Willkommen zur Vorlesung Komplexitätstheorie

Transkript

1 Willkommen zur Vorlesung Komplexitätstheorie WS 2011/2012 Friedhelm Meyer auf der Heide V7,

2 Themen 1. Turingmaschinen Formalisierung der Begriffe berechenbar, entscheidbar, rekursiv aufzählbar Komplexitätsklassen 2. Eine untere Schranke für 1-Band DTMs 3. Hierarchiesätze 4. Nichtdeterminismus: Eigenschaften nichtdeterministischer Platzkomplexitätsklassen NP- und PSPACE-Vollständigkeit 5. Die polynomielle Hierarchie 6. Randomisierte Komplexitätsklassen 2

3 Nichtdeterministischer Speicherplatz 3

4 Deterministischer versus nichtdeterministischer Platzbedarf, der Satz von Savitch Satz (von Savitch): Sei s: N N sei platzkonstruierbar. Dann gilt: NSPACE(s(n)) DSPACE(s(n)²). Korollar: PSPACE = NPSPACE 4

5 NSPACE(s(n)) ist abgeschlossen gegenüber Komplementbildung Satz (Immerman, Szelepcsenyi, 1988): Sei s(n) platzkonstruierbar. Dann gilt: NSPACE(s(n)) = Co-NSPACE(s(n)). Ein wichtiges Korollar: Aus EBKFS ist CS, die Menge der kontextsensitiven Sprachen, bekannt. Eventuell haben sie dort in Übungsaufgaben gezeigt: Satz: CS = NSPACE(n) Damit ergibt sich: Korollar: CS =Co-CS, d.h.: die kontextsensitiven Sprachen sind gegen Komplementbildung abgeschlossen. 5

6 Thema heute Nichtdeterministische Zeit: Das NP-P-Problem 6

7 Die Klassen P und NP t : N! N sei monoton wachsend. DTIME(t(n)) = { L L kann von einer DTM in Zeit O(t(n)) entschieden werden} NTIME(t(n)) = { L L kann von einer NTM in Zeit O(t(n)) entschieden werden} P = [ k2n DTIME(n k ), NP = [ k2n NTIME(n k ) sind die Klasse aller Sprachen, die von einer DTM/NTM in polynomieller Zeit entschieden werden können. 7

8 Beispielprobleme Wir beschreiben acht Sprachen, die jeweils nach der Existenz von Teilstrukturen von gewichteten Graphen fragen. Wir werden im Verlauf dieses Kapitels erfahren, welche von ihnen einfach sind, d.h. in P liegen. Für die andere werden wir große Evidenz dafür zeigen, dass sie nicht in P sind. Falls NP P gilt, sind die anderen Sprachen nicht in P. 8

9 Beispielprobleme Problem 1: Minimaler Spannbaum: MST = {<G, c>, k in (G, c) existiert ein Spannbaum mit Gewicht k} Problem 2: Maximale Matching MM = {<G, c>, k in (G, c) existiert ein Matching mit Gewicht k} Problem 3: Travelling Salesperson TSP = {<G, c>, k (G, c) enthält einen Hamiltonkreis mit Gewicht k } Problem 4: Hamiltionkreis HC = {<G> G enthält einen Hamiltonkreis} Problem 6: Clique CLIQUE = {<G>, k G enthält eine Clique der Größe k} Problem 7: Independent Set IS = {<G>, k G enthält eine unabhängige Menge der Größe k} Problem 8: Vertex Cover (Knotenüberdeckung) VC = {<G>, k G hat Knotenüberdeckung der Größe k} 9

10 Polynomielle Reduktion Sei A µ 1 *, B µ 2 *. A heißt polynomiell reduzierbar auf B, falls es eine in polynomieller Zeit berechenbare Funktion f : 1 *! 2 * gibt, so dass für alle x 2 1 * gilt: x 2 A, f(x) 2 B. Wir schreiben: A p B A und B heißen polynomiell aquivalent falls A p B und B p A gilt. Wir schreiben: A p B Lemma: A p B und B p C ) A p C A p B und B 2 P ) A 2 P (Transitivität) 10

11 NP Vollständigkeit Def: L heißt NP-vollständig (liegt in NPC), falls gilt: L 2 NP Für jedes A 2 NP gilt A p L Folgerung: Falls NP P, so ist NPC µ NP \ P d.h. dann (und nur dann) sind die NP-vollständigen Probleme nicht in P. NP P NPC 11

12 Beispielprobleme Problem 1: Minimaler Spannbaum: MST = {<G, c>, k in (G, c) existiert ein Spannbaum mit Gewicht k} Problem 2: Maximale Matching MM = {<G, c>, k in (G, c) existiert ein Matching mit Gewicht k} Problem 3: Travelling Salesperson TSP = {<G, c>, k (G, c) enthält einen Hamiltonkreis mit Gewicht k } Problem 4: Hamiltionkreis HC = {<G> G enthält einen Hamiltonkreis} Problem 6: Clique CLIQUE = {<G>, k G enthält eine Clique der Größe k} Problem 7: Independent Set IS = {<G>, k G enthält eine unabhängige Menge der Größe k} Problem 8: Vertex Cover (Knotenüberdeckung) VC = {<G>, k G hat Knotenüberdeckung der Größe k} in P in P NP-vollst. NP-vollst. NP-vollst. NP-vollst. NP-vollst. NP-vollst. 12

13 Das Erfüllbarkeitsproblem (Satisfiability Problem, SAT) 13

14 Boole sche Formeln Eine Boole sche Variable x kann Werte 0 und 1 (falsch und wahr) annehmen. Eine Boole sche Formel ist eine Verknüpfung von Boole schen Variablen durch Boole sche Operatoren, z.b. AND ( ), OR ( ), NOT ( : ). Beispiel: = (:x y) (x :z ) ist eine Boole sche Formel mit Variablen x, y, z. ist erfüllbar, falls es eine Belegung der Variablen mit Werten 0, 1 gibt, die wahr macht. Beispiel: ist erfüllbar, z. b. durch x:=1, y:=1, z:=0. 14

15 Konjunktive Normalform (KNF) Literal: Variable oder negierte Variable: Klausel: Disjunktion ( or ) von Literalen: y i, :y i C = x 1 x m, x i Literale Formel in Konjunktiver Normalform (KNF): Konjunktion ( and ) von Klauseln: = C 1 C l, C i Klauseln SAT := { < > : erfüllbare Formel in KNF } Beispiele: <(:x y) (x :z )> 2 SAT < (:x y) (x :z ) (z :y ) x (:y) > SAT 15

16 Polynomielle Reduktion, Beispiel: IS p SAT Berechne in polynomieller Zeit aus <G>, k eine KNF Formel, so dass gilt: ist genau dann erfüllbar, wenn k Knoten von G unabhängig sind. Wir konstruieren Formel wie zu Eingabe <G>, k folgt: Boole sche Variablen: x v,i, v 2 V, i=1...k x v,i = 1 soll bedeuten: v ist der i-te Knoten der unabhängigen Menge Klauseln: (i) K i = x 1,i x 2,i x n,i, für alle i=1...k (ii) K v,i,j = :x v,i :x v,j, für alle v 2 V, 1 i<j k (iii) K* e,i,j = :x u,i :x v,j, für alle e={u,v} 2 E, 1 i<j k IS = {<G>, k G enthält eine unabhängige Menge der Größe k} Korrektheit: Die Konjunktion über alle K i und alle K v,i,j wird genau von den Belegungen erfüllt, für die für jedes i=1...k mindestens ein x v,i wahr wird, aber für kein v mehrere x v,i wahr werden. Damit werden k Knoten v 1,, v k ausgezeichnet. Die zusätzlichen Klauseln K* e,i,j garantieren, dass diese Knoten v 1,, v k eine unabhängige Menge bilden. Größe von : O(k n+n k 2 +n 2 k 2 )=O(n 2 k 2 ) = O(n 4 ) (Bem: k n) Zeitbedarf: polynomiell in n 16

17 Erfüllbarkeit (Satisfiability) SAT := { < > : erfüllbare Formel in KNF } k-knf Formel: Formel in KNF, in der jede Klausel aus k Literalen besteht. k-sat := { < > : erfüllbare Formel in k-knf } Bem: SAT, k-sat 2 NP für jedes k. Satz: 2-SAT 2 P 17

18 Die Master-Reduktion Satz von Cook-Levin (1971/72): SAT ist NP-vollständig. Zu zeigen: SAT 2 NP (haben wir schon gezeigt) Für jedes L 2 NP gilt: L p SAT 18

19 Die Reduktion I Sei L 2 NP, M=(Q,,,, q 0,F) eine NTM, die L in Zeit t(n) entscheidet, für ein Polynom t. Aufgabe: Beschreibe eine in polynomieller Zeit berechenbare Funktion f, die bei Eingabe w 2 * eine Boole sche Formel berechnet, so, dass gilt: M akzeptiert w, ist erfüllbar Ansatz: Berechne aus Eingabe w, w =n, eine Formel, so dass erfüllende Belegungen für zu akzeptierenden Rechnungen von M gestartet mit w korrespondieren. 19

20 Die Reduktion II Sei T=t(n), o.b.d.a. sei F={q 2 }. Variablen von und ihre Bedeutung. d i,a,t : Nach Schritt t steht in Zelle i der Buchstabe a h i,t : Nach Schritt t steht der Kopf auf Zelle i s q,t : Nach Schritt t ist M in Zustand q V t = {d i,a,t : a 2, 0 i T} [ {h i,t : 0 i T} [ {s q,t : q 2 Q} V = V 1 [ V 2 [ [ V T Beobachtungen: - Jede Rechnung von M gestartet mit w kann durch passende Belegung der Variablen beschrieben werden. - Belegungen der Variablen können auch Unsinn beschreiben. Ziel: Entwerfe KNF, die genau für diejenigen Belegungen der Variablen wahr wird, die eine akzeptierende Rechnung von M gestartet mit w beschreiben. 20

21 Die Reduktion III Ziel: Entwerfe KNF, die genau für diejenigen Belegungen der Variablen wahr wird, die eine akzeptierende Rechnung von M gestartet mit w beschreiben. Teilformeln von : - Config t (V t ) : wird wahr genau für die Belegungen von V t, die eine Konfiguration beschreiben. - Ü(V t, V t+1 ) : wird wahr genau für die Belegungen von V t [ V t+1, die Konfigurationen K und K beschreiben mit K ` K. - A w (V 1 ) : wird genau für die Belegung von V 1 wahr, die q 0 w beschreibt. In EBKFS haben sie diese Teilformeln konstruiert. w 2 L, M akzeptiert w, M gestartet mit w hat akzeptierende Rechnung, Es gibt Belegung für V, die die Formel = A w (V 1 ) Æ (Config(V 2 ) Æ Æ Config(V T ) ) Æ Ü (V 1, V 2 ) Æ Æ Ü (V T-1, V T ) Æ s 2,T wahr macht. Reduktionsfunktion: berechnet zu x obige Formel. hat O(T²) =O(t(n)²) Variablen, und Länge O(T³) = O(t(n)³). ) hat polynomielle Länge. Es ist einfach, in Zeit poly(n) aus w zu berechnen. 21

22 Beispiel: Die Formel Config(V t ) 22

23 NP-Vollständigkeit durch Reduktion Lemma. Sei L NP-vollständig und für L gelte: L 2 NP L p L Dann ist auch L ist NP-vollständig. Haben wir gezeigt; viele andere Reduktionen haben sie in EBKFS gesehen oder können sie nachlesen. Satz: CLIQUE p IS p SAT p 3-SAT p IS. Wegen der Transitivität von p sind sie damit alle polynomiell äquivalent! Da SAT NP-vollständig ist, sind somit alle 5 Probleme NP-vollständig! 23

24 Zwischen P und NPC Satz (Ladner): Gilt P NP, so gibt es Sprachen L NP, die weder in P liegen noch NP-vollständig sind. (Beweis führen wir hier nicht, siehe Lehrbücher oder Skript von J. Blömer) Gilt P NP, so gibt es hier Sprachen NP P NPC 24

25 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Heinz Nixdorf Institut Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität Fürstenallee Paderborn Tel.: / Fax.: / fmadh@hni.upb.de 25