Algorithmentheorie 1. Vorlesung

Transkript

1 Algorithmentheorie 1. Vorlesung Martin Dietzfelbinger 6. April 2006 FG KTuEA, TU Ilmenau AT

2 Methode, Material Vorlesung Vorlesungsskript (Netz, Copyshop) Folien (im Netz) Vorlesung nachbereiten! Übung Übungsblätter (im Netz) Übung vor- und nachbereiten! FG KTuEA, TU Ilmenau AT

3 Methode, Material Frühere Klausuren (im Netz) Fragenkataloge (im Netz) Sprechstunde: nach der Vorlesung (bis 18:00 Uhr auch im Büro) Vorlesungsbewertung AFS: Im Netz. FG KTuEA, TU Ilmenau AT

4 Bücher U. Schöning, Theoretische Informatik kurzgefasst Hopcroft, Motwani, Ullman, Introduction... (Einführung... ) Hromkovič, Theoretische Informatik, Teubner Asteroth, Baier, Theoretische Informatik mit Beispielen, Pearson Wegener, Theoretische Informatik, Teubner FG KTuEA, TU Ilmenau AT

5 Wichtige Aspekte Mathematische Grundbegriffe für AFS (Wiederholen!) Mathematische Grundbegriffe für AT Definitionen Definitionen! Definitionen!! Zentrale Beziehungen zwischen den Gegenständen: Sätze Sätze! FG KTuEA, TU Ilmenau AT

6 Beispiele, Anwendungen: Übungsaufgaben Konstruktionen, Algorithmen Formale Beweise FG KTuEA, TU Ilmenau AT

7 Teil 1: Berechenbarkeit und Unentscheidbarkeit Ziel: Unentscheidbarkeit semantischer Fragen Maschinenmodelle Simulationen Berechnungsprobleme Formalisierung des Begriffs Algorithmus Unentscheidbarkeit: Nichtexistenz von Algorithmen FG KTuEA, TU Ilmenau AT

8 Übertragung von Unentscheidbarkeit: Reduktionen FG KTuEA, TU Ilmenau AT

9 Teil 2: Theorie der NP-Vollständigkeit FG KTuEA, TU Ilmenau AT

10 Wann heißen Algorithmen effizient? Sortieren von n Objekten in Zeit O(n log n) (Mergesort, Heapsort) Finden eines maximalen Flusses in einem Flussnetzwerk G = (V, E) mit n Knoten in Zeit O(n 5 ) ( Graphentheorie ) Suchen von m Objekten in linearen Listen der Länge n: Zeit O(nm) polynomielle Laufzeit Finden von effizienten Algorithmen: Gegenstand des Gebiets Effiziente Algorithmen. FG KTuEA, TU Ilmenau AT

11 Hamiltonkreis Definition Gegeben: Graph G = (V, E), V = {v 1,..., v n } Ein Hamiltonkreis in G ist ein Kreis, der jeden Knoten von G genau einmal berührt. FG KTuEA, TU Ilmenau AT

12 Hamiltonkreis Definition Gegeben: Graph G = (V, E), V = {v 1,..., v n } Ein Hamiltonkreis in G ist ein Kreis, der jeden Knoten von G genau einmal berührt. FG KTuEA, TU Ilmenau AT

13 Formal:... eine Anordnung v π(1), v π(2),..., v π(n) der Knoten (π Permutation von {1,..., n}) so dass (v π(1), v π(2) ), (v π(2), v π(3) ),..., (v π(n 1), v π(n) ), (v π(n), v π(1) ) alle in E sind. FG KTuEA, TU Ilmenau AT

14 Hamiltonkreisproblem HC Input/Instanz: (Ungerichteter) Graph G = (V, E) mit V = {v 1,..., v n }. Frage: Besitzt G einen Hamiltonkreis? FG KTuEA, TU Ilmenau AT

15 Analog: gerichtete Hamiltonkreise in Digraphen: DHC Input/Instanz: Digraph G = (V, E) mit V = {v 1,..., v n }. Frage: Frage: Besitzt G einen gerichteten Hamiltonkreis? FG KTuEA, TU Ilmenau AT

16 Naheliegender Algorithmus: Teste jede Permutation π, ob π einen Hamiltonkreis beschreibt. Aufwand: n! 2πn(n/e) n Tests. Für n = 50: 50! > Für n = 100: 100! > Aufwand wächst exponentiell in n nicht effizient. Besitzt das Hamiltonkreisproblem einen Polynomialzeit- Algorithmus? FG KTuEA, TU Ilmenau AT

17 Beispiel Cliquenproblem Graph mit (maximal großer) Clique. FG KTuEA, TU Ilmenau AT

18 Definition Ist G = (V, E) ein ungerichteter Graph, so heißt V V eine Clique in G, falls v, w V, v w : (v, w) E. V heißt die Größe der Clique. Ziel: Gegegen G, finde möglichst große Clique. FG KTuEA, TU Ilmenau AT

19 Cliquenproblem Variante 1: Optimierungsproblem im eigentlichen Sinn. Suche nach einer optimalen Struktur. Gegeben: Graph G = (V, E). Aufgabe: Finde eine möglichst große Clique in G. FG KTuEA, TU Ilmenau AT

20 Cliquenproblem Variante 2: Parameteroptimierung Gegeben: Graph G = (V, E). Aufgabe: Bestimme das maximale k N, so dass G eine Clique der Größe k hat. Im Beispiel: 4 FG KTuEA, TU Ilmenau AT

21 Cliquenproblem Variante 3: Entscheidungsproblem Gegeben: Graph G = (V, E) und k N. Frage: Gibt es in G eine Clique der Größe k? Im Beispiel: (G, 3) liefert Antwort ja, (G, 5) liefert Antwort nein. Primitivalgorithmus: Teste alle 2 V Teilmengen V V, ob V Clique ist. Laufzeit: Exponentiell. Besitzt das Cliquenproblem einen Polynomialzeit- Algorithmus? FG KTuEA, TU Ilmenau AT

22 Ziel des 2. Teils Identifiziere Klasse von Entscheidungsproblemen, NPC (NP-vollständig) zu der das Hamiltonkreisproblem und das Cliquenproblem gehören, und die ungefähr gleich schwierig sind. Sammle Indizien dafür, dass diese Probleme keine Polynomialzeitalgorithmen haben. FG KTuEA, TU Ilmenau AT

23 Skript Seiten 3 14 Bis nächste Woche AFS-Skript Seiten (b-äre und b-adische Zahldarstellung) Übungsaufgaben drucken und vorbereiten FG KTuEA, TU Ilmenau AT