KESS - Die Komplexität evolutionär stabiler Strategien

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1 KESS - Die Komplexität evolutionär stabiler Strategien Andreas Lochbihler Universität Karlsruhe (TH) K. Etessami, A. Lochbihler: The computational complexity of evolutionarily stable strategies. Int. J. of Game Theory (008) 7:9 Andreas Lochbihler KESS /

2 Überblick Evolutionär stabile Strategien Komplexitätstheorie Untere Komplexitätsschranken Obere Komplexitätsschranken 5 Inapproximierbarkeit 6 Zusammenfassung Andreas Lochbihler KESS /

3 Evolutionär stabile Strategien Evolutionär stabile Strategie Evolutionär stabile Strategie x (ESS): symmetrisches Normalform-Spiel für Spieler mit Auszahlungsmatrix A (A = A, A = A ) symmetrisches Nash-Gleichgewicht (x, x ): Stabilität: Für alle y x gilt: x Ax y Ax für alle Strategien y y Ax = x Ax y Ay < x Ay Regularität: Träger von x enthält alle reinen besten Antworten auf x supp(x ) {i e i Ax = x Ax } = extsupp(x ) Andreas Lochbihler KESS /

4 Evolutionär stabile Strategien Beispiel zu ESS: Stein-Schere-Papier A Stein Schere Papier Stein 0 Schere 0 Papier 0 Ein symmetrisches Nash-Gleichgewicht (x, x ): x = (,, ) Nicht evolutionär stabil: Für y = (, 0, 0) : y Ay = 0 = x Ay Andreas Lochbihler KESS /

5 Evolutionär stabile Strategien Beispiel zu ESS: Stein-Schere-Papier A Stein Schere Papier Stein Schere Papier Ein symmetrisches Nash-Gleichgewicht (x, x ): x = (,, ) Evolutionär stabil: x einziges Maximum von y Ay = (y + y + y ) über y =, y 0 Regulär: Träger supp(x ) = {,, } enthält alle besten Antworten Andreas Lochbihler KESS /

6 Evolutionär stabile Strategien Beispiel zu ESS: Stein-Schere-Papier A Stein Schere Papier Stein Schere Papier - Symmetrisches Nash-Gleichgewicht (x, x ): x = (, 0, 0) Evolutionär stabil: Beste Antwort y = (t, 0, t) auf x : y Ay x Ay = (t ) < 0 für t Nicht regulär: extsupp(x ) = {, }, supp(x ) = {} Andreas Lochbihler KESS /

7 Komplexitätstheorie Komplexitätsfragen zu ESSn Wie aufwändig ist es im schlechtesten Fall, auf die Existenz einer (regulären) ESS zu testen?... eine Strategie als (reguläre) ESS zu verifizieren?... eine (reguläre) ESS zu berechnen? Abschätzungen nach oben und unten! Andreas Lochbihler KESS /

8 Komplexitätsklassen Komplexitätstheorie P Entscheidungsprobleme, die in polynomieller Zeit entschieden können werden LP Lineare Optimierung (Khachiyan) NP Entscheidungsprobleme, für deren Ja -Instanzen a es ein polynomiell langes Zertifikat c gibt, mit dessen Hilfe in polynomieller Zeit überprüft werden kann, ob a wirklich eine Ja -Instanz ist. Sat Ist eine Boolesche Formel (in KNF) erfüllbar? (Zertifikat = erfüllende Belegung) QP Quadratische Optimierung (Vavasis) conp Komplement von NP ( Nein statt Ja ) Unsat Ist eine Boolesche Formel unerfüllbar? Taut Ist eine Boolesche Formel eine Tautologie? (Zertifikat = nicht erfüllende Belegung) Andreas Lochbihler KESS /

9 Reduktion Komplexitätstheorie f : Γ Γ ist eine Reduktion eines Entscheidungsproblems A auf ein Entscheidungsproblem B, wenn f in polynomieller Zeit berechenbar ist, Ja-Instanzen in A auf Ja in B und Nein-Instanzen in A auf Nein in B abgebildet werden. A Γ* A f f f(a) B Γ* B f( A) Hat man einen (polynomiellen) Algorithmus für B, so erhält man mit der Redukion einen (polynomiellen) Algorithmus für A. Ist A ein schweres Problem, dann ist B wohl auch ein schweres Problem. B ist hart bzgl. einer Klasse K von Problemen, falls jedes Problem aus K sich auf B reduzieren lässt. Ist B auch in K, dann ist B K-vollständig. Andreas Lochbihler KESS /

10 Polynomielle Hierarchie Komplexitätstheorie Sat ist NP-hart: Für A NP gibt es eine Reduktion f A mit a A gdw. x.f A (a)(x). x x. (x x) x FF FT TF TT Taut ist conp-hart: Für A conp gibt es eine Reduktion f A mit a A gdw. x.f A (a)(x). x x. (x x) x FF FT TF TT Σ ist die Menge aller Probleme A, die sich in eine Formel der Form x. y.φ(x, y) mit polynomiell großem Φ kodieren lassen. Andreas Lochbihler KESS /

11 Komplexitätstheorie Komplexitäten von Gleichgewichten Spiele mit zwei Spielern P Nash-GG für Nullsummenspiel Symm. Nash-GG für gegebenen extsupp (Reduktion auf LP) PPAD-vollst. Berechnung eines beliebigen Nash-GGs Lemke-Howson-Algorithmus 96 Härte: Chen, Deng 006 NP-vollst. Mehr als ein Nash-GG? (Gilboa, Zemel 989) Ist eine reine Strategie im Träger eines Nash-GG? (G., Z.) Existiert ein pareto-optimales Nash-GG? (Conitzer, Sandholm 00) NP... P conp Dieser Vortrag: Existiert eine ESS? NP-hart, conp-hart, in Σ Ist eine Strategie evolutionär stabil? conp-vollständig Existiert eine reguläre ESS? NP-vollständig Andreas Lochbihler KESS /

12 Komplexitätstheorie Komplexitäten von Gleichgewichten Spiele mit zwei Spielern P Nash-GG für Nullsummenspiel Symm. Nash-GG für gegebenen extsupp (Reduktion auf LP) PPAD-vollst. Berechnung eines beliebigen Nash-GGs Lemke-Howson-Algorithmus 96 Härte: Chen, Deng 006 NP-vollst. Mehr als ein Nash-GG? (Gilboa, Zemel 989) Ist eine reine Strategie im Träger eines Nash-GG? (G., Z.) Existiert ein pareto-optimales Nash-GG? (Conitzer, Sandholm 00) NP... P conp Dieser Vortrag: Existiert eine ESS? NP-hart, conp-hart, in Σ Ist eine Strategie evolutionär stabil? conp-vollständig Existiert eine reguläre ESS? NP-vollständig Andreas Lochbihler KESS /

13 Untere Komplexitätsschranken ESS als Entscheidungsprobleme ESS Eingabe: Auszahlungsmatrix Antwort: Gibt es eine ESS? RegESS Eingabe: Auszahlungsmatrix Antwort: Gibt es eine reguläre ESS? TestESS Eingabe: Auszahlungsmatrix und eine Strategie x Antwort: Ist x evolutionär stabil? TestRegESS Eingabe: Auszahlungsmatrix und eine Strategie x Antwort: Ist x regulär evolutionär stabil? Andreas Lochbihler KESS /

14 NP-Härte Untere Komplexitätsschranken Reduktion von Sat auf ESS und RegESS: Beispielformel: Φ = (v v v ) ( v }{{} ) ( v }{{} v ) }{{} =c =c =c A Φ v v v v v v c c c v 0 - v - 0 v 0 - v - 0 v 0 - v - 0 c c c x evolutionär stabil c, c, c / supp(x), x(v i ) =, x( v i) = 0 oder x(v i ) = 0, x( v i ) = Für solche x sind nicht erfüllte Klauseln beste Antworten. Andreas Lochbihler KESS /

15 NP-Härte Untere Komplexitätsschranken Reduktion von Sat auf ESS und RegESS: Beispielformel: Φ = (v v v ) ( v }{{} ) ( v }{{} v ) }{{} =c =c =c x A Φ v v v v v v c c c v 0-0 v v 0 - v v 0 - v c 0 c 0 c x evolutionär stabil c, c, c / supp(x), x(v i ) =, x( v i) = 0 oder x(v i ) = 0, x( v i ) = Für solche x sind nicht erfüllte Klauseln beste Antworten. Andreas Lochbihler KESS /

16 NP-Härte Untere Komplexitätsschranken Reduktion von Sat auf ESS und RegESS: Beispielformel: Φ = (v v v ) ( v }{{} ) ( v }{{} v ) }{{} =c =c =c x A Φ v v v v v v c c c v 0-0 v v 0 - v - 0 v 0-0 v c 0 c 0 c x evolutionär stabil c, c, c / supp(x), x(v i ) =, x( v i) = 0 oder x(v i ) = 0, x( v i ) = Für solche x sind nicht erfüllte Klauseln beste Antworten. Andreas Lochbihler KESS /

17 Untere Komplexitätsschranken Cliquen in Graphen Graph Menge von Knoten V und Kanten E zwischen Knoten Clique Menge von Knoten C, die alle untereinander durch Kanten verbunden sind. coclique Hat die größte Clique weniger als k Knoten? conp-vollständig 6 5 Adjazenzmatrix A Lemma (Motzkin, Straus 965): Sei d die maximale Cliquengröße. Für alle x 0 mit x = gilt: x Ax d d Andreas Lochbihler KESS /

18 conp-härte Untere Komplexitätsschranken Reduktion von coclique auf ESS und TestESS 6 5 A (G,k) 5 6 a b c a k k k k k k k k k k k k 0 0 b c x evolutionär stabil x(a) = Andreas Lochbihler KESS /

19 conp-härte Untere Komplexitätsschranken Reduktion von coclique auf ESS und TestESS 6 5 k = y A (G,) y = x A (G,) y = y A (G,) 5 6 a b c a b c x evolutionär stabil x(a) = Andreas Lochbihler KESS /

20 conp-härte Untere Komplexitätsschranken Reduktion von coclique auf ESS und TestESS 6 5 k = 5 y A (G,5) y = x A (G,5) y = 5 y A (G,5) 5 6 a b c a b c x evolutionär stabil x(a) = Andreas Lochbihler KESS /

21 Härte-Resultate Untere Komplexitätsschranken NP-hart Φ f A Φ Reduktion von Sat auf ESS und RegESS f ist polynomiell berechenbar Φ nicht erfüllbar: A Φ hat keine ESSn Φ erfüllbar: A Φ hat ESSn Jede erfüllende Belegung entspricht genau einer ESS und umgekehrt. Alle ESS in A Φ sind regulär. conp-hart f A(G,k) (G, k) Reduktion von coclique auf ESS und TestESS f ist polynomiell berechenbar a ist die einzige potentielle ESS a ist evolutionär stabil gdw. die größte Clique in G weniger als k Knoten umfasst Erkennen einer ESS (TestESS) ist bereits conp-hart Andreas Lochbihler KESS /

22 Obere Komplexitätsschranken Komplexität von TestESS und TestRegESS Test auf symmetrisches Nash-GG (x, x ) ist einfach! Stabilität (Haigh 975, Abakuks 980, Bomze 99): Sei M = extsupp(x ) {m 0 } und C R M M geeignet. x ist stabil gdw. f. a. w R M mit w 0 und w i 0 für i M supp(x ) gilt: w Cw > 0 Wenn x regulär ist, d.h. supp(x ) = extsupp(x ): Test, ob C positiv definit (in P) TestRegESS in P Wenn supp(x ) extsupp(x ): Reduktion auf QP x nicht stabil gdw. es ex. w R M mit w ( C)w 0, w 0 und w i 0 für i M supp(x ). Umschreiben von w 0: M viele QP Probleme mit ±w j als weitere Bedingung. Da QP in NP liegt, ist TestESS in conp und also conp-vollständig. Bomze: Iterative Prozedur für diesen Test Andreas Lochbihler KESS /

23 Obere Komplexitätsschranken Trägerkriterium Lemma (Trägerkriterium): Wenn x evolutionär stabil ist und (y, y) ein symmetrisches Nash-GG mit supp(y) extsupp(x ), dann x = y. Beweis durch Widerspruch: Angenommen, y x. Wegen supp(y) extsupp(x ) ist y eine beste Antwort auf x. Da (y, y) Nash-GG, gilt x Ay y Ay. Widerspruch zur Stabilität von x. Folgerung: Für jeden erweiterten Träger gibt es höchstens eine ESS. Dann ist auch ein solches Nash-GG eindeutig. Andreas Lochbihler KESS /

24 Obere Komplexitätsschranken Algorithmen für RegESS und ESS Algorithmus für RegESS und ESS: Eingabe: Auszahlungsmatrix A Rate den erweiterten Träger M des Strategiekandidaten Berechne symmetrisches Nash-GG (x, x) mit extsupp(x) = M (in P) Falls kein solches x existiert, dann gibt es auch keine solche ESS Wende TestRegESS bzw. TestESS auf (A, x) an Komplexität: TestRegESS ist in P, damit RegESS in NP Zertifikat = erweiterter Träger = Träger TestESS ist in conp, damit ESS in Σ Die Ratestrategie ist auch Sat-Löser Bomze 99: Branch-and-Bound-Ansatz für. Andreas Lochbihler KESS /

25 Inapproximierbarkeit A Inapproximierbarkeit f x ist eine Approximation für (reg.) ESS, falls gilt: f ist in polynomieller Zeit berechenbar Falls A eine mind. (reg.) ESS besitzt: d(f (A), x) < ɛ A für eine (reg.) ESS x von A Angenommen, es gäbe so eine Approximation f mit d(y, x) = y x und ɛ A m A, wobei m A = Anzahl der Strategien in A. Dann wäre dies ein P-Algorithmus für Sat: Wende f auf A Φ an, y = f (A Φ ). Wegen m AΦ < n existiert maximal ein x mit y x < m AΦ, so dass x(v i ) = n, x( v i) = 0 oder x(v i ) = 0, x( v i ) = n. Falls es kein solches x gibt, ist Φ unerfüllbar. Φ ist erfüllbar gdw. dieses x eine erfüllende Belegung darstellt. Solch eine Approximation gibt es also nicht (außer P=NP). Andreas Lochbihler KESS /

26 Inapproximierbarkeit Beispiel zur Approximation Φ = (v v v ) ( v ) ( v v ) n =, m AΦ = 9, ɛ AΦ = 9 A Φ v v v v v v c c c v 0 - v - 0 v 0 - v - 0 v 0 - v - 0 c c c Andreas Lochbihler KESS /

27 Inapproximierbarkeit Beispiel zur Approximation Φ = (v v v ) ( v ) ( v v ) n =, m AΦ = 9, ɛ AΦ = 9 f (A Φ ) A Φ v v v v v v c c c 0.5 v v v 0-0. v v v c 0.0 c 0.0 c Andreas Lochbihler KESS /

28 Inapproximierbarkeit Beispiel zur Approximation Φ = (v v v ) ( v ) ( v v ) n =, m AΦ = 9, ɛ AΦ = 9 f (A Φ ) x A Φ v v v v v v c c c 0.5 v v v 0-0. v v v c c c Andreas Lochbihler KESS /

29 Zusammenfassung Folgerungen für reguläre ESS (P NP, NP conp) Reguläre ESS: Test, ob eine Strategie evolutionär stabil und regulär ist: effizient Berechnung einer regulären ESS mit gegebenen Träger: effizient Suche nach Träger ist NP-vollständig: nicht effizient Beliebig genaue Approximation von regulären ESSn: nicht effizient Allgemeine ESS: Test, ob eine Strategie evolutionär stabil ist: nicht effizient Existenz einer ESS ist in Σ -(NP conp): nicht effizient Berechnung einer ESS: nicht effizient Beliebig genaue Approximation von ESSn: nicht effizient Andreas Lochbihler KESS /

30 Zusammenfassung Zusammenfassung Zusammenfassung: Reguläre ESS sind gutartig Allgemeine ESS sind deutlich komplexer Erkennen einer allgemeinen ESS ist wahrscheinlich exponentiell NP-, conp-härtenachweise liefern nur Schranken für die worst-case Komplexität Keine Aussage über die praktische Komplexität Noam Nisan. ECCC 006 A note on the computational hardness of evolutionary stable strategies Vereinfachung und Zusammenfassung der Reduktionen Andreas Lochbihler KESS /