberg: Abitur 014 Whlteil A www.mthe-ufgben.com Huptprüfung Abiturprüfung 014 (ohne CAS) Bden-Württemberg Whlteil Anlysis Hilfsmittel: GTR und Formelsmmlung llgemeinbildende Gymnsien Alexnder
12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Kapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unbestimmte Integrl (Stmmfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre
Grundlagen der Algebra
PH Bern, Vorbereitungskurs MATHEMATIK Vorkenntnisse 0 Grundlgen der Algebr Einleitung Auf den nchfolgenden Seiten werden grundlegende Begriffe und Ttschen der Algebr erläutert: Zhlenmengen, Rechenopertionen,
6. Quadratische Gleichungen
6. Qudrtische Gleichungen 6. Vorbemerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Opertionen. Sie heben sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel
Minimierung von DFAs. Minimierung 21 / 98
Minimierung von DFAs Minimierung 21 / 98 Ein Beispiel: Die reguläre Sprche L({, } ) Wie stellt mn fest, o ein Wort ds Suffix esitzt? Ein erster Anstz: Speichere im ktuellen Zustnd die eiden zuletzt gelesenen
12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* aller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt:
8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1.
Zu Aufgabe 1: Widerlegen Sie die folgenden falschen Behauptungen durch Angabe eines möglichst einfachen Gegenbeispiels:
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Übungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 1 Musterlösung zu Bltt 1 vom 5. Juli
Algorithmen II Vorlesung am
Algorithmen II Vorlesung m 29.11.2012 Algorithmishe Geometrie: Shnitte von Streken Sweep-Line INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Lndes Bden-Württemberg und
Die Begrenzung der Beschleunigung und ihre Folgen Die Herleitung der relativistischen Kraftgesetze
Rolnd Meissner Bodestrße 7, D-06122 Hlle, E-Mil: [email protected] Die Begrenzung der Beschleunigung und ihre Folgen Die Herleitung der reltivistischen Krftgesetze Abstrct The reltivistic term of Force
Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke
Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.
2010 A I Lösung. a IR. 1.1 Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a die Anzahl, Lage und Vielfachheiten der Nullstellen von f P 4. so, dass der Punkt.
00 A I Lösung.0 Gegeben sind die reellen Funktionen f : x x x x mit ID f IR.. Ermitteln Sie in Abhängigkeit von die Anzhl, Lge und Vielfchheiten der Nullstellen von f. IR und ( BE) f x x x x 0 x 0; x ;
Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 2 FS 12
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérle de Zurich Politecnico federle di Zurigo Federl Institute of Technology t Zurich Institut für Theoretische Informtik 29 Ferur 2012
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c
Versuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!
Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben
Vorkurs Theoretische Informatik
Vorkurs Theoretische Informtik Einführung in reguläre Sprchen Areitskreis Theoretische Informtik Freitg, 05.10.2018 Fchgruppe Informtik Üersicht 1. Chomsky-Hierchie 2. Automten NEA DEA 3. Grmmtik und Automten
Suche in Texten: Suffix-Bäume
Suhe in Texten: Suffix-Bäume Prof. Dr. S. Alers Prof. Dr. Th. Ottmnn 1 Suhe in Texten Vershiedene Szenrios: Dynmishe Texte Texteditoren Symolmnipultoren Sttishe Texte Literturdtennken Biliothekssysteme
a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x
Bltt 1: Hilfe zur Umformung von Gleichungen mit vielen Vriblen Im Mthemtikunterricht hben Sie gelernt, wie mn Gleichungen mit einer Vriblen umformt, um diese Vrible uszurechnen. Meistens hieß sie. In Physik
6. Quadratische Gleichungen
6. Qudrtische Gleichungen 6.1 Voremerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Oertionen. Sie heen sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel
Mathematik Rechenfertigkeiten
2 Mthemtik Rechenfertigkeiten Skript Freitg Dominik Tsndy, Mthemtik Institut, Universität Zürich Winterthurerstrsse 9, 857 Zürich Irmgrd Bühler (Überrbeitung: Dominik Tsndy) 9.August 2 Inhltsverzeichnis
Vorkurs Mathematik für Ingenieure WS 2016/2017 Übung 3. (a) Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck: b h
Prof. Dr. J. Pnnek Dynmics in Logistics Vorkurs Mthemtik für Ingenieure WS 206/207 Übung 3 Aufgbe : Trigonometrie () Berechnen Sie die fehlenden Strecken und Winkel im folgenden rechtwinkligen Dreieck:
1 Differenzen- und Differentialquotient 2. 2 Differentiationsregeln 5. 3 Ableitung spezieller Funktionen 6. 4 Unbestimmtes und bestimmtes Integral 7
Universität Bsel Wirtschftswissenschftliches Zentrum Abteilung Quntittive Methoden Mthemtischer Vorkurs Dr. Thoms Zehrt Differentil- und Integrlrechnung Inhltsverzeichnis 1 Differenzen- und Differentilquotient
15. Kürzeste Wege. SS 2017 DuA - Kapitel 15 1
5. Kürzeste Wege t s SS DuA - Kpitel 5 Gewichtete Grphen Ein gewichteter Grph G ist ein Pr (V,E) zusmmen mit einer Gewichtsfunktion w, woei E V V un w: E IR. Für e E heißt w(e) s Gewicht von e. Für einen
1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie
Gliederun 1. Motivtion / Grundlen 2. Sortierverfhren 3. Elementre Dtenstrukturen / Anwendunen 4. Bäume / Grphen 5. Hshin 6. Alorithmische Geometrie 3/1, Folie 1 2010 Prof. Steffen Lne - HD/FbI - Dtenstrukturen
1 Folgen. 1. Februar 2016 ID 03/455. a) Folgende Folge ist gegeben: a n+1 = 7a n 12a n 1, a 0 = 1, a 1 = 0 (1) Charakteristisches Polynom:
Tutorium Ynnick Schrör Lösung zur Bonusklusur vom WS 1/13 [email protected] 1. Februr 016 ID 03/455 1 Folgen ) Folgende Folge ist gegeben: n+1 7 n 1 n 1, 0 1, 1 0 (1) Chrkteristisches Polynom: q 7q
Teil 1: Rechenregeln aus der Mittelstufe. Allgemeine Termumformungen
Teil 1: Rechenregeln us der Mittelstufe Allgemeine Termumformungen Kommuttivgesetz: Bei reinen Produkten oder Summen ist die Reihenfolge egl x y z = z y x = x z y =.. x+y+z = z+y+x = x+z+y =.. Ausklmmern:
Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.
Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten
von f im Punkt P ( 2 4) x x x Hilfsmittelfreier Teil. Beispielaufgabe 1 zur Analysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung
Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x + x x. Die zeigt den Grphen der Funktion f. () Berechnen ie lle Nullstellen der Funktion f. ()
Minimalität des Myhill-Nerode Automaten
inimlität des yhill-nerode Automten Wir wollen zeigen, dss der im Beweis zum yhill-nerode Stz konstruierte DEA für die reguläre Sprche L immer der DEA mit den wenigsten Zuständen für L ist. Sei 0 der konstruierte
Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION
Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt
Lineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof Dr H Brenner Osnbrück WS 2015/2016 Linere Algebr und nlytische Geometrie I Vorlesung 4 In der lineren Algebr wird stets ein Körper K zugrunde gelegt, wobei mn dbei grundsätzlich n die reellen Zhlen
Integrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration
Integrieren Regeln (f() + g())d = f()d + g()d c f()d = c f()d b f()d = f()d b Einige Integrle die mn uswendig kennen sollte s d = s + s+ + C (für s ) d = ln + C cos d = sin + C sin d = cos + C sinh d =
Einführung in die Integralrechnung
Einführung in die Integrlrechnung Vorbereitung für ds Probestudium n der LMU München 3. bis 7. September von W. Frks und O. Forster Integrle ls Flächeninhlte. Motivtion Flächeninhlte von Rechtecken sind
2 Trigonometrische Formeln
Mthemtische Probleme, SS 015 Donnerstg 7.5 $Id: trig.tex,v 1.11 015/05/19 17:1:13 hk Exp $ $Id: convex.tex,v 1.17 015/05/18 11:15:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.3 Spezielle Werte der trigonometrischen
Kapitel 13. Taylorentwicklung Motivation
Kpitel 13 Tylorentwicklung 13.1 Motivtion Sei D R offen. Sie erinnern sich: Eine in D stetig differenzierbre Funktion f : D R wird durch die linere Funktion g(x) = f() + f ()(x ) in einer Umgebung von
FORMALE SYSTEME. 6. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 27. Oktober Markus Krötzsch
FORMALE SYSTEME 6. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch TU Dresden, 27. Oktober 2016 Rückblick Mrkus Krötzsch, 27. Oktober 2016 Formle Systeme Folie 2 von 29 Wiederholung: Opertionen uf Automten
Übungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Lineren Algebr Lösungen Wintersemester 9/ Universität Heidelberg Mthemtisches Institut Lösungen Bltt Dr. D. Vogel Michel Mier Aufgbe 44. b 4 b b 4 ( )b Fll : = ( )b 4 b ( ) b ( ) ( )(b ) b
Teil 1: Rechenregeln aus der Mittelstufe in Physik (1.6.18)
Teil 1: Rechenregeln us der Mittelstufe in Physik (1.6.18) Es gibt einige Dinge, die beim Rechnen in Physik immer wieder ml gebrucht werden. Mnches dvon geht oft schief, weil die Rechenregeln flsch ngewendet
ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS 2018
ÜBUNGEN ZUR VORLESUNG ZAHLENTHEORIE, SS 2018 KARLHEINZ GRÖCHENIG So wie Sort Trining erfordert, erfordert Mthemtik ds selbständige Lösen von Übungsufgben. Ds wesentliche n den Übungen ist ds Selbermchen!
kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k
Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1
7-1 Elementare Zahlentheorie. 1 a ist quadratischer Rest modulo p, 1 falls gilt a ist quadratischer Nichtrest modulo p, 0 p a. mod p, so ist.
7-1 Elementre Zhlentheorie 7 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz 70 Erinnerung Sei eine ungerde Primzhl, sei Z In 114 wurde ds Legendre-Symbol eingeführt: 1 ist udrtischer Rest modulo, 1 flls gilt ist udrtischer
Funktionen. Kapitel 6. Reelle Funktion. Graph einer Funktion. Beispiel. Beispiel. Zeichnen eines Graphen. Bijektivität
Reelle Funktion Kpitel 6 Funktionen Reelle Funktionen sind Abbildungen, in denen sowohl die Definitionsmenge ls uch die Wertemenge Teilmengen von R üblicherweise Intervlle) sind. Bei reellen Funktionen
Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien
5 Ds Pumping Lemm Schufchprinzip (Folie 144) Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Im Block Ds Schufchprinzip für endliche Automten steht m n (sttt m > n), weil die Länge eines Pfdes die Anzhl
Integralrechnung. Fakultät Grundlagen
Integrlrechnung Fkultät Grundlgen März 2016 Fkultät Grundlgen Integrlrechnung Bestimmtes Integrl I n Teilintervlle: x 0 = < x 1 < x 2
Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen
Differentilgleichungen Gewöhnliche Differentilgleichungen ( n) + + +... ++ Eplizite Form: (Gleichung lässt sich nch höchster Ableitung uflösen Implizite Form: + 0 Lösung: Durch eine Funktion Lösungsweg:
Mitschrift Repetitorium Theoretische Informatik und Logik
Mitschrift Repetitorium Theoretische Informtik und Logik Teil 1: Formle Sprchen, 15.01.2010, 1. Edit Allgemeine Hinweise für die Prüfung Ds Pumping-Lemm für kontextfreie Sprchen kommt nicht (sehr wohl
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mthemtik für Informtiker I (Wintersemester 00/00) Aufgbenbltt (. Oktober 00)
KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion
KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Aufgbenstellungen Aufgbe.. Wir untersuchen den Flächeninhlt unter der lineren Funktion f(t) = t + im Intervll [; x]. Kurz: F (x) = x f(t) dt Erkläre elementr, insbesondere
Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion
Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen
vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimalautomat: minimaler vollständiger DFA
Ws isher geschh NFA A = (X, Q, δ, I, F ) vollständig (Vervollständigung) deterministisch, DFA (Potenzmengenkonstruktion) Minimlutomt: minimler vollständiger DFA Für jede Sprche L X sind die folgenden Aussgen
FORMALE SYSTEME. 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke. TU Dresden, 2. November Markus Krötzsch
FORMALE SYSTEME 7. Vorlesung: Reguläre Ausdrücke Mrkus Krötzsch TU Dresden, 2. November 2017 Rndll Munroe, https://xkcd.com/851_mke_it_better/, CC-BY-NC 2.5 Mrkus Krötzsch, 2. November 2017 Formle Systeme
2 2 Reguläre Sprachen. 2.6 Minimale DFAs und der Satz von Myhill-Nerode. Übersicht
Formle Systeme, Automten, Prozesse Übersicht 2 2.1 Reguläre Ausdrücke 2.2 Endliche Automten 2.3 Nichtdeterministische endliche Automten 2.4 Die Potenzmengenkonstruktion 2.5 NFAs mit ɛ-übergängen 2.7 Berechnung
Thema 6. Ranglisten. von Matthias Glöckner
Them 6 Rnglisten von Mtthis Glöckner Inhltsverzeichnis Einleitung Ds linere Verfhren Definition der Punktezhl Die Präferenzmtrix Perron-Frobenius Theorem Bewertung nch dem Spielergebnis und Verzerrungsfunktion