Effiziente Algorithmen Übung 2 Lösungen

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1 TU Ilmenau, Fakultät für Informatik und Automatisierung FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen Univ.-Prof. Dr. M. Dietzfelbinger, M. Sc. Stefan Walzer Effiziente Algorithmen Übung Lösungen Aufgabe (Meisterschaftsproblem in der Fußballbundesliga)* Gegeben sei die Tabelle der Fußballbundesliga zu einem bestimmten Zeitpunkt, sowie die Liste der noch zu spielenden Partien. Das Meisterschaftsproblem besteht darin, zu entscheiden, ob eine Mannschaft noch Meister werden kann. Nach dem 35. Spieltag der Fußballbundesligasaison /9 ist die Tabelle wie unten dargestellt. Rang Verein Punkte 1. Frankfurt 41. Stuttgart Dortmund Leverkusen Nürnberg Kaiserslautern 34 An den letzten drei Spieltagen spielen diese Vereine wie folgt gegeneinander: Frankfurt : Leverkusen, Stuttgart : Dortmund, Nürnberg : Kaiserslautern Leverkusen : Nürnberg, Dortmund : Frankfurt, Kaiserslautern : Stuttgart Nürnberg : Dortmund, Frankfurt : Kaiserslautern, Stuttgart : Leverkusen Als Nürnberg-Fan freut sich Max, da Nürnberg mit 4 Punkten mit viel Glück Meister werden kann. (a) Kann Nürnberg wirklich noch Meister werden? Begründen Sie Ihre Antwort. (b) Modellieren Sie das Meisterschaftsproblem mit der -1-0-Regel als Flussproblem an obigem Beispiel. Welches Kriterium muss betrachtet werden, um zu entscheiden, ob eine Mannschaft den Meistertitel noch gewinnen kann? (c) Seit der Saison 1995/96 spielt man in der Bundesliga nach der Regel. Welche Probleme ergeben sich, wenn man das Meisterschaftsproblem mit dieser Punkteregel mithilfe von Flussnetzwerken lösen möchte? (Bitte nur kurz erläutern.) Lösung: (a) Nein. Das kann man so einsehen: Es verbleiben 4 Spiele, die innerhalb der Mannschaften Frankfurt, Stuttgart, Dortmund und Leverkusen ausgefochten werden. Diese Mannschaften werden aus diesen Spielen also in der Summe 8 Punkte erhalten zwei pro Spiel. Zusammen haben die vier Mannschaften dann mindestens > 4 4 Punkte, daher hat eine Mannschaft mindestens 43 Punkte. Nürnberg kann allerdings maximal noch 4 Punkte erreichen (6 Punkte durch drei Siege). 1 In dieser Saison gab es 38 Spieltage und es kam zur Anwendung der -1-0-Punkteregel, d.h. der Gewinner erhält Punkte, der Verlierer keinen Punkt und bei einem Unentschieden erhalten beide Mannschaften je einen Punkt.

2 Effiziente Algorithmen Übung (b) Wir modellieren das Problem in dieser Lösung in etwas größerer Allgemeinheit, als in der Aufgabenstellung gefordert. Zunächst ist klar, dass es nicht von Nachteil ist, wenn Nürnberg alle eigenen Spiele gewinnt. Daraus ergibt sich der Endstand p N von Nürnberg (hier: p = 4). Wir fragen uns nun, ob es einen Ausgang der übrigen Spiele gibt, sodass keine Mannschaft p Punkte übertrifft. Direkte Modellierung als Gleichungssystem. Sei M die Menge aller Mannschaften außer Nürnberg und G die Menge aller Spiele in denen Nürnberg nicht spielt. Ein Spiel soll hier formal als Menge der zwei teilnehmenden Mannschaften erfasst sein, z.b. {Frankfurt, Leverkusen} G. Folgende Größen sind für uns von Interesse: P m1,m N 0 für jedes {m 1, m } G, die Anzahl der Punkte, die Mannschaft m 1 im Spiel gegen Mannschaft m erhällt. P m N 0 für m M, die Anzahl Punkte, die Mannschaft m insgesamt aus den Spielen in G erhält. Aus der Aufgabenstellung ergibt sich sofort, dass die Variablen folgende Konsistenzbedingungen erfüllen: Es werden zwei Punkte pro Spiel ausgeschüttet = P m1,m + P m,m 1 {m 1, m } G. (1) Punkte einer Mannschaft ergeben sich als Summe der Punkte aus ihren Spielen P m,m = P m m M. () {m,m } G Eine konsistente Belegung aller Variablen (P m ) m M und (P m,m ) {m,m } G heiße Ausgang. Auffassung eines Ausgangs als spezieller Fluss. Wir betrachten Flüsse in folgendem Flussnetzwerk F = (V, E, q, s, c) (vergleiche unten stehende Abbildung): V = {q} G M {s} E = {(q, g) g G} {(g, m) g G, m g} {(m, s) m M}, also Kanten von der Quelle zu jedem Spiel, von jedem Spiel zu den beteiligten Mannschaften sowie von jeder Mannschaft zur Senke. Die Kapazität jeder Kante (q, g) {(q, g) g G} ist c(q, g) =. Übrige Kanten haben zunächst unbegrenzte Kapazität. Ein Ausgang (P m ) m M, (P m,m ) {m,m } G ist folgendermaßen mit einem Fluss f in F identifiziert: f(q, g) =, f({m, m }, m) ˆ=P m,m, f(m, s) ˆ=P m ( ) Wir sollten uns klar machen, dass f tatsächlich ein Fluss ist: Die Kapazität jeder Kante (q, g) ist respektiert, die Kirchhoff-Bedingung an einem Knoten g G V folgt aus Konsistenzbedingung (1) und die Kirchhoff- Bedingung an einem Knoten m M V folgt aus Konsistenzbedingung (). Umgekehrt entspricht jeder Fluss in F, der jeder Kante (q, g) den Flusswert zuordnet, einem gültigen Ausgang der Spiele. Die Konsistenzbedingungen (1) und () folgen hierbei aus der Kirchhoff-Bedingung. Beachte: Solche Flüsse haben nach Konstruktion den Wert G und sind maximal, denn jede der G ausgehenden Kanten der Quelle haben Flusswert und sind gesättigt. oder eine Kapazität die groß genug ist, z.b. G

3 Effiziente Algorithmen Übung 3 Übertragung der Randbedingungen und Interpretation des maximalen Flusses. Nürnberg kann genau dann noch Meister werden, wenn es einen Ausgang gibt, in dem keine Mannschaft mehr als p Punkte erreicht. Für jede Mannschaft m M ergibt sich so (in Kombination mit den bisher erreichten Punkten) eine Grenze b(m) für die Anzahl der Punkte, die m in den Spielen G insgesamt noch erreichen darf. Wir fragen also nach einem Ausgang mit P m b(m) m M. Um zu entscheiden, ob so ein Ausgang möglich ist, bestimmen wir den maximalen Fluss f im Flussnetzwerk F das im Unterschied zu F eine Kapazitätsbeschränkung c(m, s) = b(m) an jeder Kante b(m) hat. Fall 1: w(f) = G. In diesem Fall gilt f(q, g) = für alle g G, also entspricht f mittels ( ) einem Ausgang. Für diesen Ausgang gilt zusätzlich P m ˆ=f(m, s) c(m, s) = b(m). In diesem Fall könnte Nürnberg also Meister werden (ein entsprechender Ausgang kann an f abgelesen werden). Fall : w(f) < G. In diesem Fall gibt es keinen Ausgang, sodass Nürnberg Meister wird. Ein solcher Ausgang entspräche nämlich mittels ( ) einem Fluss f in F von Wert G. Wegen f(m, s) ˆ=P m b(m) = c(m, s) ist f aber auch ein Fluss in F. Das ist ein Widerspruch zur Maximalität von f. Im vorliegenden Beispiel tritt der zweite Fall ein. Das Flussnetzwerk F ist unten dargestellt, die Mannschaftsnamen sind in naheliegender Weise abgekürzt. {F,L} {S,D} {D,F} {K,S} {F,K} {S,L} F S D L K 1 8 Abbildung 1: Das Flussnetzwerk F im vorliegenden Fall. (c) Es ist nicht von vorneherein klar wie viele Punkte pro Spiel verteilt werden, die Modellierung als Flussnetzwerk schlägt fehl, da die entsprechend modifizierte Konsistenzbedingung (1) nun nicht mehr der Kirchhoff- Bedingung in Flussnetzwerken entspricht. Tatsächlich ist das Meisterschaftsproblem mit der Punkte Regel NP-vollständig. Es ist also unwahrscheinlich, dass ein entsprechender Polynomialzeitalgorithmus existiert. Aufgabe 3 (Wichtige Kanten in Flussnetzwerken)* Wir nennen eine Kante eines Flussnetzwerkes aufwärtskritisch, falls die Erhöhung ihrer Kapazität den maximalen Flusswert erhöht. Eine Kante heißt abwärtskritisch, falls die Verringerung ihrer Kapazität den maximalen Flusswert verringert. Lösen Sie die folgenden Teilaufgaben: (a) Geben Sie die Menge aller aufwärtskritischen Kanten im unten stehenden FNW an.

4 Effiziente Algorithmen Übung 4 q 1 v v 3 v s 3 v v 5 7 (b) Gibt es in jedem FNW mindestens eine aufwärtskritische Kante? (c) Geben Sie einen Algorithmus an, der für ein gegebenes Flussnetzwerk die Menge aller aufwärtskritischen Kanten bestimmt. Beweisen Sie dessen Korrektheit und analysieren Sie dessen Laufzeit. Ihr Ansatz sollte eine bessere Laufzeit besitzen als E -faches Ausführen eines Flussalgorithmus. (d) Sind alle aufwärtskritischen Kanten auch abwärtskritisch? (e) Sind alle abwärtskritischen Kanten aufwärtskritisch? Hinweis: Für die Beantwortung dieser Frage ist die Betrachtung minimaler Schnitte im FNW nützlich. Zur algorithmischen Beantwortung der Frage ist es sinnvoll, den Beweisschritt (ii) (iii) des MaxFlow-MinCut- Theorems (und dessen Implikationen für die algorithmische Konstruktion eines minimalen Schnitts) zu verstehen. Lösung: (a) Die einzige aufwärtskritische Kante im FNW ist (v, v 5 ). (b) Dies ist nicht der Fall, hier ist ein Gegenbeispiel: q v 1 s (c) Wir werden uns den Algorithmus in mehreren Stufen überlegen, bevor wir ihn am Schluss formulieren. Wir fixieren zu Beginn eine beliebige Kante e aus dem FNW G. Sei f ein maximaler Fluss in G. Aus dem MaxFlow-MinCut-Theorem wissen wir, dass f genau dann maximal ist, wenn das Restnetzwerk G f keinen flussvergrößernden Weg besitzt. Sei G das Flussnetzwerk, das aus G entsteht, wenn die Kapazität von e um (z.b.) 1 erhöht wird. Die Erhöhung der Kapazität einer Kante e = (u, v) von G entspricht der Vergrößerung ihrer Restkapazität rest f (e) in G f. Die Restkapazität rest f (v, u) bleibt davon unberührt. Die Kantenmengen von G f und G f können sich also maximal in einer Kante unterscheiden: Falls e in G gesättigt war, so ist in G f die Restkapazität > 0 und damit existiert die Kante im RNW G f, jedoch nicht in G f. Die Kante e ist nun nach Aufgabenstellung genau dann aufwärtskritisch, wenn f nicht maximal in G ist. Dem MaxFlow-MinCut-Theorem folgend ist dies äquivalent zu der Aussage, dass in G f ein flussvergrößernder Weg existiert. Nur das Vorhandensein der Kante e in G f kann zu diesem fvw führen. Der Test, ob e = (u, v) aufwärtskritisch ist, kann also wie folgt aussehen: Prüfe, ob u in G f von q aus erreichbar ist. Falls dies der Fall ist, so prüfe im nächsten Schritt, ob s von v aus in G f erreichbar ist. Ist beides eingetroffen, so schlussfolgert man aus den vorherigen Überlegungen, dass die Erhöhung der Kantenkapazität von e zum Auftreten eines flussvergrößernden Weges führt, und damit ist e genau in diesem Fall aufwärtskritisch.

5 Effiziente Algorithmen Übung 5 Da e beliebig gewählt war, kann dieser Test nun für jede Kante von G ausgeführt werden. Diese Herangehensweise hat zur Folge, dass man für jede Kante (u, v) zwei Erreichbarkeitsfragen lösen muss. (Ist u in G f von q aus erreichbar? Ist s in G f von v aus erreichbar?) Wenn man diese Fragen mit einfachen Erreichbarkeitstests (z.b. Tiefensuche oder Breitensuche) beantwortet, so ist die Laufzeit O(m) pro Kante, und damit insgesamt O(m ). (Zusätzlich muss man natürlich mit einem Flussalgorithmus einen maximalen Fluss f bestimmen.) Mit folgendem Vorgehen geht es noch etwas schneller: Sei Q die Menge aller von q aus erreichbaren Knoten in G f. Sei S = V \ Q. (Dies entspricht genau dem Schnitt (Q, S), den wir im Beweis der Richtung (ii) (iii) des MaxFlow-MinCut-Theorems definiert haben!) Sei S S die Menge aller Knoten v, so dass es in G f einen einfachen v s Weg gibt. (Trick hierbei: Man bildet den Umkehrgraphen von G f (Kantenorientierung umkehren!) und startet einmal Breitensuche von s aus. Die dabei gefundene Knotenmenge ist genau S.) Die Menge E = {(u, v) E u Q, v S } ist dann die Menge aufwärtskritischer Kanten in G. Zusammengefasst hat der Algorithmus auf Eingabe G = (V, E, q, s, c) also folgende Gestalt: 1. Bestimme einen maximalen Fluss f in G.. Bilde Q = {v V v ist in G f von q aus erreichbar}. 3. Bilde S = {v V s ist in G f von v aus erreichbar}. 4. Rückgabe: {(u, v) E u Q, v S }. Schritt 1 hat dabei die Laufzeit des jeweilig genutzten Flussalgorithmus (z.b. O(n m ) für Edmonds-Karp). Die Schritte 4 haben eine Laufzeit von jeweils O(m). Damit ist zusätzlich zur Flussberechnung nur lineare Laufzeit nötig! tl;dr: Sei f ein maximaler Fluss in G. Eine Kante e in G ist genau dann aufwärtskritisch, wenn durch die Erhöhung von c(e) ein fvw in G f entsteht. Das passiert genau dann, wenn e = (u, v) zwei Knoten u und v verbindet, wobei ein Weg von q nach u sowie ein Weg von v von s bereits existiert. So ergibt sich oben angegebener Algorithmus. (d) Wir beweisen nicht nur die Aussage sondern liefern zugleich noch eine interessante Charakterisierung der aufwärts- und abwärtskritischen Kanten. Nach Lemma ist der Wert jedes Flusses beschränkt durch die Kapazität jedes Schnitts und nach dem MaxFlow-MinCut-Theorem gilt Gleichheit für mindestens einen Fluss und einen Schnitt, also: max w(f) = min c(q, S). f ist Fluss (Q,S) ist Schnitt Anstatt zu fragen ob eine Änderung an der Kapazität einer Kante den maximalen Flusswert beeinflusst, können wir also äquivalent fragen, ob sie die minimale Schnitt-Kapazität beeinflusst. Die Kapazität eines Schnitts (Q, S) ist etwas sehr einfaches: Es ist schlicht die Summe der Kapazitäten der Kanten, die den Schnitt überqueren. Aus Gründen der Stetigkeit sind für uns nur minimale Schnitte interessant, also Schnitte (Q, S ) mit c(q, S ) = min (Q,S) c(q, S). Wenn eine Kante e einen solchen minimalen Schnitt (Q, S ) überquert, so führt eine Verringerung von c(e) dazu, dass c(q, S ) kleiner wird, und damit wird (weil (Q, S ) schon minimal ist) auch min (Q,S) c(q, S) kleiner, also ist e abwärtskritisch. Damit e aufwärtskritisch ist, muss dagegen e jeden minimalen Schnitt überqueren, denn min (Q,S) c(q, S) wird nur dann größer, wenn sich die Kapazität jedes minimalen Schnitts erhöht. Damit erhalten wir folgende

6 Effiziente Algorithmen Übung 6 Charakterisierung: e ist abwärtskritisch e überquert einen minimalen Schnitt e ist aufwärtskritisch e überquert jeden minimalen Schnitt Betrachtet man die rechten Seiten, ist nun klar, dass die untere Eigenschaft ( jede ) die obere ( eine ) impliziert. (e) Diese Aussage ist falsch, vgl. mit dem Beispiel aus Aufgabenteil (b).