Optimierungsprobleme. B. Langfeld, M. Ritter, B. Wilhelm Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis

Transkript

1 Optimierungsprobleme Instanz eines Optimierungsproblems zulässiger Bereich (meist implizit definiert) Zielfunktion Optimierungsrichtung opt {max, min} Optimierungsproblem Menge von Instanzen meist implizit definiert

2 Optimierungsprobleme Beispiel (Kürzeste Wege) Input: Digraph G = (V, E) Kantengewichte l : E R 0 zwei Knoten s, t V Definition Weg Aufgabe: Finde einen bzgl. l kürzesten s-t-weg in G oder stelle fest, dass es keinen solchen Weg gibt. Ausgabe: ein kürzester s-t-weg Länge eines kürzesten s-t-wegs Es gibt keinen s-t-weg in G.

3 Optimierungs- und Entscheidungsprobleme optimale Lösung function problem optimaler Zielfunktionswert evaluation problem Lösung mit Mindestwert L? zulässige Lösung? recognition problem feasibility problem Ja/Nein Antwort Ja oder Nein Entscheidungsproblem

4 Algorithmen Algorithmus gewünschte Ausgabe (Lösung) endliche Laufzeit, endliche Ressourcen Laufzeit Anzahl elementarer Operationen Funktion der Codierungslänge abhängig von Instanz meist worst case-abschätzung

5 Codierungslänge Darstellung im Rechner Binärcodierung Codierungslänge = benötigte Bitanzahl Beispiel (ganze Zahl) Zahl η Z Vorzeichen + Binärdarstellung Codierungslänge size(η) = 1 + log( η + 1) Größenordnung O ( log( η ) )

6 Codierungslänge Darstellung im Rechner Codierungslänge Binärcodierung benötigte Bitanzahl Beispiel (LP) LP max c T x, Ax b mit c Z n, A Z m n Richtung + Zahl n + Zahl m + (n + m + mn) Zahlen Codierungslänge 1 + size(n) + size(m) + (n + m + mn) size ( max { c i, b j, a ij } ) Größenordnung O ( mn )

7 Polynomiell vs. exponentiell Was ist eine gute Laufzeit? (Operation = Nanosekunde) n 100n log(n) 10n 2 n log(n) 2 n 10 3 µs 1 µs 2 µs 1 µs 20 9 µs 4 µs 420 µs 1 ms µs 25 µs 4 s 13 d µs 100 µs 5 h a µs 2.5 ms a a ms 10 ms a a s 3 h a a Erdalter: 4, a Alter Universum: 13, a Atome im Universum: 10 78

8 Die Klasse P Definition (Polynomieller Algorithmus) Entscheidungsproblem Π mit Algorithmus A A heißt polynomiell, wenn es ein Polynom p gibt, so dass für jede Instanz I gilt: Polynomialität ist transitiv! Laufzeit ( A(I) ) p ( size(i) ) Definition (Klasse P) P = {Problem Π : polynomieller Algorithmus für Π}

9 Polynomielle Reduktionen Definition (Orakel) Entscheidungsproblem Π Funktion ω heißt Orakel für Π, wenn: I Instanz von Π ω(i) Lösung es gibt Polynom p, so dass für alle Instanzen I gilt: size ( ω(i) ) p ( size(i) ) Definition (Polynomielle Reduktion) Entscheidungsprobleme Π 1 und Π 2, Orakel ω 2 für Π 2 Π 1 heißt polynomiell reduzierbar auf Π 2 (Π 1 p Π 2 ), wenn Algorithmus für Π 1 existiert mit: polynomiell viele elementare Operationen vorkommende Zahlen polynomiell beschränkt polynomiell viele Aufrufe von ω 2

10 Polynomielle Reduktion Beispiel (Reduktion Clique auf Stable Set) Input: Graph G = (V, E), K N Frage: Gibt es Clique mit K Knoten?

11 Polynomielle Äquivalenz Satz Π 1 ist polynomiell reduzierbar auf Π 2 (Π 1 p Π 2 ) bedeutet: Π 2 P Π 1 P Π 1 ist nicht schwerer als Π 2 Ist außerdem Π 2 p Π 1 Π 1 und Π 2 sind gleich schwer Definition Entscheidungsprobleme Π 1 und Π 2 heißen polynomiell äquivalent, wenn Π 1 p Π 2 und Π 2 p Π 1.

12 Zertifikate Definition I Instanz eines Entscheidungsproblems Z Sequenz rationaler Zahlen size(z) polynomiell beschränkt in size(i) Z heißt Zertifikat für I Sinn: Zertifikat beweist Richtigkeit der Antwort (Ja/Nein) häufig: polynomielle Codierung einer Lösung

13 Zertifikate Beispiel (Stable Set) Input: Graph G = (V, E), K N Frage: Gibt es stabile Menge mit K Knoten? Zertifikat: stabile Menge S mit S K

14 Die Klasse N P Definition (N P-Problem) Entscheidungsproblem Π heißt N P-Problem, wenn es einen Algorithmus A mit folgenden Eigenschaften gibt: Input für A: Instanz I von Π und Zertifikat Z für I Laufzeit von A polynomiell in size(i) für jede Instanz I I NEIN-Instanz I JA-Instanz A(I, Z) = NEIN für jedes Zertifikat Zertifikat Z mit A(I, Z) = JA Definition (Klasse N P) N P := {Π : Π ist N P-Problem}

15 Die Klasse co-n P Definition (co-n P-Problem) Entscheidungsproblem Π heißt co-n P-Problem, wenn es einen Algorithmus A mit folgenden Eigenschaften gibt: Input für A: Instanz I von Π und Zertifikat Z für I Laufzeit von A polynomiell in size(i) für jede Instanz I I JA-Instanz I NEIN-Instanz A(I, Z) = JA für jedes Zertifikat Zertifikat Z mit A(I, Z) = NEIN Definition (Klasse co-n P) co-n P := {Π : Π ist co-n P-Problem}

16 N P-Vollständigkeit Definition (N P-schwer, N P-vollständig) Entscheidungsproblem Π heißt N P-schwer: jedes Problem aus N P polynomiell auf Π reduzierbar N P-vollständig: Π N P Π ist N P-schwer (analog für co-n P)

17 Einige N P-vollständige Probleme Satisfiability und 3-Sat Knapsack und Partition Stable Set und Clique Hamilton-Kreis und Hamilton-Pfad 3D-Matching