Hamiltonsche Graphen

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1 Hamiltonsche Graphen Definition 3.2. Es sei G = (V, E) ein Graph. Ein Weg, der jeden Knoten von G genau einmal enthält, heißt hamiltonscher Weg. Ein Kreis, der jeden Knoten von G genau einmal enthält, heißt hamiltonscher Kreis. G heißt hamiltonsch gdw. G einen hamiltonschen Kreis enthält. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 72 Beispiel 3.4. Die Bezeichnung hamiltonsch geht auf Sir William Rowan Hamilton ( ) zurück, der 1859 das Spiel around the world erfand. Die Punkte eines Dodekaeders stellten Städte dar. Die Aufgabe des Spiels bestand darin, entlang der Kanten des Dodekaeders eine Rundreise zu unternehmen, bei der man jede Stadt genau einmal besucht. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 73

2 Sir William Rowan Hamilton Around the World Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 74 Charakterisierung von hamiltonschen Graphen Satz 3.4. Es sei G = (V, E) ein Graph mit n := V 3. Gilt: v V : deg(v) n/2, dann ist G hamiltonsch. Beweis. Tafel. Bemerkung 3.2. Das Entscheidungsproblem, ob ein Gaph G hamiltonsch ist (HC), ist N P-vollständig. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 75

3 Crashkurs N P-Vollständigkeit Die Klasse P: Ein Entscheidungsproblem heißt polynomiell lösbar, wenn es einen Algorithmus zur Lösung des Problems gibt, dessen Worst-Case- Laufzeit durch ein Polynom in der Länge der Eingabe beschränkt ist. Die Klasse P ist die Klasse der polynomiell lösbaren Probleme. Beispiel: Ist G zusammenhängend? Hat G einen eulerschen Kreis? Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 76 Die Klasse N P: Die Klasse N P ist die Klasse der Entscheidungsprobleme, für die ein Lösungsvorschlag in polynomieller Rechenzeit überprüft werden kann. Beispiel: Überprüfung, ob eine Knotenfolge eines Graphen einen hamiltonschen Kreis bildet. Beispiel: Überprüfung, ob eine TSP-Tour eine Länge l hat. Es gilt: P N P Gilt sogar P = N P? Man weiß es nicht! Man vermutet, daß dies nicht der Fall ist. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 77

4 N P-Vollständigkeit: Ein Problem Π aus N P ist N P-vollständig, wenn aus seiner polynomiellen Lösbarkeit P = N P folgt, d.h. alle Probleme in N P sind polynomiell lösbar. Die N P-vollständigen Probleme können anschaulich als die schwersten Probleme in der Klasse N P angesehen werden. Wie kann man zeigen, daß ein Problem Π N P-vollständig ist? Man nimmt sich ein Problem Π, von dem man weiß, daß es N P- vollständig ist und zeigt, daß Π nicht leichter ist. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 78 Genauer: Man reduziert polynomiell Π auf Π, d.h. man zeigt, daß man Π in polynomieller Zeit lösen könnte, wenn man Π in polynomieller Zeit lösen könnte. Was bringt einem das in der Praxis? Gelingt der Nachweis der N P-Vollständigkeit, so zeigt dies, daß man nicht zu dumm ist, ein polynomielles Lösungsverfahren zu finden. Vermutlich existiert keines. Zumindest hat noch nie jemand ein solches gefunden und es macht keinen Sinn, nach einem solchen zu suchen. Man kann für große Probleme keine (optimalen) Lösungen erwarten. Anwendung heuristischer statt exakter Verfahren Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 79

5 Traveling Salesman Problem Definition 3.3. Gegeben sei ein vollständiger Graph G = (V, E) mit einer Kostenfunktion c : E IN auf den Kanten. Die Enscheidungsvariante des Traveling Salesman Problem (TSP) lautet: Existiert ein hamiltonscher Kreis K in G, für den die Summe der Kantengewichte c(k) k ist. Bemerkung 3.3. Die Entscheidungsvariante des TSP ist N P- vollständig. Dies kann durch HC TSP bewiesen werden. Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 80 TSP als Optimierungsproblem Die Optimierungsvariante des TSP lautet: Finde einen hamiltonschen Kreis mit minimalem Gewicht. Durch die N P-Vollständigkeit des zugehörigen Entscheidungsproblems kann es optimal nur für kleine n gelöst werden. Für große n müssen Heuristiken zur Berechnung einer möglichst guten Lösung angewendet werden. Theoretisch interessant sind Heuristiken mit Gütegarantie (siehe folgendes Kapitel). Einf ührung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 03/04 81