Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen

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1 Flüsse, Schnitte, bipartite Graphen Thomas Fersch Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 1

2 Übersicht Maximale Flüsse in Netzwerken Worum geht s? Lösung nach Ford-Fulkerson Max-Flow Min-Cut Theorem Laufzeitverhalten Reduktionen Anwendungen Maximales bipartites Matching Konnektivität von Graphen Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 2

3 Maximale Flüsse in Netzwerken Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 3

4 Netzwerke (1) Ein Netzwerk ist ein gerichteter, positiv kantengewichteter Graph mit zwei ausgezeichneten Knoten: Quelle s und Senke t Material soll von der Quelle zur Senke transportiert werden Potenziell unendliche Produktion an der Quelle und unendlicher Konsum an der Senke Kantengewichte stehen für Kapazitäten Beschränkung der Menge an Material, die über die Kante befördert werden bzw. fließen kann Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 4

5 Netzwerke (2) Beispiel: Realität: Wasser- und Stromleitungen, Warentransport vom Lager zum Kunden, Nerds auf dem Weg zur Mensa, Allgemein: Irgendein Material soll über festgelegte Wege mit festgelegten Kapazitäten transportiert werden Modellierung als Netzwerk bedenken Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 5

6 Flüsse (1) Ein Fluss ist eine Funktion, die jeder Kante eines Netzwerks einen Wert zuordnet, so dass gilt: Kanten: 0 Flusswert Kapazität ( Beschränkung durch Kapazitäten) Knoten \ {s, t}: eingehende Flüsse = ausgehende Flüsse ( Flusserhaltung) Der Betrag eines Flusses durch ein Netzwerk entspricht der tatsächlichen Produktion an der Quelle bzw. dem tatsächlichen Konsum an der Senke Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 6

7 Flüsse (2) Beispiel: Der Betrag dieses Flusses ist 9 Ein maximaler Fluss in einem Netzwerk ist ein Fluss mit maximalem Betrag Interessant zum Beispiel für Produktionsplanungen eines Unternehmens, aber auch viele weitere Anwendungen (später!) Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 7

8 Residualgraph (1) Wie kann ein Fluss verändert werden? Lokale Situation: Der zu einem Fluss gehörige Residualgraph enthält die maximal möglichen lokalen Flussveränderungen als gerichtete Kanten Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 8

9 Residualgraph (2) Unser Beispielgraph: Residualgraph: Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 9

10 Erweiternde Pfade Ein Pfad von s nach t im Residualgraphen heißt erweiternder Pfad Über einen erweiternden Pfad kann der Betrag des Flusses um das minimale Gewicht aller auf dem Pfad liegenden Kanten erhöht werden Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 10

11 Beispiel Flusserweiterung 1. Schritt 2. Schritt Kein erweiternder Pfad übrig! Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 11

12 Ford-Fulkerson-Methode Einfache Idee zur Bestimmung eines maximalen Flusses in einem Netzwerk: Initialisiere alle Flusswerte auf 0 Erweitere den Fluss über einen beliebigen erweiternden Pfad des Residualgraphen, solange es einen solchen Pfad gibt Fertig! Liefert diese Methode immer einen maximalen Fluss? Dazu muss man noch einen weiteren Begriff kennen Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 12

13 Schnitte (1) Ein Schnitt eines Netzwerks ist eine Partition der Knoten des Netzwerks in zwei Teilmengen S und T, so dass s S und t T Die Kapazität eines Schnittes ist die Summe aller Kapazitäten der Kanten, die von Knoten in S zu Knoten in T führen Der einen Schnitt überquerende Fluss ist die Summe der Flüsse der Kanten, die von Knoten in S zu Knoten in T führen, abzüglich der Summe der Flüsse der Kanten, die von Knoten in T zu Knoten in S führen Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 13

14 Schnitte (2) Beispiel: Kapazität ist 35, überquerender Fluss 9 Ein minimaler Schnitt eines Netzwerks ist ein Schnitt mit minimaler Kapazität Entfernen der von S nach T führenden Kanten trennt s von t mit minimal möglichen Kosten Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 14

15 Schnitte (3) Wichtige Eigenschaften von Schnitten: Der einen beliebigen Schnitt eines Netzwerks überquerende Fluss ist gleich dem Betrag des Flusses durch das Netzwerk Folgerung: der Betrag jedes Flusses durch ein Netzwerk ist durch die Kapazität jedes Schnittes des Netzwerks von oben beschränkt Insbesondere ist also der Betrag des maximalen Flusses durch die Kapazität des minimalen Schnittes von oben beschränkt Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 15

16 Max-Flow Min-Cut Theorem Ist f ein Fluss in einem Netzwerk N, dann sind folgende Aussagen äquivalent: f ist ein maximaler Fluss in N Der zu f und N gehörige Residualgraph enthält keine erweiternden Pfade Es gibt einen Schnitt von N mit Kapazität f Unmittelbare Folgerung: f ist auch die Kapazität des minimalen Schnittes von N (max-flow = min-cut) Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 16

17 Beweis (1) Ist ein Fluss maximal, dann gibt es keinen erweiternden Pfad im zugehörigen Residualgraphen Gäbe es einen erweiternden Pfad, dann könnte der Fluss über diesen erhöht werden Es wäre also kein maximaler Fluss Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 17

18 Beweis (2) Gibt es keinen erweiternden Pfad im Residualgraphen, dann gibt es einen Schnitt des Netzwerks, dessen Kapazität voll ausgeschöpft ist (d.h. Kapazität = f ) Bilde den Schnitt, bei dem S alle Knoten enthält, die von s aus im Residualgraphen erreichbar sind (inkl. s), und T alle restlichen Knoten (inkl. t) Die Kapazität dieses Schnittes muss voll ausgeschöpft sein, sonst gäbe es im Residualgraphen eine Kante von S nach T Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 18

19 Beweis (3) Gibt es in einem Netzwerk einen Schnitt, dessen Kapazität voll ausgeschöpft ist, dann ist der Fluss maximal Der Betrag des maximalen Flusses ist durch die Kapazität jedes Schnittes des Netzwerks von oben beschränkt Ist der Betrag eines Flusses also gleich der Kapazität eines Schnittes, dann muss der Betrag des Flusses maximal sein Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 19

20 Minimalen Schnitt finden Ist der maximale Fluss in einem Netzwerk gefunden, dann lässt sich der minimale Schnitt leicht bestimmen: Suche alle im Residualgraphen von s aus erreichbaren Knoten; diese bilden S, alle anderen Knoten T Die Kapazität dieses Schnittes ist voll ausgeschöpft; daher muss es sich um einen minimalen Schnitt handeln vgl. Beweisschritt Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 20

21 Laufzeitverhalten Abhängig von einem noch nicht spezifizierten Punkt: Wie findet man erweiternde Pfade? Gesamtlaufzeit ist das Produkt zweier Komponenten: Laufzeit für das Finden eines erweiternden Pfades Anzahl der zu findenden erweiternden Pfade, bis der maximale Fluss erreicht ist Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 21

22 Worst-Case Wird z.b. Tiefensuche verwendet, kann die Laufzeit im schlechtesten Fall O( f max E ) betragen Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 22

23 Edmonds-Karp-Strategie Es wird immer der von der Kantenanzahl her kürzeste erweiternde Pfad gewählt Breitensuche Effizient und einfach zu implementieren Laufzeit im schlechtesten Fall: O( V E ²) Beweis s. Cormen Implementierung s. Wiki Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 23

24 Reduktionen (1) Ungerichtete Kanten Produktion/Konsum beschränken Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 24

25 Reduktionen (2) Knotenkapazitäten Mehrere Quellen/Senken Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 25

26 Maximales bipartites Matching Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 26

27 Bipartite Graphen Ein ungerichteter Graph heißt bipartit, wenn es eine Partition der Knoten in zwei Teilmengen gibt, so dass keine Kante zwei Knoten derselben Teilmenge verbindet: Offensichtliche Beispiele: Arbeitskräfte und zu erledigende Aufgaben, Tanzpaarbildung Weniger offensichtlich: Schachbrett Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 27

28 Maximales Matching Ein Matching in einem bipartiten Graphen ist eine Auswahl der Kanten, so dass jeder Knoten zu höchstens einer ausgewählten Kante inzident ist Ein maximales Matching ist ein Matching mit maximaler Kantenanzahl: Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 28

29 Modellierung als Netzwerk (1) Führe Quelle und Senke ein Verbinde Quelle durch gerichtete Kanten mit jedem Knoten der ersten Teilmenge Verbinde jeden Knoten der zweiten Teilmenge durch eine gerichtete Kante mit der Senke Ersetze die ungerichteten Kanten zwischen den beiden Teilmengen durch gerichtete Kanten von der ersten zur zweiten Teilmenge Weise jeder Kante die Kapazität 1 zu Der maximale Fluss von der Quelle zur Senke entspricht dann dem maximalen bipartiten Matching Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 29

30 Modellierung als Netzwerk (2) Netzwerk: Maximaler Fluss: Ursprüngliche Kanten mit Fluss 1 bilden das maximale Matching; Laufzeit O( V E ) Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 30

31 Beispielaufgabe (1) Gegeben: Eine Liste von Transportaufträgen, bestehend aus Startort/Abfahrtszeit und Zielort/Ankunftszeit Transporter können an beliebigen Orten starten und beliebig viele Aufträge übernehmen, falls sie jeweils früh genug am jeweiligen Startort sind Transporter dürfen ihren Aufenthaltsort nur durch Übernahme eines Auftrags wechseln Gesucht: Minimal benötigte Anzahl an Transportern um alle Aufträge zu erfüllen Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 31

32 Beispielaufgabe (2) Minimierungsproblem Maximierungsproblem Anzahl Transporter = Anzahl Aufträge ist auf jeden Fall eine gültige Lösung Immer wenn ein Transporter zwei Aufträge hintereinander ausführt verringert sich die Lösung um 1 Es gilt also, die Anzahl der Paare von Aufträgen, die direkt aufeinander folgend vom gleichen Transporter ausgeführt werden, zu maximieren Jeder Auftrag darf in beide Richtungen (vorher und nachher) nur jeweils einmal gematched werden Einführung eines Abfahrts- und eines Ankunftsknotens für jeden Auftrag! Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 32

33 Beispielaufgabe (3) Abfahrten Nürnberg, Uhr München, Uhr Frankfurt, Uhr München, Uhr Ankünfte München, Uhr Frankfurt, Uhr München, Uhr Stuttgart, Uhr Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 33

34 Beispielaufgabe (4) Abfahrten Nürnberg, Uhr München, Uhr Frankfurt, Uhr München, Uhr Ankünfte München, Uhr Frankfurt, Uhr München, Uhr Stuttgart, Uhr Für jede Möglichkeit zwei Aufträge hintereinander auszuführen wird eine Kante eingefügt Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 34

35 Beispielaufgabe (5) Abfahrten Nürnberg, Uhr München, Uhr Frankfurt, Uhr München, Uhr Ankünfte München, Uhr Frankfurt, Uhr München, Uhr Stuttgart, Uhr Maximales bipartites Matching liefert maximale Anzahl von Transportern, die man sich sparen kann Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 35

36 Konnektivität von Graphen Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 36

37 Problemspezifikation (1) Gegeben: Ein ungerichteter Graph, optional zwei Knoten s und t des Graphen Gesucht: Minimale Anzahl an Kanten oder Knoten, deren Entfernung den Graphen in mindestens zwei zusammenhängende Komponenten teilen würde ( allgemeine Konnektivität) bzw. s von t trennen würde ( (s-t)-konnektivität) Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 37

38 Problemspezifikation (2) 4 zu unterscheidende Probleme: (s-t)-kantenkonnektivität Allgemeine Kantenkonnektivität (s-t)-knotenkonnektivität Allgemeine Knotenkonnektivität Wichtige Anwendung: Netzwerkstabilität Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 38

39 Spezialfall Brücken und Artikulationspunkte Allgemeine Kantenkonnektivität = 1 Brücken Allgemeine Knotenkonnektivität = 1 Artikulationspunkte Brücken und Artikulationspunkte lassen sich effizienter mit nur einer Tiefensuche finden Hier geht es um den allgemeinen Fall, wie viele Kanten bzw. Knoten entfernt werden müssen Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 39

40 (s-t)-kantenkonnektivität Interpretiere den Graphen als Netzwerk mit s als Quelle und t als Senke Weise jeder Kante die Kapazität 1 zu ( ungerichtete Kanten!) Finde den maximalen Fluss von s nach t (Betrag = Kapazität des minimalen Schnittes) Die Kapazität des minimalen Schnittes gibt das minimale Gesamtgewicht der Kanten an, die entfernt werden müssen um s von t zu trennen Da alle Kapazitäten 1 sind entspricht dieser Wert direkt der Anzahl der zu entfernenden Kanten Laufzeit O( E ²) Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 40

41 Allgemeine Kantenkonnektivität Reduzierung auf (s-t)-kantenkonnektivität: Wähle Knoten v beliebig Das Problem besteht dann darin, v durch Entfernen minimal vieler Kanten von mindestens einem anderen Knoten zu trennen Für alle Knoten v v bestimme (v-v )-Kantenkonnektivität Das Minimum der gefundenen Werte entspricht der allgemeinen Kantenkonnektivität Laufzeit O( V E ²) Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 41

42 (s-t)-knotenkonnektivität Nur definiert, falls es keine direkte Verbindung zwischen s und t gibt Ansonsten ist eine Trennung nicht möglich Ähnlich zu lösen wie Kantenkonnektivität: Weise zusätzlich jedem Knoten Kapazität 1 zu ( ungerichteter Graph mit Knotenkapazitäten!) Der maximale Fluss von s nach t liefert die Anzahl der zu entfernenden Knoten Laufzeit O( V E ) Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 42

43 Allgemeine Knotenkonnektivität Zwei beliebige Knoten müssen voneinander getrennt werden Berechne für alle Paare (v 1, v 2 ) von nicht direkt verbundenen Knoten (v 1 -v 2 )-Knotenkonnektivität Falls es kein solches Paar gibt, dann ist ein Zerfallen des Graphen durch Entfernen von Knoten nicht möglich Ansonsten entspricht das Minimum der berechneten Werte der allgemeinen Knotenkonnektivität Laufzeit O( V ³ E ) Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 43

44 Disjunkte Pfade (1) (s-t)-kantenkonnektivität = k Es gibt genau k kantendisjunkte Pfade zwischen s und t Allgemeine Kantenkonnektivität = k Es gibt zwischen allen Paaren von Knoten mindestens k kantendisjunkte Pfade; der Graph heißt k-fach kantenzusammenhängend Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 44

45 Disjunkte Pfade (2) (s-t)-knotenkonnektivität = k Es gibt genau k knotendisjunkte Pfade zwischen s und t Allgemeine Knotenkonnektivität = k Es gibt zwischen allen Paaren von Knoten mindestens k knotendisjunkte Pfade; der Graph heißt k-fach knotenzusammenhängend Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 45

46 Anwendung (Cormen): Escape-Problem (1) Gegeben: n n-grid und m Startpunkte Gibt es m knotendisjunkte Pfade, die alle Startpunkte mit m verschiedenen Randpunkten verbinden? Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 46

47 Anwendung (Cormen): Escape-Problem (2) Lösung: Führe Quelle s ein und verbinde diese mit allen Startpunkten Führe Senke t ein und verbinde diese mit allen Randpunkten Das Escape-Problem ist genau dann lösbar, wenn (s-t)-knotenkonnektivität = m Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 47

48 Zusammenfassung Maximale Flüsse in Netzwerken lassen sich durch Ford-Fulkerson-Methode finden Laufzeit bei Verwendung von Breitensuche O( V E ²) Max-Flow = Min-Cut Durch einfache Reduktionen lassen sich komplexere Situationen auf Standardnetzwerke abbilden Matching- und Konnektivitätsprobleme können mit Hilfe von Flussnetzwerken gelöst werden Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 48

49 Quellen Introduction to Algorithms (Cormen, Leiserson, Rivest, Stein) The Algorithm Design Manual (Skiena) Flüsse, Schnitte und bipartite Abbildungen in Hallo Welt! 2006 (Adrian Merkel) Flüsse, Schnitte und bipartite Abbildungen in Hallo Welt! 2005 (Tarek Besold) Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 49

50 Fragen? Seminar "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene 50