Traveling Salesman Problem (TSP)

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1 Traveling Salesman Problem (TSP) Das Traveling Salesman Problem (TSP) ist ein bekanntes Optimierungsproblem. Ein Handlungsreisender soll in einer Rundreise (auch Tour genannt) n vorgegebene Städte besuchen. Er startet dazu in einer dieser Städte, besucht nacheinander die restlichen Städte und kehrt zur Ausgangsstadt zurück. Das Optimierungsproblem lautet: Finde die Tour(en) mit minimaler Gesamtlänge. Genauer: In einem gewichteten, vollständigen Graphen sucht man einen kürzesten geschlossenen Weg, der jeden Knoten genau einmal durchläuft. Die Entfernungen zwischen allen Städten sind durch eine Adjazenzmatrix gegeben. Welche Aussage kann man treffen, wenn der Graph vollständig ist? Beispiel: 4 Städte A, B, C, D ergeben 6 Touren (eigentlich sind es nur 3. Warum?) Um die kürzeste Tour sicher zu finden, müssen wir alle Touren ermitteln. Seite 3 /3. Sep. 200

2 Stufe 0 Traveling Salesman für n = 4 Start in Stadt Knoten n - = n -2 = n- 3 = Es gibt (n-)! Blätter und Wege zu den Blättern Es gibt (n-)! Rundreisen Wenn wir in einer der n Städte starten, haben wir n- Möglichkeiten für die zweite Stadt, n-2 Möglichkeiten für die dritte Stadt usw. Insgesamt gilt: S(n) = (n-) x (n-2) x (n-3) x... x 3 x 2 x = (n-)!. Da die Kosten der Tour nicht von der Richtung abhängen, gilt S(n) = (n-)!/2. Für jede dieser Touren berechnen wir die Gesamtlänge und daraus die kürzeste Tour. Die Zahl aller möglichen Rundreisen wächst mit der Städtezahl n sehr schnell. Wenn wir annehmen, dass die Ermittlung einer Tour eine Nanosekunde (0-9 sec) benötigt, so beträgt die Laufzeit für n = 20 Städte schon ca. 2 Jahre. Seite 4 /3. Sep. 200

3 Städte mögliche Rundreisen Laufzeit 3 nsec nsec nsec sec sec sec ca 2 Jahre Jahre Aufgabe: Berechne die Laufzeiten für n = 2, 22 Städte. Rekursive Variante Wir nehmen wir an, wir kennen die Anzahl aller Touren durch n Städte. Für die n-te Stadt fügen wir in eine (n )-Städte-Tour einen Abstecher zur n-ten Stadt ein. Dafür gibt es n Möglichkeiten, nämlich sämtliche Teilstrecken von einer Stadt zur nächsten. Also ist die Anzahl der n-städte-touren gleich (n ) mal der Anzahl der (n )-Städte-Touren. (Bei diesem Konstruktionsverfahren kann eine Tour nicht auf zwei verschiedene Weisen entstehen, also gibt es auch keine Doppelzählungen.) S(n) = (n-) * S(n-) Für drei Städte gibt es genau eine Tour. Ein Weg durch alle Städte und derselbe Weg in Gegenrichtung gelten als eine Tour. Das genannte Konstruktionsverfahren stellt sicher, dass aus jedem Paar entgegengesetzt durchlaufener Touren stets nur genau eine in der Liste vertreten ist. Für vier Städte gibt es drei Rundreisen, für fünf Städte 3*4 = 2, allgemein für n Städte 3*4* *(n ) = (n )!/2 Touren. S n = { n S n n 3 für n=3 Seite 5 /3. Sep. 200

4 Tour durch 5 Städte Die kürzeste Tour hat die Länge... Seite 6 /3. Sep. 200

5 Vergleichende Darstellung des Wachstumsverhaltens (mit gnuplot) gnuplot> set xrange[2:0] gnuplot> set yrange [0:200] gnuplot> h(x)=x**2 gnuplot> g(x) = 2**x gnuplot> f(x)= gamma(x-) plot f(x), g(x), h(x) Das Prüfen aller Möglichkeiten heißt erschöpfendes Suchen. Es gilt folgende Formel: n! 2 pi n n e n Stirlingsche Formel für n >> Dies bedeutet, dass die Zahl der Touren stärker als exponentiell wächst, da die Basis nicht konstant bleibt. Das Wachstumsverhalten ist noch schlimmer als das von a n. Beispiele Angenommen, ein Rechner bearbeitet den TSP-Algorithmus für n = 5 in 3 sec. Wie weit kommt er in einem Tag? Lösung: Ergebnis Algorithmen mit polynomialer Laufzeit sind in akzeptabler Zeit durchführbar. Algorithmen mit exponentieller oder faktorieller Laufzeit sind theoretisch durchführbar, für praktische Zwecke ungeeignet. Für das TSP-Problem gilt: S n O n! faktorielles Wachstum Ob es für das TSP effizientere Algorithmen gibt, ist nicht geklärt! Praktische Bedeutung des TSP Design von Mikrochips Optimales Bohren von Löchern bei Platinen Design von Glasfasernetzwerken mit möglichst kurzen, effektiven Verbindungen Effektives "Routen" von Versorgungshelikoptern für Ölbohrplattformen Seite 7 /3. Sep. 200